Commande et observation des systmes retards variables: Thorie et applications

1
Commande et observation des systèmes à retards
variablesThéorie et applications
Mercredi 4 Octobre 2006
LAGIS \ Ecole Centrale de Lille

• Soutenance de Doctorat
• de
• Alexandre Seuret

sous la direction de Jean-Pierre
Richard Michel Dambrine
http//syner.free.fr
http//syner.ec-lille.fr/robocoop
2
Introduction Générale
Système commandé à distance
Réseau
Maître
Esclave
Retard déchant.
Retard déchant.
retards de transmission
Sources de retard
retards déchantillonnage
Pertes de paquets
3
Introduction Générale (2)
Situation

• ARCIR ROBOCOOP
• Proposer et mettre en oeuvre des outils pour la
  modélisation, l'analyse, la synthèse de lois de
  commande spécifique de la coopération de robots
  distants.

Retard de communication?
Action de Recherche Concertée dInitiative
Régionale
4
Introduction Générale (3)
Commande dun chariot à capteur vidéo
(1)
(2)

• Echantillonnage des données capteurs
• Temps de calculs

Sources de retard
Suivi de trajectoire?
5
Introduction Générale (4)
Systèmes à retards
Stabilité et stabilisation Exponentielle
Stabilisation des systèmes à entrée
échantillonnée
Applications
Observation
6
Sommaire

• Introduction à létude des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation exponentielles des
  systèmes à retards
• Observations des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation des systèmes à entrée
  échantillonnée
• Applications
• Conclusion et perspectives

7
Sommaire

• Introduction à létude des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation exponentielles des
  systèmes à retards
• Observations des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation des systèmes à entrée
  échantillonnée
• Applications
• Conclusion et perspectives

8
I. Introduction à létude des systèmes à retards
a. Phénomènes de retard Systèmes à retards

• Systèmes à retards ou héréditaires
• Systèmes dont lévolution dépend non seulement
  des informations à linstant présent mais aussi
  dune partie de son passé.
• Équation détat fonctionnelle

Dimension infinie

• Problème appliqué (ingénierie, télécom.,
  temps réel, biologie, populations, nucléaire,
  etc.)

9
b. Types de retards, hypothèse de la littérature
I. Introduction à létude des systèmes à retards
1. Retard constant
2. Retard variable majoré
3. Retard variable borné
4. Condition supplémentaire
5. Retard déchantillonnage
10
I. Introduction à létude des systèmes à retards
c. Types de systèmes
11
d. De nombreux résultats
I. Introduction à létude des systèmes à retards

• Stabilité asymptotique
• De nombreux résultats dans la littérature,
  (surveys)
• Kolmanoski et al, 1999, Gu et al, 2003,
  Niculescu, 2001, Richard, 2003,

Performance?
12
Sommaire

• Introduction à létude des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation exponentielles des
  systèmes à retards
• Observations des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation des systèmes à entrée
  échantillonnée
• Applications
• Conclusion et perpsectives

13
a. Rappels sur la stabilité exponentielle
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
Définition Niculescu et al,1994 Soit a gt 0,
léquilibre dun système à retards est dit
a-stable, ou exponentiellement stable et de
degré de convergence a'', s'il existe un réel
tel que les solutions pour toute condition
initiale f, vérifient
En dautres termes
14
a. Rappels sur la stabilité exponentielle (2)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
Trois méthodes généralement utilisées
1ère méthode Théorie de Lyapunov et comparaison
Kharitonov et al,2005 Mondie et al, 2005,
2ème méthode Modèle de comparaison inégalités
différentielles Bartholomeus, 1996, Dambrine
1994, Niculescu, 1996,
3ème méthode Changement de variables
Niculescu, 1998, Seuret et al 2004,
15
a. Rappels sur la stabilité exponentielle (3)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
Quelques résultats,
16
b. Stab. exp. Méthodes et résultats
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
Changement de variables modifications du système
Cas des systèmes linéaires neutres et à retards
constants
Cas des systèmes linéaires à retards variables
Stabilité asympt. (coeff variables)?
Stabilité exp. (coeff constant)
17
b. Stab. exp. Méthodes et résultats (2)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
Deux décompositions de deux techniques
danalyse
M1 Polytopiques
T1 Retard Majoré
M2 Inc. Paramètriques
T2 Retard Borné
M1 Polytopiques TDS 2004
18
b. Stab. exp. Méthodes et résultats (3)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
Deux décompositions de deux techniques
danalyse
M1 Polytopiques
T1 Retard Majoré
M2 Inc. Paramètriques
T2 Retard Borné
M2 Incertitudes paramétriques CIFA 2006
19
b. Stab. exp. Méthodes et résultats (4)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
Deux décompositions de deux techniques
danalyse
M1 Polytopiques
T1 Retard Majoré
M2 Inc. Paramètriques
T2 Retard Borné
Th II.1 TDS 2004

