1654 : Echange de lettres avec Blaise Pascal sur le

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Pierre FERMAT
Né à Beaumont-de-Lomagne dans la première
décennie du 17ème siècle. Magistrat de
profession 1636 Entre en contact épistolaire
avec le cercle mathématique parisien de Marin
Mersenne. Echange informations, problèmes,
manuscrits, avec Roberval, Descartes, Pascal,
Mersenne et bien dautres 1637 Ad locos
planos et solidos isagoge qui annonce une voie
générale pour résoudre certains problèmes
géométriques en leur associant une équation
algébrique. Fermat y donne les équations
correspondant à la droite, au cercle, à la
parabole, etc.
1654 Echange de lettres avec Blaise Pascal sur
le calcul des chances, en particulier la
répartition équitable de gains entre les joueurs
lorsquune partie est interrompue avant que le
nombre des points convenus pour gagner soit
atteint. Sont mises en avant lespérance et
lidée de probabilité conditionnelle.
1659 Fermat explicite sa méthode de la descente
infinie et donne une liste de problèmes sur les
entiers quelle peut résoudre (dont les premiers
cas du Grand Théorème). 1660 Controverse avec
les épigones de Descartes sur la loi de la
réfraction partant du principe que la nature
agit toujours par les voies les plus courtes et
les plus simples ou en tout cas par le temps
le plus court , Fermat ramène la réfraction à
une question géométrique dextremum. 1665 Mort
à Castres.
2
Le grand théorème de Fermat
1665. Il n'est pas possible de décomposer un
cube en somme de deux cubes, une puissance
quatrième en somme de deux puissances quatrièmes
et généralement aucune puissance d'exposant
supérieur à 2 en deux puissances de même
exposant.
1843. Kummer introduit un nombre imaginaire z
telle que léquation an bn (ab)(a zb)... (a
zn-1b) soit vraie pour tous nombres a et b. Ce
nombre vérifie en particulier zn1. En utilisant
son arithmétique, Kummer démontra le théorème de
Fermat pour toute une famille d'exposants, en
particulier pour presque tous les exposants plus
petits que 100.
Les nombres complexes tels que z71
1971. Le mathématicien français Yves Hellegouarch
relie l'équation de Fermat à la courbe
déquation y2
x(x-an)(xbn). Chaque solution éventuelle de
l'équation de Fermat définit les coefficients
d'une telle courbe particulière, qu'on appelle
courbe elliptique.
1985. Laméricain Ken Ribet montre, grâce à cette
interprétation géométrique, que le théorème de
Fermat serait vrai si on arrivait à établir un
dictionnaire entre les courbes elliptiques et des
fonctions dites modulaires (conjecture de
Shimura-Taniyama-Weil). 1995. En établissant une
partie suffisamment importante de ce dictionnaire
le mathématicien anglais Andrew Wiles acheve la
preuve du théorème.
There's no other problem that will mean the same
to me. I had this very rare privilege of being
able to pursue in my adult life what had been my
childhood dream. I know its a rare privilege but
I know if one can do this it's more rewarding
than anything one can imagine.
3
Labyrinthes
Qui na jamais rêvé de pouvoir se sortir à coup
sûr dun labyrinthe? On arrivera parfois au
centre du labyrinthe en posant la main sur la
première haie rencontrée et en faisant le tour.
Cela fonctionnera bien pour les labyrinthes
anciens, du type Chartres .
Pavement de la cathédrale de Chartres
Pavement de la cathédrale de Saint Omer.
Pour cela à chaque labyrinthe on associe un
graphe des points reliés entre eux par des
arêtes. En explorant un labyrinthe, seuls
comptent les points où nous avons eu à prendre
une décision les carrefours. Sur une feuille
de papier, notons tous ces points, et à partir de
chacun, dessinons un lien vers chaque autre point
qui peut être atteint dans le labyrinthe.
