Introduccin a mtodos numricos en astrofsica

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Introducción a métodos numéricos en astrofísica

• Parte I
• Formalismos Euleriano y Lagrangiano
• Aproximaciones numéricas a las ecuaciones
  diferenciales
• Parte II
• Metodos N-cuerpos, SPH, hidrodinámica Euleriana
• Condiciones iniciales, realizaciones N-cuerpos
• Código Gadget
• http//www.mpa-garching.mpg.de/gadget/
• Detalles de la práctica
• Parte III
• Simulación de la evolucion de una galaxia con
  halo, bulbo y disco usando un código de N-cuerpos
  (Gadget)

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• Entender los flujos hidrodinámicos, la mecánica
• orbital y el transporte de radiación es crucial
• para entender como funciona el universo. Son
• procesos muy complejos

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• Los métodos analíticos (también teoría de la
  perturbación) involucran una
• aproximación en las leyes físicas que regulan los
  diferentes procesos. A
• veces estas aproximaciones están justificadas y
  nos ayudan a comprender
• mejor que procesos físicos que dominan.
• Ejemplo para resolver analíticamente las
  ecuaciones de la estructura estelar se asume que
  la densidad y/o la temperatura varian linearmente
  con la distancia al centro, se asumen ciertas
  condiciones de contorno, que el coeficiente de
  producción de energia es constante hasta zR/4 y
  cero de ahí a la superficie, etc. asi podemos
  simplificar las ecuaciones diferenciales que
  describen el problema( equilibrio hidrostático
  ecuación de continuidad de masa ecuación de
  conservación de la energía ecuación del
  transporte de radiación) en un conjunto de
  ecuaciones simples que nos dan cualitativamente
  resultados válidos sobre la estructura estelar

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• Cuando empezamos a explorar regímenes en los que
  no podemos resolver
• Las ecuaciones analíticas utilizamos métodos
  numéricos. Es muy util obtener
• una estimación analítica de los ordenes de
  magnitud involucrados
• para compararlos a nuestros resultados numéricos.
  Incluso los tratamientos
• numéricos mas complejos involucran aproximaciones
  y también hay numerosos
• efectos numéricos no físicos que necesitan ser
  tratados, pero nos permiten
• internarnos en la exploración de regiones en las
  que los procesos físicos son
• desconocidos.

Weiqun Shang, S.E. Woosley, University of
California, Santa Cruz, and A. Heger, Los Alamos
National Laboratory
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(No Transcript)
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• La función de distribución describe en número de
  partículas en un tiempo t que están entre x y
  xdx y tienen momento entre p y pdp
• Asumimos que las partículas están sujetas a un
  campo de
• fuerza externo F que no cambia en una distancia
  comparable
• a la distancia entre partícula
• Las ecuaciones hidrodinámicas y las de transporte
  de radiación se derivan de los diferentes
  momentos de la ecuación de Boltzman que describe
  la evolución de la función de distribución en el
  espacio de fase

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Leyes de la hidrodinámica
Ecuación de la conservacion de la masa
Ecuación de la conservación del momento
Momento por unidad de area y tiempo, flujo de
momento
Momento por unidad de volumen, densidad de momento
Fuerza que aparece por el gradiente de presión,
que resulta del intercambio de energía de la
velocidad del fluido y las velocidades peculiares
de las partículas del fluido
Ecuación de la energia
Este término describe la expansión o contracción
del medio
Para resolver estas ecuaciones, necesitamos una
relación entre la presión y la energía interna
por unidad de volumen (ecuación de estado)
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Leyes de la hidrodinámica
En las ecuaciones anteriores se describe la
evolución del estado del medio a una posición
fija (formulación Euleriana) la derivada del
tiempo se refiere a los cambios que ocurren como
resultado del flujo del medio por una posición
determinada En una formulación Lagrangiana la
derivada d/dt esta en un sistema que co-mueve con
el medio, y se refiere a los cambios en un
elemento/parcela del fluido al cambiar de estado
y posicion. A la posición ocupada por un
elemento del fluido en un tiempo t, la velocidad
Lagrangiana tiene que ser igual a la velocidad
Euleriana con la que el elemento de fluido pasa
la posición
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Leyes de la hidrodinámica
Ecuaciones Lagrangianas del movimiento de fluidos
La velocidad Lagrangiana representa la velocidad
en una parcela de fluido, mientras que la
velocidad Euleriana representa la velocidad de un
fluido a un tiempo y espacio determinado. Las
leyes de la hidrodinámica son inherentemente
lagrangianas puesto que se aplican a un fluido en
movimiento en vez de a un fluido que esta en en
un lugar del espacio en un tiempo determinado.
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• Podemos generalizar las ecuaciones anteriores
  suponiendo que el intercambio de partículas entre
  las diversas parcelas de fluido no es
  despreciable(fricción interna o viscosidad)
  Ecuación de Navier-Stokes
• Transferencia de radiación (la energía interna no
  es transportada por el flujo del medio, es
  transportada por fotones) momentos de la ecuación
  de Boltzman para fotones
• Medio conductor y magnetizado (ecuaciones de la
  magnetohidrodinámica)

