Statistiques

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Statistiques
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Introduction

• La statistique descriptive a pour but de décrire
  un groupe dindividus (appelé population) dont on
  connaît certains caractères (comme le sexe,
  lâge, la taille ). Les outils de base en sont
  les effectifs et les fréquences.
• Exemple si je veux décrire la classe de 3ème 5
• selon le sexe  il y a 20 élèves dont 12 garçons
  et 8 filles donc une fréquence de 60 de garçons
  et 40 de filles
• selon lâge  élève ont 13 ans (), élèves
  ont 14 ans (), élèves ont 15 ans (),
  élèves ont 16 ans ().

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Introduction (suite)

• Exemple (suite) si je veux décrire la classe de
  3ème 5
• selon la taille ? Chaque élève ou presque a une
  taille différente.
• On regroupe les tailles possibles en classes

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Introduction (suite)

• Si on trace lhistogramme des effectifs de
  nombreuses variables, on retrouve souvent une
  forme de  bosse . On dit alors que la variable
  étudiée suit une loi normale (ou gaussienne).

• Cette bosse peut être résumée assez précisément
  grâce à deux valeurs 
• Dans un premier temps il faut savoir où placer le
   pic , c'est-à-dire comment centrer ma courbe.
  La valeur pour laquelle on observe le pic est
  appelée valeur centrale. Pour la trouver on
  utilise des paramètres de position comme la
  moyenne.
• Dans un deuxième temps il faut se demander si le
   pic  est très étroit ou plutôt large. Cela
  nous sera indiqué par le calcul de paramètres de
  dispersion.
• La donnée de ces seuls 2 paramètres permet de
   tout  savoir sur la variable. Cest un cas où
  je peux résumer toute mon information dans
  seulement 2 nombres.

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Introduction (fin)

• Si la variable étudiée suit effectivement à peu
  près une loi normale, cela a donc un sens de
  calculer la moyenne. Mais il est tout à fait
  possible que la variable ne suivent pas une loi
  normale 

Le graphique représente lhistogramme des
fréquences dune classe de terminale. Il y a deux
bosses. La taille  varie  chez les filles
autour de 1,60m et celle des garçons autour de
1,75m. Il est peu intéressant dans ce cas de
sintéresser à la moyenne de la taille dans la
classe . Il serait plus judicieux de chercher à
 localiser  les 2 pics.
En conclusion, certains outils (moyenne, médiane,
étendue) ont été développés pour des variables
dites  normales . Si la variable est
effectivement normale, ils sont très utiles. Dans
les autres cas, leur calcul nest pas toujours
pertinent. Aussi faut-il prendre beaucoup de
précautions lors de leur interprétation.
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I- Paramètres de position

• 1) Moyenne
• 2) Médiane
• 3) Mode

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1)Moyenne

• définition  La moyenne dune série quantitative
  est le nombre par lequel on peut remplacer toutes
  les valeurs sans en changer le total.
• Calcul dans le cas dune liste de valeurs La
  moyenne est le quotient de la somme de tous les
  nombres de cette série par son effectif total.
• Exemple  Paul a obtenu ce trimestre les notes
  suivantes  12, 7, 8, 13, 15, 9.
• Calcul de sa moyenne 

• Calcul de moyenne pondérée Lorsque la série se
  présente sous la forme dun tableau des
  effectifs, on calcule la moyenne en 
• Multipliant chaque valeur par leffectif
  correspondant
• Additionnant les produits ainsi obtenus
• Divisant le résultat par leffectif total.
• Exemple  Nombre de frères et surs

Calcul du nombre de frères et surs moyen 
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1)Moyenne (suite)

• Calcul de la moyenne à partir de classes 
  Lorsque la série se présente sous forme de
  classes, on utilise dans le calcul de la moyenne
  le centre (ou le milieu) de chaque classe.
• Exemple  On a relevé les tailles des élèves
  dune classe et obtenu le tableau suivant 

Calculer la  taille moyenne  à 0,1 cm près des
élèves de la classe.
Remarque En fait on nobtient pas la moyenne
mais une valeur approchée de la moyenne!
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2)Médiane