Graphe associé
Labyrinthe
Carrefours
Trouver un itinéraire menant de l'entrée à un
point donné ou centre du labyrinthe et
retour est un problème de parcours de graphe qui
a été résolu par le mathématicien Leonhard
Euler. Si le graphe n'a que des points par
lesquels partent deux arêtes, on peut faire un
tel itinéraire en partant de n'importe quel
point. Cest la cas plus généralement si un
nombre pair darêtes part de chaque point. Cest
encore le cas sil y a exactement deux nœuds
impairs et sinon cest impossible.
4
Johannes KEPLER
1571. Naissance à Weil der Stadt, en Souabe,
1589. Entre à luniversité de Tübingen. Y suit
aussi les cours de lastronome Michael Maestlin,
avec qui il restera en contact amical et qui lui
fait connaître le système copernicien. 1594.
Professeur et mathématicien à Graz enseigne,
établit le calendrier, fait des pronostics pour
le temps, les récoltes, les événements politiques
etc.
1609. Nouvelle Astronomie. Kepler a mis en
évidence que Mars décrit une ellipse, avec le
Soleil à lun des foyers, et que la droite
joignant Mars au Soleil balaie des surfaces
égales en des temps égaux quand la planète décrit
son orbite (étendues à toutes les planètes, ce
sont les deux premières Lois de Kepler ).
1611. Kepler publie lEtrenne ou la neige
sexangulaire, où il étudie les arrangements
denses de gouttes sphériques et affirme que
lempilement le plus serré dans lespace est
hexagonal.
1619. Harmonie du Monde détermination des
polyèdres convexes réguliers et troisième loi de
Kepler liant la taille des orbites aux périodes
de révolution. 1624. Explication des
logarithmes. 1627. Nouvelles tables astronomiques
très précises et largement utilisées pour le
calendrier religieux, lastronomie et la
navigation. 1630. Mort à Regensburg, au cours
dun voyage.
Le Mystère du Monde selon Johannes Kepler
5
La conjecture de Kepler
Les rangs sont dabord ajustés en plan. Ils
seront en carré et chaque globe du rang supérieur
se trouvera entre quatre du rang inférieur.
Lassemblage sera très serré, de sorte
quensuite aucune disposition ne permettra un
plus grand nombre de globules dans le même
récipient.
Pour démontrer la conjecture de Kepler, il faut
se donner des outils afin de confirmer ce qui est
intuitivement clair. À tout remplissage de
lespace par des globules (sphères), on associe
un réseau de points le réseau des centres
de ces sphères. On appelle diagramme de Voronoï
ce maillage de l'espace.
Les diagrammes de Voronoï sont également
fréquemment rencontrés pour représenter des
phénomènes de croissance que ce soit des cristaux
ou de l'univers. On les utilise également pour
modéliser la structure des protéines chaque
point est alors le site dun acide aminé. Citons,
comme utilisations, l'étude de la compressibilité
des protéines, la détection des cavités à
l'intérieur des protéines, létude des
interactions entre résidus aromatiques etc. On
les trouve dans la nature sur la carapace d'une
tortue ou sur le cou d'une girafe réticulée.
6
CONDORCET
1743 Naissance de Marie Jean Antoine Nicolas
Caritat de Condorcet, à Ribemont (Picardie) 1761
Présentation de son premier mémoire de
mathématiques à lAcadémie des sciences de Paris.
Le rapport est négatif. 1765 Du calcul
intégral. 1771 A la demande de dAlembert, il
commence à rédiger des articles de mathématiques
pour le Supplément à lEncyclopédie (publié en
1776-1777).
1778 Traité du calcul intégral (resté inédit),
théorie générale de lintégration et des
équations différentielles. 1785 Essai sur
lapplication de lanalyse à la probabilité des
décisions rendues à la pluralité des voix,
théorie des élections, mettant en évidence le
phénomène dit paradoxe de Condorcet et
proposant une règle pour échapper à la
contradiction.
