Distribuciones de probabilidad continuas'

1
Distribuciones de probabilidad continuas.
2
Distribuciones de probabilidad continuas

• Media y desviación estándar de una distribución
  uniforme continua.

3
Distribuciones de probabilidad continuas

• La distribución de Gauss.
• Es simétrica respecto de la línea que pasa por ?
  y tiene forma de campana.
• Se extiende de menos a mas infinito.
• La mayor parte de las distribuciones de
  frecuencias observadas, se pueden ajustar por una
  Gaussiana.
• Se caracteriza por tres parámetros media
  desviación estándar y amplitud.
• La distribución de probabilidad binomial se
  aproxima a la distribución gaussiana para
  determinados valores de n y p.

4
Distribuciones de probabilidad continuas.

• Distribución normal.
• Es una Gaussiana
• pero de área 1.
• Se caracteriza por
• 2 parámetros.

Todas éstas funciones de distribución de
probabilidad tienen área 1
5
Distribuciones de Probabilidad Continuas
6
Distribuciones de probabilidad continuas

• Forma canónica de la
• distribución normal.

7
Distribuciones muestrales.

• Algunos problemas prácticos
• No necesariamente, los estadísticos que se
  obtienen a partir de una muestra, coinciden con
  los parámetros reales de la población.
• No necesariamente la distribución de la
  población es la que uno asume al determinar sus
  parámetros.

SOLUCIÓN
8
Distribuciones muestrales

• Distribución muestral
• Agrupa todos los valores que puede tomar un
  estadístico.
• Ej
• Supongamos que una población consta de las
  siguientes edades 10, 20, 30, 40. Se realiza un
  muestreo para determinar la media. Se eligen
  muestras de 2 elementos con reposición, luego
  tenemos 4x4 muestras posibles.

9
Distribuciones muestrales
Distribución de las muestras
10
Distribuciones muestrales
0.51153 0.47903 0.49323 0.55343 0.50074 0.44964 0.
56181 0.50028 0.50237 0.44361 0.57435 0.49304 0.51
29 0.4869 0.47123
0.51295 0.43955 0.49968 0.50052 0.46514 0.46322 0.
50771 0.50473 0.44802 0.44932 0.50139 0.48363 0.55
103 0.49804 0.57874
0.48935 0.50532 0.52769 0.45175 0.52771
0.52381 0.50303 0.46029 0.48778 0.4841
0.54532 0.50395 0.53096 0.51248 0.46215
0.51466 0.54697 0.52501 0.48872 0.53186
11
Estimación

• La curva normal es apropiada cuando
• La desviación estándar de la población (?) se
  conoce.
• O, cuando el tamaño de la muestra gt 30. ?
  s

12
Estimación.

• La distribución t es apropiada cuando
• La distribución de la población se aproxima a la
  normal.
• La desviación de la población se desconoce (?) y
• El tamaño de la muestra es menor que 30

13

• Aproximación de
• abajo hacia arriba
• para la evaluación de la incertidumbre.

14
Aproximación de Abajo hacia arriba

• Es de aplicación casi inmediata en las
  mediciones de magnitudes físicas.
• Requiere de la especificación de un modelo
  físico.
• Requiere de la identificación y cuantificación
  específica de las fuentes que contribuyen a la
  inceritidumbre.

15
Incertidumbre estándar combinada
Incertidumbre estándar de la variable de entrada
16
Incertidumbre estándar combinada
17
Incertidumbre expandida, determinación del factor
de cobertura.
18
Incertidumbre de expresiones comunes
19
Ejercicio U-1-1

• Determinar el volumen de un estanque cilíndrico y
  su incertidumbre, si los datos disponibles,
  correspondientes al diámetro del tanque y su
  altura, fueron medidos con un instrumento de
  incertidumbre despreciable.

