Estad

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Estadística2010Clase 4Maestría en
FinanzasUniversidad del CEMA

• Profesor Alberto Landro
• Asistente Julián R. Siri

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Clase 4
1. Test de Hipótesis
2. Propiedades de los estimadores
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1. Test de Hipótesis

• Problema Nuevamente tenemos una v.a. X con una
  FDP conocida . Después de obtener
  una muestra aleatoria n, obtenemos el estimador
  puntual, . Pero este estimador que
  obtuvimos, es compatible con algún valor
  específico de bajo hipótesis?
• Para comprobar la hipótesis nula se utiliza la
  información muestral para obtener el estadístico
  de prueba, un estimador puntual del parámetro
  desconocido. Entonces pasamos a averiguar la
  distribución muestral del estadístico de prueba y
  utilizar el método de intervalos de confianza
  para probar dicha hipótesis nula.

TEST de HIPOTESIS
Compuestas
Simples
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1. Test de Hipótesis

• Un test de hipótesis puede ser entendido como un
  procedimiento estadístico simple cuya finalidad
  es corroborar o desmentir alguna afirmación que
  se hace con relación a un parámetro poblacional.
  En definitiva, es una regla de decisión sobre
  determinadas características de los parámetros
  poblacionales de nuestro interés.
• Hipótesis nula Suposición inicial sobre el
  parámetro poblacional bajo estudio que sirve para
  iniciar el procedimiento de prueba o
  verificación.
• Hipótesis alternativa Hipótesis que se establece
  como alternativa de la hipótesis nula si la H0
  es rechazada, entonces será la hipótesis
  alternativa la que se tomará tentativamente como
  válida.

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1. Test de Hipótesis
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1. Test de Hipótesis

• Nivel de significación de una prueba Se llama
  así a la probabilidad máxima de cometer un error
  de tipo I. A dicha probabilidad se la suele
  denotar con la letra griega a.
• Lo más usual es que al principio uno establezca
  cuál es el valor de a que desea aplicar en la
  prueba. A la probabilidad máxima de cometer un
  error de tipo II se le denota con la letra griega
  ß.

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1. Test de Hipótesis Tipos de error al tomar una
decisión
Ejemplo 1 Se juzga a un individuo por la
presunta comisión de un delito
Los datos pueden refutarla. La que se acepta si
las pruebas no indican lo contrario. Rechazarla
por error tiene graves consecuencias.

• H0 Hipótesis nula
• Es inocente
• H1 Hipótesis alternativa
• Es culpable

• No debería ser aceptada sin una gran evidencia a
  favor.
• Rechazarla por error tiene consecuencias
  consideradas menos graves que la anterior.

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1. Test de Hipótesis Tipos de error al tomar una
decisión
Realidad Realidad
Inocente Culpable
Veredicto Inocente OK Error Menos grave
Veredicto Culpable Error Muy grave OK
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1. Test de Hipótesis Tipos de error al tomar una
decisión
Ejemplo 2 Se cree que un nuevo tratamiento
ofrece buenos resultados
Ejemplo 3 Parece que hay una incidencia de
enfermedad más alta de lo normal
No especulativa

• H0 Hipótesis nula
• (Ej.1) Es inocente
• (Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene efecto
• (Ej.3) No hay nada que destacar
• H1 Hipótesis alternativa
• (Ej.1) Es culpable
• (Ej.2) El nuevo tratamiento es útil
• (Ej. 3) Hay una situación anormal

Especulativa
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1. Test de Hipótesis

• Terminología el intervalo de confianza que se
  construye se denomina la región de aceptación y
  el o las áreas por fuera de ella se conocen como
  regiones críticas, o de rechazo. Por último, los
  límites inferior y superior de la región de
  aceptación se denominan valores críticos.
• Deseable minimizar los errores tipo I y tipo II.
  Pero, para cualquier tamaño de muestra dado, no
  es posible minimizar ambos simultáneamente. Es
  preferible tener baja probabilidad de cometer un
  error de tipo I y luego tratar de minimizar al
  máximo la probabilidad de incurrir en un error de
  tipo II.

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1. Test de Hipótesis

• Un test de hipótesis se llama bilateral (o de
  dos colas) cuando la hipótesis alternativa
  involucra el signo ? para el parámetro que se
  somete a prueba.

