Partie 1 Rappels de thorie des lignes Thorie gnrale des ondes guides drivation via quations de Maxwe

1
Partie 1Rappels de théorie des
lignesThéorie générale des ondes
guidées dérivation via équations de
Maxwell expression des champs comme solution
dun problème aux valeurs propres lignes de
transmission équivalentes définition des modes
de propagation valeur propre associée relation
de dispersion condition d excitation des
modesModes de propagation du guide donde
rectangulaireModes de propagation du guide
donde circulaire
Chapitre 2 Lignes de transmission et résonateurs
Cours du 06/02/02
2
Théorie des lignes de transmission Rappels


tension à abscisse z
V2
V1
courant à abscisse z
impédance caractéristique
avec
exposant de propagation
Z et Y respectivement impédance et admittance
linéique
Si V1, I1 sont les tensions-courants en entrée (z
-L), et V2, I2 ceux en sortie (z0)
3
Théorie des lignes de transmission Rappels


tension à abscisse z
V2
V1
courant à abscisse z
Si V1 et I1 sont les tensions-courants en z -L,
et V2, I2 ceux en z 0
Et si ZL est l impédance de charge en z 0,
soit V2 - ZL I2
impédance dentrée
4
Théorie des lignes de transmission Rappels
z
zdz
-L
0
V(z)
I(z)



GL

facteur de réflexion à labscisse z
facteur de réflexion à la charge, en z 0
Le facteur de réflexion en tout point de la ligne
peut sexprimer en fonction du facteur de
réflexion à la charge
5
Théorie des lignes de transmission Rappels

?onde de tension stationnaire, sauf si GL 0
? définition du taux donde de tension
stationnaire s (TOS)
Attention la définition du TOS na de sens que
si lon peut définir des minimas et maximas de
tension G(z) cste GL ? g j b
ligne sans pertes
6
Théorie des lignes de transmission Rappels
zdz
z
-L
0
V(z)
I(z)



GL

facteur de réflexion à labscisse z
Impédance en tout point de la ligne
facteur de réflexion à la charge, en z 0
? existence dune relation univoque en tout point
de la ligne entre limpédance et le facteur de
réflexion
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Théorie des lignes de transmission Rappels
zdz
z
-L
Relation entre G(z) et Z(z)
0
V(z)
I(z)



GL

• Avantage du facteur de réflexion
• on peut le connaître facilement en tout point de
  la ligne si on le connaît en un point donné

• il est alors possible de calculer Z en ce point

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Théorie des lignes de transmission Rappels
Cas particuliers

• ligne adaptée en son extrémité ZL Zc

la ligne est adaptée en tout point
? londe de tension se déplace avec une vitesse
de phase vph w / b

• ligne semi-infinie cothgL 1

la ligne apparaît adaptée en entrée
9
Théorie des lignes de transmission Rappels
Relation entre G(z) et Z(z)

• le facteur de réflexion tourne dans le sens
  horlogique lorsquon se déplace de la charge vers
  le générateur

• si la ligne est à pertes, le facteur de
  réflexion décrit une spirale

10
Théorie des lignes de transmission abaque de
Smith
1.0j
charge adaptée
0.5j
2.0j
court-circuit
circuit ouvert
0.2j
0
0.0
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0

-0.2j
Re(Z) cste
Im(Z) cste
-2.0j
-0.5j
-1.0j
11
Théorie des lignes de transmission abaque de
Smith
Soit z1 0 ?z2 -L L 5 mm Zc 50 W
1.0j
0.5j
2.0j
Si b 500 m-1 a 0 ZL 25 W
0.2j
0.0
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0