1793 Opposé au principe de la peine de mort, il
vote contre la mort de Louis XVI. Il est décrété
darrestation. Il se cache à Paris. 1794 Moyens
dapprendre à compter sûrement et avec facilité,
ouvrage didactique pour lélève et linstituteur.
Il quitte sa cachette, est arrêté à Clamart et
meurt dans la prison de Bourg-Egalité
(Bourg-la-Reine). 1989 Ses cendres sont
transférées au Panthéon.
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Que le meilleur perde !
Nous voulons faire sentir toute limportance et
toute létendue dune science la politique
quon doit regarder encore comme presque nouvelle
et qui ne peut faire de grands progrès
quautant quelle sera cultivée par des hommes
politiques qui joindront à une connaissance
approfondie des sciences politiques, des talents
pour la géométrie. Condorcet
Prenons un exemple 1er choix 2ème choix
Pourcentage de voix A
B 3 A
C 37 B
A 2 B
C 33 C
A 5 C
B 20 Sil
ny a quun tour, cest donc A qui lemporte.
Mais sil y a deux tours, le vainqueur du premier
tour est sûr de perdre au second ! Le mode de
scrutin actuel ne permet pas de connaître des
détails comme ceux fournis dans le tableau
précédent les résultats dune élection ne
permettent pas de savoir en profondeur ce que
pensent les électeurs, pas même de connaître
leurs préférences relatives.
Le choix de la question est décisif cest
lacte politique crucial. La question contient en
elle-même une partie de la réponse. Le citoyen se
doit de réfléchir non pas seulement à la question
posée, mais aussi aux autres choix quil aurait
pu estimer possibles.
8
Paradoxe de Condorcet
PIERRE, FEUILLE, CISEAUX ! La pierre casse les
ciseaux Les ciseaux
coupent la feuille
La feuille enveloppe
la pierre Bien que lon puisse comparer deux à
deux les objets, selon la règle précédente, il
ny a ni meilleur, ni moins bon. Tout comme dans
le Paradoxe de Condorcet, il ny a aucun objet
qui est sûr de gagner sil est confronté à un
autre.
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Un carré magique est un carré formé avec les
nombres entiers consécutifs, en partant de 1,
utilisés chacun une fois et une seule, de sorte
que la somme des nombres de chaque ligne, chaque
colonne et chaque diagonale soit la même. Ici on
a utilisé les nombres de 1 à 9 pour formé un
carré magique 3x3.
Durant un tournoi déchecs par équipes de trois
joueurs, chaque joueur affronte celui qui a la
même échiquier dans la liste. Chaque ligne dans
le carré magique représente une équipe et chaque
colonne un des échiquiers. Les différences de
force sont telles que les jeux sont faits à
lavance. Appelons 1 le plus fort, 2 celui qui le
suit, jusquà 9 le moins fort de tous. On
constate sans peine que la première équipe perd
contre la seconde, qui perd contre la troisième,
qui elle-même perd contre la première !
9
Dilemme du prisonnier
Pour changer, Filochard et Ribouldingue se sont
encore fait pincer. Filochard sait que s'il se
tait alors que Ribouldingue avoue, il prendra 5
ans et Ribouldingue sera libéré. Mais l'inverse
est aussi vrai. Maintenant, si tout le monde
avoue, le tarif sera de 4 ans, tandis que si
chacun se tait ça fera 2 ans par tête. Bien sûr,
chacun ignore la décision de l'autre.
F\R Avoue Se tait
Avoue F 4 ans R 4 ans F libre R 5 ans
Se tait F 5 ans R libre F 2 ans R 2 ans
Filochard réfléchit ainsi Si Ribouldingue
avoue, alors j'ai intérêt à avouer, puisque
j'aurai 4 ans au lieu de 5. Mais sil se tait,
alors j'ai encore plus intérêt à avouer, car
alors je serai libre. Ribouldingue, de son
côté fait le même raisonnement.
