Historia de las Matemticas

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Historia de las Matemáticas

• La Génesis de las Estructuras Algebraicas

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Profesor Francisco Guil Asensio Web
ww.um.es/mataplic/fguil/guil.html Tutorías Lune
s y Jueves 10-11 Miércoles 1630 a 1930 3ª
planta, Facultad de Informática
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• Bibliografía
• - Historia de la Matemática.- Carl B. Boyer.
  Alianza Universidad Textos nº 94
• El pensamiento matemático de la antigüedad a
  nuestros días. Morris Kline. Alianza Universidad.
  Tomos II y III (nº 729)
• - A history of algebra from Al-Khwarizmi to Emmy
  Noether. Van der Waerden. Ed. Springer.
• - The genesis of the abstract group concept. H.
  Wussing. Cambridge, Ma. MIT Press
• - Mathematics of the 19th century. Kolmogorov
  Yushkevich. Ed. Birkhaüser. Vol. I

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Qué es el Álgebra?

• No aparece una diferenciación clara hasta tiempos
  recientes
• Es difícil separar su historia de la de las
  Matemáticas en general
• Cambia de forma fundamental en el Siglo XVIII

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Qué es el Álgebra?

• -Históricamente
• Ecuaciones
• Polinomios
• Sistemas
• Ecuaciones indeterminadas
• Reglas de operación con números
• Teoría de números
• Hoy en día
• Estudio de las estructuras algebraicas

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Qué es el Álgebra?

• Cuáles son los motivos de ese cambio?
• Paso de problemas concretos a generales
• Una nueva metodología para abordarlos
• El método axiomático

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Periodos en el Álgebra

• Matemáticas prehelénicas
• Matemática griega
• Transición (matemática árabe, hindú, europea)
• El Renacimiento la creación del álgebra
  simbólica
• La transición hacia el Álgebra moderna
• El Siglo XX