• Implications sur les conditions
• Augmente le nombre de conditions LMI
• 1 retard
• N retards

• Preuve
• Modèle descripteur
• Fonctionnelle de L-K

20
b. Stab. exp. Méthodes et résultats (5)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
M1 Polytopiques
T1 Retard Majoré
M2 Inc. Paramètriques
T2 Retard Borné
Th II.2

• Implications sur les conditions
• Augmente la dimension des conditions LMI
• 1 retard
• N retards

• Preuve
• Modèle descripteur
• Fonctionnelle de L-K

21
b. Stab. exp. Méthodes et résultats (6)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
M1 Polytopiques
T1 Retard Majoré

M2 Inc. Paramètriques
T2 Retard Borné
Idée principale Fridman, 2004 Jiang et al,
2005
Amplitude maximale de la perturbation (constant)
Retard nominal (constant)
Perturbation sur le retard nominal (variable)
Intérêt Choix de fonctionnelles de L.-K. plus
pertinentes
22
b. Stab. exp. Méthodes et résultats (7)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
M1 Polytopiques
T1 Retard Majoré

M2 Inc. Paramètriques
T2 Retard Borné
Th II.3IEEE MED 2004

• Preuve
• Modèle descripteur
• Fonctionnelle de L-K

23
c. Extensions

• Conditions de stabilité exponentielle
• Systèmes non linéaires à représentation
  polytopique,
• Systèmes à paramètres incertains,
• Coût garanti,

24
d. Stabilisation exponentielle
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
avec la loi de commande par retour détat
Conditions BMI ??

• Remèdes Réécriture des conditions à laide de
  Boyd, 1994
• Congruences
• Complément de Schur
• Manipulations LMI

• Liaison entre des variables des conditions
• ou nouvelle majoration

Pila et al, 2005
Conservatisme important
Fridman et al, 2002
Guerra et al, 2006
25


d. Stabilisation exponentielle (2)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
Th II.4 (3ème méthode modélisation
polytopique, retard majoré)
26
d. Exemple TDS, 2004
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
M1 Polytopiques
T1 Retard Majoré

M2 Inc. Paramètriques
T2 Retard Borné

• Exemple

Influence de ?
27
d. Exemple TDS, 2004 (2)
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
28
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
e. Prise en compte des saturations en entrée
2 techniques utilisées
Conditions de secteur généralisées Tarbouriech,
IEEE, 2004
Modélisation polytopique Cao et al, IEEE 2002
Conditions initiales
Auto., 2004
IFAC, 2005
29
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
e. Prise en compte des saturations en entrée
30
Conclusion
II. Stabilité et stabilisation exponentielles des
systèmes à retards
Stabilisation exponentielle des systèmes à retards
31
Sommaire

• Introduction à létude des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation exponentielles des
  systèmes à retards
• Observations des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation des systèmes à entrée
  échantillonnée
• Applications
• Conclusion et perpsectives

32
a. Position du problème
III. Observation des systèmes à retards
Observateur Système virtuel permettant de rendre
compte de létat complet dun processus à
partir de ses seules sorties.
Retard majoré
Perturbations bornées
33
b. Observateurs avec retards connus
III. Observation des systèmes à retards
Application des théorèmes de stabilité
exponentielle
Considérons le système linéaire à retards
On propose alors lobservateur de Luenberger
1971
où
La dynamique de lerreur est alors décrite par
34
b. Observateurs avec retards connus (2)
III. Observation des systèmes à retards
Application des théorèmes de stabilité
exponentielle
Th III.1 (stabilité exponentielle)Seuret et al,
ACC 2006

• Intérêt
• Convergence de
• en

35
Cas particulier C0
b. Observateurs avec retards connus (3)
III. Observation des systèmes à retards
Observateur
Observateur- prédicteur
36
b. Observateurs avec retards inconnus
III. Observation des systèmes à retards

• Étude dun système linéaire à retard variable sur
  létat ou lentrée

Système réel
Observateur de Luenberger
37
b. Observateurs avec retards inconnus (2)
III. Observation des systèmes à retards