• Activité introductrice
• 1- Alex est dans une classe de 21 élèves. Au
  contrôle de maths, il y a autant d élèves qui
  ont une note supérieure à Alex que délèves qui
  ont une note inférieure à Alex. Quel est son
  classement?
• Voici les notes par ordre alphabétique des
  élèves
• 12 17 6 7 10 5 16 9 14 8 8 7 12 6
  13 5 17 6 14 8 10
• Quelle est la note dAlex?
• Quelle est la note moyenne?
• Au contrôle suivant les notes sont
• 13 14 7 4 11 1 16 9 14 5 7 5 10 2
  12 10 14 4 13 7 11
• Calculer la note moyenne et la note médiane

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2)Médiane (suite)

Activité introductrice (suite) 2- En 3ème 5
vous êtes 20 élèves. Voici la dernière série de
note 13 20 10 3 15,5 16 17,5 8 14,5
12 16 12 19 13,5 14,5 13,5 13,5 6 18
9 Classons les 3 6 8 9 10 12 12 13
13,5 13,5 13,5 14,5 14,5 15,5 16 16 17,5
18 19 20 Il y a deux notes  au milieu 
13,5 et 13,5. La note médiane est donc
13,5. Voici la précédente (/10) 4 4 6,5 0
7 5 6 2,5 8,5 6 4 4,5 9,5 6 4,5 6
5,5 3,5 9,5 3 Classons les 0 2,5 3 3,5
4 4 4 4,5 4,5 5 5,5 6 6 6 6 6,5
7 8,5 9,5 9,5 Il y a deux notes  au
milieu  5 et 5,5. On peut prendre comme médiane
nimporte quel nombre entre 5 et 5,5 (y compris 5
et 5,5).
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2)Médiane (suite)

• définition Une médiane dune série statistique
  quantitative est une valeur qui partage la
  population en deux groupes de même effectif
• Au moins 50 des individus prennent une valeur
  inférieure ou égale à la médiane
• Au moins 50 des individus prennent une valeur
  supérieure ou égale à la médiane.
• Pour trouver une médiane, on commence par classer
  les données dans lordre croissant.
• Puis, il y a deux cas possibles
• Quand leffectif N est impair, il y a une seule
  médiane possible la valeur du milieu
• (la )
• Quand leffectif est pair, il y a deux valeurs
   au milieu . Toute valeur entre les deux est
  une médiane.
• Notes un statisticien appelle la plus petite
  des deux Q2
• Les élèves aiment prendre la moyenne des deux.

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2)Médiane(suite)

• remarque 1 Comparaison entre moyenne et médiane
• Paul a eu les notes suivantes 14 15,5 13
  14,5 16 14 15 0 13,5 14,5
• Quelle est sa note moyenne?
• Temps
• Quelle est sa note médiane?
• Temps
• Sachant que le 0 correspond à un devoir non
  rendu, recalculez la note moyenne et la note
  médiane sans ce 0. Laquelle varie le moins?
• La moyenne est plus rapide à calculer que la
  médiane mais la médiane est plus stable que la
  moyenne

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2)Médiane(suite)

• remarque 2 Médiane à partir dun tableau
  deffectif
• On a demandé leur taille à 29 élèves. Les
  résultats sont regroupés dans le tableau
  ci-dessous
• On ne peut connaître la taille moyenne mais on
  peut en donner une valeur approchée
• On ne peut connaître la taille médiane
  précisément mais on peut en donner un
  encadrement.
• rang de la  taille du milieu 
• La médiane est comprise entre 158 et 162 cm. On
  parle également de classe médiane.

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3)Mode

Le mode dune série statistique est la valeur
qui présente le plus grand effectif. Exemple Le
tableau ci-dessous représente les ventes de
chaussures femme dun magasin en une semaine
selon les pointures. La pointure moyenne
est La pointure médiane est Le mode de la
série est
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II- Paramètre de dispersion

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• Voici les notes de deux élèves obtenues aux
  devoirs de type brevet au cours de lannée 
• 1-Calculer et comparer les moyennes ?
• moyenne de Jean 
• moyenne de Paul 
• Conclusion
• Pour autant, pensez vous quils aient la même
  chance de réussir le brevet ?
• 2-Pour comparer les notes, on les représente sur
  le graphique ci-contre 
• On marque en rouge les notes de Jean.
• On note en bleu les notes de Paul.
• Les notes de Jean sont très étalées,
• elles vont de7 à 16, on dit quelles sont
• Les notes de Paul sont plus proches,
• on dit quellles sont