Resolucin Eficaz de Sistemas de Ecuaciones

1
Resolución Eficaz de Sistemas de Ecuaciones

• Esta clase trata sobre la resolución
  simbólica/numérica eficiente de sistemas de
  ecuaciones algebraicamente acopladas.
• Los sistemas de ecuaciones que describen
  fenómenos físicos son casi siempre dispersos
  (excepción sistemas de ecuaciones muy pequeños,
  de dimensión 2?2 o 3?3).
• Este hecho puede explotarse.
• Serán presentadas dos técnicas de resolución
  simbólica la rasgadura de sistemas de ecuaciones
  y la relajación de sistemas de ecuaciones. El
  objetivo de ambas técnicas es eliminar los ceros
  de la matriz de incidencia.

2
Contenido

• Algoritmo de rasgadura
• Algoritmo de relajación

3
Rasgadura de Sistemas de Ecuaciones I

• El método de rasgadura ya fue mostrado
  anteriormente en varias ocasiones. Lo
  explicaremos aquí nuevamente de una manera más
  formal para compararlo con el enfoque alternativo
  del método de relajación.
• Como se mencionó antes, la determinación
  sistemática del mínimo número de variables de
  rasgadura es un problema de complejidad
  exponencial. Por esto, fueron desarrolladas
  distintas heurísticas capaces de determinar
  soluciones subóptimas apropiadas.

4
Rasgadura de Ecuaciones Ejemplo I
5
Rasgadura de Ecuaciones Ejemplo II
?
6
Rasgadura de Ecuaciones Ejemplo III
?
?
?
?
7
Rasgadura de Ecuaciones Ejemplo IV
?
?
8
Rasgadura de Sistemas de Ecuaciones II

• En el proceso de rasgar un sistema de ecuaciones,
  se van determinando las expresiones algebraicas
  para las variables de rasgadura. Esto corresponde
  a la aplicación simbólica de la Regla de Cramer.

9
Rasgadura de Ecuaciones Ejemplo V
?
10
Rasgadura de Sistemas de Ecuaciones III

• La Regla de Cramer tiene complejidad polinomial.
  Sin embargo, la carga computacional crece con la
  cuarta potencia del tamaño del sistema de
  ecuaciones.
• Por este motivo, la determinación simbólica de
  una expresión para las variables de rasgadura
  tiene sentido sólo para sistemas relativamente
  pequeños.
• En el caso de sistemas de ecuaciones más grandes,
  el método de rasgadura es aún atractivo, pero las
  variables de rasgadura deben determinarse
  numéricamente.

11
Relajación de Sistemas de Ecuaciones I

• El método de relajación es una versión simbólica
  de la Eliminación de Gauss sin pivote.
• El método sólo puede aplicarse en sistemas de
  ecuaciones lineales.
• Todos los elementos de la diagonal principal de
  la matriz del sistema deben ser ? 0.
• El número de elementos no nulos por encima de la
  diagonal principal debe minimizarse.
• Desafortunadamente, el problema de minimizar el
  número de elementos no nulos por encima de la
  diagonal principal tiene nuevamente complejidad
  exponencial.
• Por este motivo, deben encontrarse heurísticas
  que permitan reducir el número de elementos por
  encima de la diagonal principal, aunque éstas no
  resulten óptimas.

12
Relajación de Ecuaciones Ejemplo I
?
?
13
Relajación de Ecuaciones Ejemplo II
Técnica de eliminación de Gauss
?
14
Relajación de Ecuaciones Ejemplo III
?
?
15
Relajación de Ecuaciones Ejemplo IV
Técnica de eliminación de Gauss
?
?
?
16
Relajación de Ecuaciones Ejemplo V
?
17
Relajación de Ecuaciones Ejemplo VI
?
?
18
Relajación de Sistemas de Ecuaciones II

• El método de relajación puede aplicarse
  simbólicamente en sistemas de tamaño algo mayor
  que el método de rasgadura ya que la carga
  computacional crece más lentamente.
• En algunas clases de aplicaciones, el método de
  relajación genera soluciones muy elegantes.
• Sin embargo, el método de relajación puede
  aplicarse sólo en sistemas lineales. Por esto,
  usualmente se prefiere utilizar el algoritmo de
  rasgadura en combinación con la iteración de
  Newton numérica.

19
Referencias

• Elmqvist H. and M. Otter (1994), Methods for
  tearing systems of equations in object-oriented
  modeling, Proc. European Simulation
  Multiconference, Barcelona, Spain, pp. 326-332.
• Otter M., H. Elmqvist, and F.E. Cellier (1996),
  Relaxing A symbolic sparse matrix method
  exploiting the model structure in generating
  efficient simulation code, Proc. Symp.
  Modelling, Analysis, and Simulation, CESA'96,
  IMACS MultiConference on Computational
  Engineering in Systems Applications, Lille,
  France, vol.1, pp.1-12.