• Observateur à modes glissants Edwards et al,
  1998

Conditions de recouvrement (1)
Espace des perturbations Espace des sorties
(1)
Intérêt du changement de base -
Décompose le système en deux parties. - Les
termes retardés et la perturbation apparaissent
sur l espace des sorties. - Le sous espace
complémentaire à celui des sorties nest soumis
à aucune perturbation (retard ou
perturbation).
38
b. Observateurs avec retards inconnus (3)
III. Observation des systèmes à retards
Observateur à modes glissants Première approche
Th III.2 (stabilité asymptotique) JNMACS, 2005
Propriété de convergence de lobservateur
Convergence en temps fini vers la surface de
glissement S0ey0
Preuve
39
b. Observateurs avec retards inconnus (4)
III. Observation des systèmes à retards
Observateur à modes glissants Seconde approche
Conditions de recouvrement (2)
Intérêt du changement de base Accès à la
dynamique de lespace complémentaire aux sorties
40
b. Observateurs avec retards inconnus (5)
III. Observation des systèmes à retards
Observateur à modes glissants Seconde approche
Th III.3 (Stabilité exponentielle) CIFA, 2006
Changement de variables
Preuve
Modélisation paramètres incertains
41
b. Observateurs avec retards inconnus (6)
III. Observation des systèmes à retards
Exemple

• Considérons le système suivant

Le Thèorème 4 assure la convergence exponentielle
de lobservateur vers le système réel pour a2 et
les gains sont
42
Conclusion
III. Observation des systèmes à retards
Observation des systèmes à retards (conv. exp.)
43
Sommaire

• Introduction à létude des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation exponentielles des
  systèmes à retards
• Observations des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation des systèmes à entrée
  échantillonnée
• Applications
• Conclusion et perpsectives

44
a. Position du Problème
IV. Stabilité des systèmes à entrée
échantillonnée
Problème hybride Continu-Discret
Processus Continu
Calcul
Convertisseur A/N
Convertisseur N/A Bo
45
b. Une approche par retard variable
IV. Stabilité des systèmes à entrée
échantillonnée

• Idée principale Echantillonnage retard
  variable
• Mikheev et al. 88, Sobolev et al. 89. Aström
  et al. 92

Auto., 2004
Signal échantillonné (ici à période constante)
Signal retardé de
46
b. Une approche par retard variable (2)
IV. Stabilité des systèmes à entrée
échantillonnée
Problèmes à résoudre

• Analyse de stabilité des systèmes à retards
• Cas critique
• Discontinuité du retard

?
?

• Stabilité des systèmes à entrée échantillonnée
• Robustesse par rapport aux paramètres
• incertitudes sur les composantes
• sur la période déchantillonnage
• Commande saturée

?
?
47
c. Etude de la stabilité
IV. Stabilité des systèmes à entrée
échantillonnée
Th IV.1 (Stabilité asymptotique) Auto. 2004
48
c. Etude de la stabilisation (2)
IV. Stabilité des systèmes à entrée
échantillonnée

• Extension à dautres problèmes
• Stabilité de systèmes à paramètres incertains
• Auto., 2004
• Stabilité exponentielle
• IEEE MEED, 2005
• Commande saturée
• Auto., 2004
• Retards bornés
• IEEE MEED, 2005
• Observation
• ACC, 2006

49
Conclusion
IV. Stabilité des systèmes à entrée
échantillonnée
Stabilisation des systèmes à entrée échantillonnée
Robustesse par rapport à T
50
Conclusion
IV. Stabilité des systèmes à entrée
échantillonnée
Stabilisation des systèmes à entrée échantillonnée
Robustesse par rapport à T
X convergence asymptotique
51
Conclusion
IV. Stabilité des systèmes à entrée
échantillonnée
Stabilisation des systèmes à entrée échantillonnée
Robustesse par rapport à T
X convergence asymptotique X convergence
exponentielle
52
Sommaire

• Introduction à létude des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation exponentielles des
  systèmes à retards
• Observations des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation des systèmes à entrée
  échantillonnée
• Applications
• Conclusion et perpsectives

53
a. Systèmes commandés à distance
IV. Applications
Position du problème
Réseau
Maître
Esclave
Retard déchant.
Retard déchant.

• Puissance limitée de calcul

• Suivre une consigne
• Observer létat de lEsclave
• Construire la commande
• Envoyer la commande

• Appliquer la commande
• Envoyer la sortie mesurée

Formulation homogène du retard
54
a. Systèmes commandés à distance
IV. Applications
Position du problème
Réseau Internet
Maître
Esclave
Retard déchant.
(RTT)
Retard déchant.
Retard déchant.

• Commande par retour de sortie
• Avec des retards variables et conséquents
• ? Pas de commande de la forme

• Nécessité dune structure spécifique de commande
• Basée sur une observation,
• Prendre en compte les retards.