Región de aceptación
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1. Test de Hipótesis

• Un test de hipótesis se llama unilateral (o de
  una cola) cuando la hipótesis alternativa
  involucra el signo lt (test unilateral
  izquierdo) o bien el signo gt (test unilateral
  derecho).

Unilateral izquierdo
Unilateral derecho
H1 m lt 40
H1 m gt 40
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1. Test de Hipótesis Método del intervalo de
confianza

• Dado que tenemos a ,
  podemos inferir que el estadístico de prueba
  está distribuido como
• Entonces, si conocemos la distribución de
  probabilidades de , cómo establecemos si un
  intervalo de confianza de
  para , basado en este último, contiene al
  planteo de nuestra hipótesis nula? Veamos los
  pasos a seguir
• Puesto que , se
  cumple que
• Entonces, de la tabal de distribución normal se
  sabe que

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1. Test de Hipótesis Método del intervalo de
confianza

• 3. Reordenando y sustituyendo términos da
• Éste es un intervalo de confianza al
  para . Lo único que se debe hacer
  es ver si se encuentra en este
  intervalo. Si se encuentra no podemos rechazar la
  hipótesis nula, en caso contrario sí.

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1. Test de Hipótesis Método del intervalo de
confianza

• Terminología
• Nivel de significancia probabilidad de
  cometer un error de tipo I.
• Potencia de la prueba dado que la probabilidad
  de un error tipo II está representada por ,
  la probabilidad de no cometerlo se denomina de
  esta última forma (entiéndase como la capacidad
  de rechazar una hipótesis nula falsa).
• P-value de un estadístico de prueba
• También conocido como nivel exacto de
  significancia, es el nivel más bajo de
  significancia al cual puede rechazarse una
  hipótesis nula.

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1. Test de Hipótesis Método de la prueba de
significancia

• Inversamente, dado que en cualquier aplicación
  dada, conocemos tanto a y n, pero los
  verdaderos valores de y no se conocen.
  Si es especificado, y asumimos un valor
  determinado de mediante la hipótesis nula,
  podemos calcular un estadístico Z,
• Y consultar en la tabla de la distribución qué
  probabilidad asociada tiene. La idea clave es el
  estadístico de prueba y su distribución de
  probabilidad bajo el valor supuesto
  . La prueba se conoce como prueba Z.
• Cuando se dice que un estadístico de prueba es
  significativo, quiere decirse que se puede
  rechazar la hipótesis nula.

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1. Test de Hipótesis

• A fin de realizar un test de hipótesis sobre un
  parámetro poblacional, es recomendable seguir los
  siguientes 5 pasos
• P1. Emitir una hipótesis nula (H0) relativa a
  algún parámetro de la población. La hipótesis
  debe involucrar alguno de los signos , o
  , pero no puede involucrar ninguno de los
  signos lt, gt, ni tampoco ?.
• P2. Especificar un nivel de significación a a
  emplear. Lo convencional es emplear los niveles
  del 5 ( a 0,05) o del 1 ( a 0,01).
• P3. Extraer de la población una muestra aleatoria
  de tamaño n, y calcular el estadístico de prueba
  apropiado (z, t, etc.).
• P4. Comparar el valor numérico obtenido para el
  estadístico de prueba con un valor tabulado
  (valor crítico - z, t, etc. -) de la
  distribución estadística teórica correspondiente.
• P5. Decidir si se rechaza o no la hipótesis nula.

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1. Test de Hipótesis

• Veamos dos casos de tests para la media
  poblacional
• 1- Los paquetes de harina marca XYZ de medio
  kilogramo afirman contener en su etiqueta un
  contenido neto de 500 gr. Supongamos que deseamos
  evaluar dicha afirmación a partir de nuestra
  creencia de que los paquetes contienen menor
  cantidad de harina. Para ello, se eligen al azar
  50 paquetes y se los pesa con una balanza de
  precisión, obteniendo los siguientes datos
  muestrales
• Planteamos entonces la hipótesis nula y
  alternativa
• Para la realización del test, usaremos un nivel
  de significación del a 0,05.