20
Ejercicio U-1-1
Modelo
21
Ejercicio U-1-2

• Un termómetro colgado en una pared tiene un
  indicador digital con una mínima división de 0,1
  ºC y para determinar la temperatura de la sala
  durante un ensayo, se realizan anotaciones de las
  lecturas máximas y mínimas observadas, siendo
  estas igual a 22,2 ºC y 23,3 ºC.
• Determinar la temperatura de la sala y su
  incertidumbre, considerando que el certificado de
  calibración del termómetro indica que para 22,0
  ºC la corrección que se debe aplicar es 0,1 ºC
  con una incertidumbre estándar igual a 0,1 ºC
  (k1)

22
Ejercicio U-1-2
23
Ejercicio U-1-3

• Con un termómetro de vidrio (análogo), que tiene
  una mínima división de 0,2 ºC , se realizan
  anotaciones de las lecturas máximas y mínimas
  observadas en un laboratorio, siendo estas
  iguales a 24,6 ºC y 26,8 ºC.
• Determinar la temperatura del laboratorio y su
  incertidumbre, considerando que el certificado de
  calibración del termómetro indica que para 25,0
  ºC la corrección que se debe aplicar es 0,2 ºC
  con una incertidumbre expandida igual a 0,2 ºC
  (k2)

24
Ejercicio U-1-4
Una balanza de las siguientes características es
calibrada.
25
Ejercicio U-1-4
Determinar el error y su incertidumbre, si la
calibración se ejecuta en 10 kg con un patrón de
la clase OIML adecuada y los datos son los
siguientes
26
Ejercicio U-1-4
27
Ejercicio U-1-5
Una balanza de las siguientes características es
calibrada.
28
Ejercicio U-1-5
Determinar el error y su incertidumbre, si la
calibración se ejecuta en 100 g con un patrón de
la clase OIML adecuada y los datos son los
siguientes
29
Ejemplo U-1-5
Determinar la incertidumbre expandida de la
determinación, mediante titulación, de la
concentración de una solución de hidróxido de
sodio.
30

• Aproximación de
• arriba hacia abajo
• para la evaluación de la incertidumbre.

31
Aproximación de arriba hacia abajo

• Utiliza la información disponible a partir de
  las validaciones de los métodos e
  intercomparaciones estudios de linealidad,
  recuperación, límite de detección, comparaciones
  entre laboratorios (Ej. ISO 5725-2)
• Es de gran utilidad y aplicación en las
  mediciones analíticas o metrología química.
• Requiere del uso extensivo de modelos
  estadísticos, más que físicos o determinísticos.

32
Linealidad
Y SEÑAL
X CONCENTRACIÓN
33
Linealidad
Motivation describir la relación entre dos
variables, X e Y X es la variable independiente
(concentración del patrón) Y es la variable
dependiente (indicación del instrumento) El
modelo de regresión es una aproximación de la
situación real El objetivo es establecer una
relación para X (concentración) en función de los
valores de la señal (Y), pero primeramente se
recurre a obtener por regresión una relación para
Y en función X
34
Linealidad
1. Los valores de X son fijos. 2. Los valores
de X se miden sin error 3. Para cada valor de X
existe una subpoblación de valores de Y,
distribuidos normal. 4. Las varianzas de las
subpoblaciones de Y son iguales. 6. Los valores
de Y son independientes.
35
Linealidad
36
Linealidad
YSEÑAL
EY?0 ?1 X
Distribuciones normales idénticas
XCONCENTRACIÓN
37
Linealidad

38
Linealidad
Se minimiza

39
Linealidad

40
Linealidad

41
Linealidad
Y constante
Variation asistemática
Relación no lineal
Y
Y
Y
X
X
X
Prueba de la significancia de la regresión


H0 b10 vs HA b1?0


42
Linealidad

43
Linealidad
Intervalo de predicción para una observación
futura
El valor del intervalo de predicción cambia
según el valor de
44
Linealidad
Intervalo de predicción para m observaciones
futuras
El valor del intervalo de predicción cambia
según el valor de
45
Linealidad

• Expresión para el intervalo de predicción para la
  concentración, x, (1 observación)

46
Linealidad

• Expresión para el intervalo de predicción para la
  concentración, x, (m observaciones)

OJO
47
Linealidad

• Obs. Algunos autores llaman desviación estándar
  del proceso a la cantidad

48
Linealidad

• Supuestos que deben ser probados
• Normalidad de los residuos.
• Homocedasticidad (iguales varianzas).
• Independencia.