55
a. Systèmes commandés à distance
IV. Applications
Transmission de la commande Stratégie de buffer
GPS Synchronisation Mesure des retards
Conception Seuret et al, ACC, 2006, Seuret et
al, ETFA, 2006
Maître
Esclave
GPS
GPS
t1
h1
E
carte dimplémentation
Consigne
Contrôle
B0
réseau
h2
t2
Observateur
Capteur
B0
E
Transmission de la sortie Pas de buffer
Observation Obs.-Prédicteur a-stabilité
Contrôle a-stabilité
56
a. Systèmes commandés à distance
IV. Applications
Application et résultats en simulation
où
Convergence exponentielle de lobservateur et du
contrôleur pour a 1.0 est garantie pour
57
a. Systèmes commandés à distance
IV. Applications
Application et résultats en simulation
58
b. Contrôle dun chariot par capteur visuel
IV. Applications
Position du problème
Plateforme dun pendule inverse 2D (LAGIS, A.
Chamroo, 2006)
59
b. Contrôle dun chariot par capteur visuel
IV. Applications
Position du problème

• Echantillonnage des données capteurs (de période
  connue)
• Temps de calculs (connu, stratégie de buffer)

60
b. Contrôle dun chariot par capteur visuel
IV. Applications
Utilisation dun observateur-prédicteur
Système linéaire
Commande CPM
Retard

C(t)
(te)
-
Capteur
Chariot
Observateur -prédicteur
61
b. Contrôle dun chariot par capteur visuel
IV. Applications
Validation en simulation Chamroo et al, CESA,
2006
Position
Conditions initiales identiques
Vitesse
Position
Conditions initiales différentes
Temps (s)
62
b. Contrôle dun chariot par capteur visuel
IV. Applications
Validation expérimentale Chamroo et al, CESA,
2006

• Suivi de trajectoire

• Erreurs dues à des
• non-linéarités du moteur
• du chariot

63
Sommaire

• Introduction à létude des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation exponentielles des
  systèmes à retards
• Observations des systèmes à retards
• Stabilité et stabilisation des systèmes à entrée
  échantillonnée
• Applications
• Conclusion et perspectives

64
Conclusions et perspectives

• Nombreuses collaborations
• (J. Anthonis, A. Chamroo, E. Fridman, J. Gomès da
  Silva, F. Michaut, A. Toguyeni)
• Développement de critères simples de convergence
  exponentielle de systèmes à retards.
• Influence de la borne inférieur des retards
  variables.
• Observateurs pour des systèmes à retards connus
  et inconnus
• Étude des systèmes à entrée échantillonnées
• Application des résultats théoriques à des
  problèmes pratiques.

65
Conclusions et perspectives (2)

• Réduire le conservatisme des conditions de
  stabilité robuste.
• Observateurs à retards inconnus
• Applications
• Pendule inverse et capteurs vidéo
• (prises en compte des non-linéarités)
• Systèmes commandés en réseaux
• (domaine émergeants, double connaissance,
  collaboration avec des laboratoires
  dinformatiques réseaux,)

66
Bibliographie

• En revue
• J. Anthonis, A. Seuret, J.P. Richard, and H.
  Ramon, Design of a pressure control system with
  dead band and time delay, IEEE Trans. Control
  Syst. Technology to appear (2006).
• E. Fridman, A. Seuret, and J-P. Richard, Robust
  sampled-data stabilization of linear systems An
  input delay approach, Automatica 40 (2004), no.
  8, 1141-1446.
• En conférence
• J. Anthonis, W. Franssens, A. Seuret, J.-P.
  Richard, and H. Ramon, Two control laws for a
  spray system with time varying delay and dead
  band, IFAC World Congress (Praha, Rep. Tcheque),
  July 2005, p. reg. paper 4365.
• A. Chamroo, A. Seuret, C. Vasseur, and J.P.
  Richard, Observind and controlling plants using
  their delayed and sampled outputs, CESA'06
  IMACS-IEEE Multiconference on Computational
  Engineering in Systems Apllication, October,
  2006.
• A. Seuret, M. Dambrine, and J.P. Richard, Robust
  exponential stabilization for systems with
  time-varying delays, 5th Workshop on Time Delay
  Systems, September 2004.
• A. Seuret, T. Floquet, and J.P. Richard,
  Observateurs de systèmes à retard inconnu,
  JNMACS, 2005.
• A. Seuret, T. Floquet, and J.P. Richard,
  Observateurs pour systèmes à retard variable et
  inconnu, CIFA, 2006.
• A. Seuret, E. Fridman, and J.-P. Richard,
  Sampled-data exponential stabilization of neutral
  systems with input and state delays, IEEE MED
  2005, 13th Mediterranean Conference on Control
  and Automation, June 2005.
• A. Seuret, F. Michaut, J.-P. Richard, and T.
  Divoux, Networked control using gps
  synchronization, American Control Conference,
  June 2006.
• A. Seuret, M. Termens-Balester, A. Toguyeni, S.
  El Khatabi, and J.P. Richard, Implementation of
  an internet-controlled system under variable
  delays, ETFA'06, September, 2006.
• J.-M. Gomez Da Silva, E. Fridman, A. Seuret and
  J.-P. Richard Stabilization of neutral systems
  with saturating inputs, IFAC World Congress
  (Praha, Rep. Tcheque), July 2005, p. reg. paper
  4091.