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Aproximaciones numéricas a las ecuaciones
diferenciales parciales (EDPs)

• modelar EDPs implica resolver los valores
  iniciales
• (la evolución de un sistema descrito por una EDP
  es
• seguido en el tiempo) o resolver los valores de
• contorno (una o mas funciones describiendo el
• sistema se encuentran a cada momento dado)
• Ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas
• Para resolver una EDP en un ordenador tenemos que
• discretizar, es decir transformar la ecuación en
  un
• sistema algebraico de ecuaciones.

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Aproximaciones numéricas a las ecuaciones
diferenciales parciales (EDPs)

• Discretización (cont.)
• Para ayudarnos en esta transformación usamos
  puntos de
• cuadricula o mesh points elegidos en el
  interior y borde del
• dominio de interés (dominio computacional) todos
  los puntos
• constituyen la red-cuadricula grid (mesh) si
  tenemos
• derivadas en tiempo también podemos contruir un
  grid. Las
• derivadas son remplazadas por incrementos finitos

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Aproximaciones numéricas a las ecuaciones
diferenciales parciales (EDPs)

• Discretizacion (cont.)

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Aproximaciones numéricas a las ecuaciones
diferenciales parciales (EDPs)
Ejemplo Resolver la ecuación de Laplace en 2-D
uxx uyy 0 para 0 lt x lt 1 e 0 lt y lt 1 (1) Con
condiciones de contorno u(x, 0) f1(x) para y
0 , 0 x 1 u(x, 0) f2(x) para y 1 , 0
x 1 u(x, 0) f3(x) para x 0 , 0 y
1 u(x, 0) f4(x) para x 1 , 0 y 1
Como
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Aproximaciones numéricas a las ecuaciones
diferenciales parciales (EDPs)
Ejemplo Resolver la ecuación de Laplace en 2-D
uxx en el punto (xi,yj) será
Y uyy
La ecuacion de Laplace se puede escribir de forma
aproximada como
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Aproximaciones numéricas a las ecuaciones
diferenciales parciales (EDPs)
Ejemplo Resolver la ecuación de Laplace en 2-D
Asumiendo que los valores de u(x,y) son conocidos
en los siguientes puntos del grid
Entonces podemos estimar los valores de la
función u(x,y) en el interior del grid
resolviendo un sistema de (n-2)?(n-2) ecuaciones
con (n-2)2 incógnitas
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Que le pedimos a un esquema para resolver
nuestras EDPs

• Estabilidad
• Precisión
• Consistencia
• Eficiencia en CPU

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• Estabilidad
• Incondicionalmente estable si el error decrece
  con el tiempo
• condicionalmente estable si decrece (y el
  intervalo de tiempo esta por debajo de un valor
  crítico.
• El error crece y termina enmascarando las
  solucion fisica real
• Varios esquemas para probar la estabilidad
  (analisis von Neumann , esquem de
  DuFort-Frankel)

Soluciones numericas de du/dt-u(t) Con la
condicion inicial u(0)1
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• Difusión, dispersión y resolución del grid
• En muchos esquemas de discretización se
  introducen términos
• en las ecuaciones diferenciales que no estaban en
  las originales
• Si los errores están dominados por el termino
  compuesto de las derivadas espaciales de segundo
  orden, habrá perdida de precisión através de la
  difusión numérica (resolver con espacios
  espaciales y temporales menores..esquemas de
  ordenes mas altos mejoran el problema)
• Si los errores están dominados por la tercera
  derivada espacial se introduce dispersión
  numérica (la velocidad de propagación de la onda
  en el grid depende la longitud de onda
  (problemática al alcanzar la resolución de la
  red)
• http//www.lifelong-learners.com/pde
• Un esquema también tiene que ser consistente..la
  ecuación original se tiene que poder recuperar en
  el limite ?t, ?x ? 0

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Hundimiento de la plataforma petrolifera Sleipner
A en 1991

• La plataforma de arriba pesa 57000
• toneladas con un equipo de 40000
• toneladas, cuando se hundió se
• produjo un seismo de 3.0 en la escala
• de Richter involucro una perdida de
• 700 millones de dólares.

El fallo se produjo por una imprecisión en la
aproximación del modelo elástico de uno de los
componentes, el cizallamiento de subestimó por un
47. Un análisis de elementos finitos más
detallado después del desastre predijo que se
produciría un fallo a 62 metros, se produjo a 65