Si b 500 m-1 a 75 ZL 25 W
-0.2j
Si b 500 m-1 a 0 YL 0 W
-2.0j
-0.5j
-1.0j
12
Equations de Maxwell en régime harmonique
Hypothèses
milieux isotropes
dépendent de la position
Définition
avec
si pas de pertes (s 0)
? réécriture des équations de Maxwell
13
Equations de Maxwell modes de propagation
Recherche dune solution de propagation selon
laxe des z
14
Equations de Maxwell modes de propagation
15
Equations de Maxwell modes de propagation
16
Equations de Maxwell modes de propagation
17
Equations de Maxwell modes de propagation
18
Equations de Maxwell modes de propagation
19
Modes de propagation composantes transverses
20
Modes de propagation décomposition TE et TM
Or les équations de Helmoltz obtenues
avec p2 g2 k2
avec p2 g2 k2
montrent que les composantes z sont calculables
indépendamment lune de lautre. Les solutions de
propagation des équations de Maxwell peuvent
donc, vu leur linéarité, sexprimer comme une
combinaison linéaire de deux types de
modes les modes TE ou H, pour lesquels Ez
0 les modes TM ou E, pour lesquels Hz 0
21
Modes de propagation TE et TM
Modes TM (ou E)
Modes TE (ou H)
avec p2 g2 k2 valeur propre de léquation de
Helmoltz
Les solutions de léquation de Helmoltz devront
être telles que les conditions limites suivantes
soient satisfaites
à la surface dun conducteur électrique parfait
(CEP)
à la surface dun conducteur magnétique parfait
(CMP)
En général ces conditions limites fixent aussi
les valeurs propres
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Modes de propagation lignes de transmission
équivalentes
Rappel
Hypothèse
Si ligne de transmission
?
avec Z et Y impédance et admittance linéique

• Objectifs
• calculer g et Zo pour modes TE et modes TM
• déduire Z et Y pour modes TE et modes TM, donc
  le circuit équivalent linéique

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Lignes de transmission équivalentes pour mode TM
Modes TM
car
La dépendance transverse des composantes
transverses du champ électrique TM dérive dun
potentiel noté F
Comme et alors
La composante longitudinale du champ électrique
d un mode TM est proportionnelle à un potentiel

• Objectifs
• calculer g et Zc pour modes TE et modes TM
• déduire Z et Y pour modes TE et modes TM, donc
  le circuit équivalent linéique

24
Lignes de transmission équivalentes pour mode TM
Modes TM
Si on se limite à une onde progressive (V- 0)
car
25
Lignes de transmission équivalentes pour mode TM
Modes TM
avec p2 g2 k2
Si on se limite à une onde progressive (V- 0)
équation de Helmoltz
Cas particulier F constante est admis, à
condition que p2 0
26
Lignes de transmission équivalentes pour mode TM


Modes TM
V1
p2 g2 k2
Lignes
Maxwell
avec
27
Lignes de transmission équivalentes pour mode TM


filtre passe-haut
fréquence de coupure
Si w gt wc Z devient inductive et Y reste
capacitive ? ligne de transmission
28
Lignes de transmission équivalentes pour mode TE
Modes TE
car
La dépendance transverse des composantes
transverses du champ magnétique TE dérive dun
potentiel noté Y
avec p2 g2 k2
Si on se limite à une onde progressive (V- 0,
donc V(z) Zo I(z))
car
29
Lignes de transmission équivalentes pour mode TE
Modes TE
avec p2 g2 k2
Si on se limite à une onde progressive (V- 0)
équation de Helmoltz
30
Lignes de transmission équivalentes pour mode TE


Modes TE
V1
p2 g2 k2
Lignes
Maxwell
avec
31
Lignes de transmission équivalentes pour mode TE


filtre passe-haut
fréquence de coupure
Si w gt wc Y devient capacitive et Z reste
inductive ? ligne de transmission
32
Résumé pour mode TM et TE
Modes TE
avec p2 g2 k2
avec p2 g2 k2
Modes TM
Avec
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Interprétation de la valeur propre
Modes TE
avec p2 g2 k2
Modes TM