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La Historia de las Álgebra
Precursores
2000 a.C.
300 a.C- 200 d.C
Matemática griega
Mat. hindú Mat. Árabe Mat. Medieval
S. XVI
Mat. Renacimiento
Rec. Textos álgebra simbólica Geom.coord.
Geometría Tª números
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MATEMÁTICA EGIPCIA
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Matemática egipcia - Papiro de Rhind.
alrededor del 1650 a. C. álgebra
retórica ecuaciones lineales de una
incógnita. método de falsa posición los
problemas se plantean verbalmente. - Papiro de
El Cairo alrededor de año 300 a. C. sistemas de
2 ecuaciones en 2 incógnitas de segundo grado.
No hay teoría de números.
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MATEMÁTICA BABILÓNICA
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Algebra babilónica I Más avanzada que en
Egipto Sistema de numeración posicional
Aparece el uso de símbolos Su álgebra es
esencialmente retórica Problemas a través de
ejemplos No hay explicaciones ni
demostraciones Usan números racionales
positivos Aproximaciones
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Algebra babilónica II Resolución de ecuaciones
cuadráticas Solamente reconocen la raíz
positiva Sistemas de 2 ecuaciones y 2
incógnita Problemas con más de dos
incógnitas Ecuaciones de grado mayor.
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ÁLGEBRA GRIEGA
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Algebra griega clásica No aceptan la existencia
de números irracionales Representación geométrica
de cantidad. Construcciones de identidades
algebraicas Solución de ecuaciones cuadráticas Se
demuestran de forma geométrica. Los contenidos no
van más allá que en Babilonia El enfoque
geométrico ventaja uso del razonamiento
deductivo carece de valor práctico retrasó el
progreso del álgebra.
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Diofanto Representa un alejamiento del álgebra
geométrica Introduce un estilo sincopado El
estilo retórico será dominante durante siglos La
Aritmética ecuaciones indeterminadas No usa
métodos generales hay 189 problemas y 189
métodos acepta raíces racionales positivas si
hay dos soluciones, solo da una de ellas no hay
estructura deductiva en su trabajo.
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MATEMÁTICA HINDÚ
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ALGEBRA HINDÚ I Es importante después de la
influencia griega. Motivación basada en la
astronomía y astrología - Año 600 d. C. sistema
posicional en base 10 el 0 se considera un
número más los negativos para representar
deudas - Año 1114 d.C. número positivo tiene 2
raíces cuadradas procedimientos correctos para
operar
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ALGEBRA HINDÚ II - Progresos en álgebra y
aritmética. cierto simbolismo va más allá
del álgebra sincopada no hay demostracione solo
se dan los pasos las ecuaciones cuadráticas
tienen 2 raíces incluyen raíces negativas e
irracionales soluciones completas de ax by
c consideran ecuaciones cuadráticas.
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MATEMÁTICA ÁRABE
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Algebra árabe I Conservan el conocimiento
griego Traducciones -gt conocimiento
actual Origen de ALGEBRA y ALGORITMO Álgebra
retórica Numeración mejoran la numeración
hindú algoritmos para operaciones influencia
en en Europa en el año 1200
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Algebra árabe II Trabajan con
irracionales Rechazan los números
negativos Ecuaciones cuadráticas métodos
generales reconocen las dos soluciones
normalmente descartan una Ecuaciones
cúbicas métodos geométricos intersección de
cónicas Trabajan con ecuaciones indeterminadas
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EL NACIMIENTO DEL ÁLGEBRA SIMBÓLICA
1545 ARS MAGNA de Cardano
Consolidación del cálculo aritmético
Números decimales (Stevin, 1585) Cálculo
de logaritmos y primeras tablas
(Napier, Whiggs, Burgui) Resolución
ecuaciones tercer y cuarto grado Cardano -
Stevin - Bombelli - Vieta Paso del álgebra
sincopada a la literal 1637 LA GEOMETRÍA de
Descartes
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Descartes Fermat
1637
Geometría de coordenadas
Trabajos en Tª de números
Precursores del Cálculo
Newton Leibniz
S XVIII
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Newton
Leibniz
Cotes Taylor Stirling
Johan Bernouilli Jean Bernouilli
D. Bernouilli Euler DAlembert
Lagrange Legendre Laplace Carnot
Condorcet Monge
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(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
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SITUACIÓN SOCIAL A FINALES DEL S. XVIII
- Búsqueda de aplicaciones - Poco desarrollo de
la Matemática por sí misma - Desarrollo rápido
acompañado de falta de rigor - Paso de las
Academias a las Universidades - Primeras
sociedades matemáticas - Primeras revistas -
Crecimiento de la comunidad matemática
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Problemas relevantes a finales del XVIII
- Ecuaciones polinómicas Teorema
fundamental Métodos de resolución - Tª de
números Notación Unificación Problemas
abiertos representación divisibilidad
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- Distintos tipos de números Nº naturales,
enteros, racionales, reales, complejos Distinción
algebraicos y trascendentes Qué son? cuáles
son sus limitaciones? - Geometría Nuevos tipos
de geometría descriptiva, proyectiva Preocupació
n por uso de coordenadas
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Surgen las estructuras algebraicas - Tª de
Grupos Ecuaciones polinómicas Tª de
números Geometría Ecuaciones diferenciales Es
la primera en desarrollarse Sus métodos y
resultados influirán en las demás
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- Tª de Cuerpos Ecuaciones polinómicas Tª de
números (ideales) Problemas de fundamentación
Kronecker y extensiones trascendentes Primera
estructura totalmente axiomatizada - Tª anillos
conmutativos Tª de números (ideales) Anillos de
polinomios Geometría (invariantes)
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- Tª anillos no conmutativos y álgebras Tipos de
números Nº complejos Geometría
(movimientos) Matrices Álgebra lineal Las
teorías de anillos conmutativos y no conmutativos
se influirán mutuamente en el siglo XX a través
del concepto central de módulo
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UNA MIRADA AL SIGLO XX

• El periodo axiomático
• - Relaciones entre estructuras
• - Visiones estructurales
• Los retículos de Ore
• Las estructuras de Bourbaki
• La teoría de categorías
• - Métodos topológicos homología