Gráficamente
Analíticamente
49
Linealidad
Gráficamente
Normalidad de los residuos Los residuos se
disponen a lo largo de una línea recta en un
gráfico con escala de probabilidad normal.
Analíticamente Prueba de Kolmogorov-Smirnov
50
Linealidad
Homocedasticidad (varianza constante) Los
residuos se dispersan uniformemente alrededor del
eje x
Gráficamente
Analíticamente Prueba de Bartlett (cuando hay
normalidad) Prueba de Levene
51
Linealidad
Residuos
Residuos
0
0
Ejemplo de homocedasticidad
Ejemplo de heterocedasticidad
52
Linealidad
Gráficamente
Independencia (aleatoreidad) Los residuos se
dispersan uniformemente alrededor del eje x al
gráficarlos según el orden en que fueron tomados
los datos.
Analíticamente Prueba de corridas
53
Linealidad
Ojo con las Unidades. No use ppm, , etc.
54
Linealidad
55
Linealidad
56
Linealidad
57
Linealidad
58
Linealidad
Runs test for RESI1 Runs above and below K
-1,40513E-16 The observed number of runs 6 The
expected number of runs 5 6 observations above
K 3 below N is small, so the following
approximation may be invalid. P-value 0,414
59
Linealidad
Regression Analysis absorbancia versus
concentración The regression equation
is absorbancia 0,0002 5,76 concentración Pre
dictor Coef SE Coef T
P Constant 0,00016 0,01119 0,01
0,989 concentración 5,75911 0,09606 59,96
0,000 S 0,0204267 R-Sq 99,8 R-Sq(adj)
99,8 Analysis of Variance Source
DF SS MS F P Regression
1 1,4999 1,4999 3594,74
0,000 Residual Error 7 0,0029 0,0004 Total
8 1,5028
60
Linealidad
61
Linealidad
62
Linealidad
63
Linealidad
Una vez determinados los parámetros asociados a
la linealidad se puede establecer un intervalo de
confianza para futuros valores de concentración
medidos en el instrumento.
64
Linealidad
Encontramos la incertidumbre de la calibración!
Falta la del patrón.
Hasta dónde llega esto?
65
Intercomparaciones

• ISO 5725-2 Accuracy (trueness and precision) of
  measurement methods and results.
• Modelo de componentes de la varianza con un
  factor aleatorio laboratorios.

66
Intercomparaciones un factor aleatorio
(laboratorios) ISO 5725-2

• Modelo

Varianza entre laboratorios Varianza de
repetibilidad
67
Intercomparaciones un factor aleatorio
(laboratorios) ISO 5725-2
Reproducibilidad Y Repetibilidad
68
Intercomparaciones un factor aleatorio
(laboratorios) ISO 5725-2
69
Intercomparaciones un factor aleatorio
(laboratorios) ISO 5725-2
Evaluación de los componentes
OBS.
70
Intercomparaciones un factor aleatorio
(laboratorios) ISO 5725-2
Comparación de los componentes
71
Intercomparaciones un factor aleatorio
(laboratorios) ISO 5725-2
72
Intercomparaciones un factor aleatorio
(laboratorios) ISO 5725-2
Reproducibilidad Repetibilidad
73
Intercomparaciones dos factores aleatorios
(laboratorios y muestras), una réplica.
muestras

• Modelo

laboratorios
Varianza entre laboratorios Varianza de las
muestras Varianza de repetibilidad
74
Intercomparaciones dos factores aleatorios
(laboratorios y muestras), una réplica.
Varios autores definen Reproducibilidad Y
Repetibilidad
75
Intercomparaciones dos factores aleatorios
(laboratorios y muestras), una réplica.
76
Intercomparaciones dos factores aleatorios
(laboratorios y muestras), una réplica.
Evaluación de los componentes
OBS.
77
Intercomparaciones dos factores aleatorios
(laboratorios y muestras), una réplica.
Comparación de los componentes
78
Intercomparaciones dos factores aleatorios
(laboratorios y muestras), una réplica.
79
Intercomparaciones dos factores aleatorios
(laboratorios y muestras), una réplica.
Varios autores definen Reproducibilidad
Repetibilidad
80
Gráficos de Youden

• Dianóstico gráfico.
• Youden clásico
• Misma matriz.
• Similar concentración.
• Mismo método analítico.