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1. Test de Hipótesis
Aunque desconocemos cómo se distribuye el peso de
los paquetes, por tratarse de una muestra grande
(n gt 30) usaremos la distribución normal estándar
a fin de hallar nuestro valor crítico. Para un
nivel de significación de 0,05 la tabla
correspondiente arroja un valor de z
-1,645.
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1. Test de Hipótesis
El estadístico que utilizaremos
es Reemplazando en el mismo por los datos del
ejercicio se obtiene que Dado que -1,645 lt
-1,6444, el valor calculado del estadístico de
prueba no alcanza a caer en zona de rechazo. Por
lo tanto, al nivel de significación del 5 no se
puede rechazar la hipótesis nula. Es decir, no
existen argumentos para afirmar que los paquetes
de harina XYZ contienen (en promedio) menos que
lo anunciado en sus etiquetas.
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1. Test de Hipótesis

• Supongamos que ahora deseamos realizar un test
  de hipótesis relativo a la varianza o la
  desviación estándar poblacionales. Para ello,
  deberemos usar el estadístico de prueba llamado
  chi-cuadrado muestral, definido como sigue
• En un test unilateral a la derecha (o de cola
  derecha), la hipótesis nula será
• y la hipótesis alternativa será
• Para un nivel de significación a, la región de
  rechazo se busca en
• tablas de la distribución chi-cuadrada con ? n
  -1 grados de
• libertad.

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1. Test de Hipótesis

• En cambio, en un test unilateral a la izquierda
  (o de cola izquierda), la hipótesis nula es
• o bien
  ,
• y la hipótesis alternativa es
• Por último, para un test bilateral (o de dos
  colas), se tiene
• y la hipótesis alternativa es

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1. Test de Hipótesis

• Veamos un ejemplo. Supongamos que estamos
  analizando el tiempo (en minutos) de espera de
  los clientes en la ventanilla de un banco.
• Antes de un curso de capacitación para los
  empleados de atención al público se sabía que la
  desviación estándar era 2,3 minutos. Luego del
  curso de capacitación, el tiempo de espera de 10
  clientes tomados al azar fue de 1,8 5,2 4,3
  6,6 2,5 3,4 2,6 5,6 4,7 y 4,0.
• Por lo tanto
• con a 0,05. Sirvió el curso de capacitación
  para disminuir la varianza de los tiempos de
  espera?

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1. Test de Hipótesis
De los datos muestrales, hallamos que S 1,5166
minutos. A primera vista podríamos sospechar que
el curso sí sirvió, pero veamos el valor crítico
para la distribución chi-cuadrado con 9 grados de
libertad es de 3,32. Si reemplazamos en el
estadístico de prueba por los datos del
ejercicio, obtendremos que Por lo tanto, no
existe suficiente evidencia estadística en contra
de la hipótesis H0, así que se concluye que
probablemente el curso de capacitación no sirvió
para disminuir la varianza de manera perceptible
(o significativa).
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2. Propiedades de los estimadores muestras
pequeñas

• Insesgamiento
• Un estimador es insesgado si el valor esperado
  del mismo es igual al parámetro a estimar, es
  decir,
• Mínima Varianza
• Se dice que un estimador es de mínima varianza
  del parámetro, si la varianza del mismo es menor
  igual que la del resto de los estimadores.
• Linealidad
• Un estimador es lineal con respecto al parámetro,
  si es una función lineal de las observaciones
  muestrales. Así, por ejemplo la media muestral
  definida como
• es un estimador lineal de X.

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2. Propiedades de los estimadores muestras
pequeñas

• Mejor estimador lineal insesgado
• Si es lineal, es insesgado y tiene mínima
  varianza entre todos los estimadores lineales e
  insesgados de , entonces se denomina MELI.
• Error Medio Cuadrático (EMC)
• Definimos al EMC de un estimador como
• Haciendo contraste con la varianza de , la
  cual está definida como
• Esta última mide la dispersión de la
  distribución de alrededor de su media,
  mientras que EMC mide la dispersión
  alrededor del verdadero valor del parámetro. El
  criterio es buscar un estimador cuyo EMC sea el
  menor en un conjunto de estimadores comparables.

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2. Propiedades de los estimadores muestras
grandes

• Insesgamiento asintótico
• Un estimador es asintóticamente insesgado
  si
• Consistencia
• Se dice que es un estimador consistente si
  se aproxima al verdadero valor de a medida
  que el tamaño de la muestra aumenta.
• Eficiencia asintótica
• Si es consistente y su varianza asintótica
  es menor que la varianza asintótica de todos los
  demás estimadores consistentes de , entonces
  es llamado asintóticamente eficiente.
• Normalidad asintótica
• Se dice que un estimador está normalmente
  distribuido asintóticamente si su distribución
  muestral tiende a aproximarse a la distribución
  normal a medida que el tamaño de la muestra
  aumenta de manera indefinida