• Théorie générale des guides donde
• les solutions de propagation sont des solutions
  propres de léquation de Helmoltz
• chaque solution a sa propre dépendance spatiale,
  dérivée de celle dun potentiel, et sa valeur
  propre associée p cette distribution spatiale du
  potentiel, ou du champ, est appelée mode de
  propagation du guide
• la dépendance spatiale et la valeur propre seront
  fixées par les conditions limites aux frontières
  de la section transverse
• si plusieurs modes (c-à-dire distributions
  spatiales différentes) ont la même valeur propre,
  ils sont dits dégénérés

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Propriétés des valeurs propres
Modes TE
avec p2 g2 k2
Modes TM
C
A section droite normale à az C contour de la
section droite Xt vecteur transverse
Théorème de la divergence
Posant
?
Si a q, b q avec q F ou Y
?
?
?
35
Propriétés des valeurs propres
?

• q F ou Y ne dépendent que de la position,
  puisquils sont solution dune équation de
  Helmoltz qui ne fait intervenir que des dérivées
  spatiales
• ? seule solution p2 réelle et positive
• p2 dépend de la distribution spatiale dun mode
  donné (norme au carré du potentiel et du champ
  transverse), intégrée sur la section droite A du
  guide
• p2 ne dépend pas du matériau remplissant le guide
  (en tout cas pour un milieu isotrope et homogène)

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Valeur de la constante K
Rappel que le mode soit TE ou TM, on a
Expression de la puissance véhiculée par un mode
On impose cette puissance identique à celle
véhiculée par la ligne équivalente de la théorie
des circuits
? K est réel positif
?
37
Valeur de la constante K
Rappel les admittances de mode TE/TM sont
proportionnelles à K
La valeur de limpédance nest pas unique selon
la définition quon utilise
Si on adopte K 1
si TM
si TE
? K est réel positif
?
38
Diagramme de dispersion


p2 g2 k2
en labsence de pertes dans le milieu (s 0)
k2 w2 em (w/c)2 g2 p2 - (w/c)2
Lexposant de propagation est nul à la pulsation
de coupure wc wc p c ? fréquence de coupure
fc p c / 2p ? définition dune longueur donde
de coupure lc c/fc 2p/p Si w lt wc g2 a2
gt 0 Si w gt wc g2 (jb)2 lt 0
39
Diagramme de dispersion


en labsence de pertes dans le milieu (s 0)
Si w lt wc g2 a2 gt 0 Si w gt wc g2
(jb)2 lt 0
Si w gtgt wc g2 (jb)2 lt 0
indépendant de i
40
Diagramme de dispersion

Si w lt wc g2 a2 gt 0 Si w gt wc g2 (jb)2 lt 0

Courbe verte e eo
Courbe bleue e er eo avec er 2 c lt co
? wc diminue
Effet des pertes ab ? 0 pour w lt wc et pour w gt
wc
Courbe rouge e er eo avec er 2 (1 - i
0.1)
41
Diagramme de dispersion


en labsence de pertes dans le milieu (s 0)
Si w lt wc g2 a2 gt 0 Si w gt wc g2 (jb)2 lt 0
Attention
42
Puissance active et réactive


Puissance complexe
Si on se limite à une onde progressive (V- 0)
car g a j b
Mode TM (E)
Mode TE (H)
En labsence de pertes dans le milieu (s 0) Si
w lt wc g a , b 0 P 0, S j Q car Si w gt
wc g j b , a 0 Q 0, S P car
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Puissance active et réactive


En labsence de pertes dans le milieu (s
0) Si w lt wc g a , b 0 P 0, S j Q ?
puissance purement imaginaire ? accumulation
dénergie ? pas de transmission de
puissance Si w gt wc g j b , a 0 Q 0, S
P ? puissance purement réelle ? transmission
de puissance réelle ? pas daccumulation
d énergie
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Puissance active et réactive


Puissance complexe intégrée sur une surface
fermée S entourant le volume compris entre deux
sections transverses situées aux abscisses z 0
et z ?
Théorème de Poynting
car les frontières de la section transverse A
sont soit de type CEP ? de
type CMP ? à linfini (x, y
??)
Si w lt wc et s 0
Un mode TM en dessous de la coupure emmagasine
surtout de lénergie électrique
Un mode TE en dessous de la coupure emmagasine
surtout de lénergie magnétique
45
Guide donde rectangulaire à parois conductrices


Equation de Helmoltz
avec q F pour TM Y pour TE
b
système cartésien
a
Séparation de variables
p2 constante réelle positive
avec u2 v2 p2
? seule solution
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Guide donde rectangulaire - Mode TM


b
a
Conditions limites sur Ez aux parois CEP
en x 0 et x a pour tout y en y 0 et y b
pour tout x
avec u2 v2 p2
Expression générale du potentiel F des modes TM
(ou E)
Avec m, n entiers et m.n ? 0, sinon F est nul, et
tous les champs sont nuls
47
Guide donde rectangulaire - Mode TM


b
a
Expression générale du potentiel F des modes TM
(ou E)
Avec m, n entiers et m.n ? 0, sinon F est nul, et
tous les champs sont nuls
Expression générale des composantes transverses
TM (ou E)
48
Guide donde rectangulaire - Mode TM


b
a
Expression générale des composantes transverses
TM (ou E)
?? Conditions limites sur Ex et Ey aux parois
CEP ??
en x 0 et x a pour tout y ? en y 0 et y
b pour tout x ?
? OK
? OK
49
Guide donde rectangulaire - Mode TE


b
a
Conditions limites sur Ex et Ey aux parois CEP
(Ez est nul pour TE)
en x 0 et x a pour tout y
en y 0 et y b pour tout x
Expression générale du potentiel Y des modes TE
(ou H)
Avec m, n entiers (m.n 0 est admis)
50
Guide donde rectangulaire - Mode TE


b
a
Expression générale du potentiel Y des modes TE
(ou H)
Avec m, n entiers (m.n 0 est admis)
Expression générale des composantes transverses
TE (ou H)
51
Guide donde rectangulaire - valeur propre


avec q F si TM, q Y si TE
b
a
Les potentiels de chaque mode TE ou TM sont donc
normalisés
52
Guide donde rectangulaire - mode dominant


en labsence de pertes dans le milieu (s 0)
Si w lt wc g2 a2 gt 0 Si w gt wc g2 (jb)2 lt 0
b
a
fréquence de coupure
avec a gt b, et m.n 0 permis si TE uniquement
La fréquence de coupure la plus basse sera donc
obtenue pour m 1 et n 0 ?mode TE Ce mode
noté TE10 est appelé dominant, parce que cest
celui qui peut se propager (b gt 0) aux fréquences
f gt fc les plus basses
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Guide donde rectangulaire - mode dominant TE10


m 1 et n 0
valeur propre
b
potentiel TE
a
fréquence de coupure
relation de dispersion
composantes transverses TE (ou H)
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Guide donde rectangulaire - mode dominant TE10


valeur propre
potentiel TE
b
relation de dispersion
sans pertes
a
composantes transverses
Expression des champs
55
Guide donde rectangulaire - mode dominant TE10


valeur propre
potentiel TE
b
a
Potentiel indépendant de y
56
Guide donde rectangulaire - modes TE11 et TM11


potentiel TE11
potentiel TM11
57
Guide donde rectangulaire - mode dominant TE10

Si guide donde adapté V- 0
si w gt w c
b
a
Expression des champs dans le domaine temporel
58
Guide donde rectangulaire - modes TE10

à toute abscisse y et pour un temps t donné
lg/2
59
Guide donde rectangulaire - mode dominant TE10

Si guide donde adapté V- 0
si w gt w c
b
a
Définition dune tension équivalente
Définition dun courant équivalent
3 notions dimpédance