Chacun individuellement conclut donc qu'il a
intérêt à avouer. Pourtant globalement la
situation daveux simultanés est plus
défavorable pour les deux que la situation de
refus conjoints de parler. Cest ce paradoxe
quon appelle dilemme du prisonnier.
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La conjecture de Poincaré
La sphère est le seul espace tridimensionnel
fermé dépourvu de trous
La conjecture de Poincaré fait partie des 7
problèmes du millénaire choisis par le Clay
Mathematics Institute en lan 2000 et dont la
résolution est primée 1 million de dollars. Le
mathématicien russe Grigori Perelman semble avoir
démontré cette conjecture, mais il ne compte pas
réclamer le prix !
Jules Henri Poincaré 1854 --1912
Prenez une pomme, et imaginez un ruban autour de
cette pomme. La pomme na pas de trou en
faisant glisser le ruban tout doucement, il est
possible de le comprimer en un point de la pomme,
sans couper le ruban ni le faire quitter la
surface de la pomme.
Prenez maintenant un anneau, et imaginez un ruban
enfilé autour de l'anneau. Lanneau a un trou
et il est impossible, sans couper le ruban ou
l'anneau, de réduire juste par glissement et
compression le ruban en un point.
Bouteille de Klein
11
La forme de lunivers

• Perelman a en fait résolu la conjecture de
  Thurston, plus générale encore que la conjecture
  de Poincaré.
• Cette conjecture affirme quil y a huit
  géométries possibles pour les espaces à trois
  dimensions.
• Voici les plus habituelles
• Lespace euclidien
• La sphère
• Lespace hyperbolique

La résolution de la conjecture pourrait être
d'une grande aide pour les chercheurs en
astronomie et permettrait de comprendre la forme
de l'univers.
En octobre 2003, une équipe franco-américaine, se
basant sur l'étude des rayonnements
cosmologiques, a formulé dans la revue Nature une
nouvelle hypothèse. Lunivers aurait la forme de
l'espace de Poincaré un dodécaèdre composé de
12 pentagones dont les faces opposées sont
abstraitement liées entre elles. Autrement dit,
sortir de cet espace par une face signifie y
rentrer par la face qui lui est opposée.
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Bizarre, vous avez dit bizarre ?
Il est facile dêtre étonné par des faits qui
font penser quil vient de se passer quelque
chose dextraordinaire, par des coïncidences que
lon pense totalement improbables. En cette
matière, il faut effectivement se forger une
intuition avant de conclure au surnaturel ou à
lextraordinaire.
Prenez 23 personnes au bureau et clamez Deux
dentre vous sont nés le même jour ! Vous avez
plus dune chance sur deux davoir raison. Et
face à 50 personnes, cest sûr à 97 ! En effet
la probabilité de se tromper est égale à
365x364x363xx343/365230.5.
Un medium annonce pour les trois années à venir
169 dates pour lesquelles il y aura des séismes
de magnitude supérieure à 6,5. On constate après
coup que, sur les 196 séismes qui se sont
effectivement produits, 33 avaient été prédits
par le medium. Or la probabilité davoir 33
succès de la sorte nest que de 7,1. Pourtant il
ny a là rien dextraordinaire. Pourquoi ?
Parce que la probabilité quil y ait entre 20 et
40 succès est environ 98 ! Or le medium
navait pas annoncé exactement 33 succès En
fait cest sil avait obtenu plus de 40 ou moins
de 20 que cela aurait été surprenant. À bien y
réfléchir, si le medium navait eu aucun succès,
alors là, oui, il aurait fallu sémerveiller !
13
Le sophisme du Procureur
Cest un paradoxe très largement débattu et dont
il faut se méfier dès que lon manipule des
probabilités. Largument fallacieux consiste à
confondre la probabilité quun évènement
accidentel survienne avec la probabilité
dêtre innocent .
La probabilité pour que deux profils ADN soient
identiques est environ de 1/10 000. Si
maintenant, suite à une affaire de mœurs, on
trouve un suspect dont le profil ADN est
exactement celui trouvé sur la victime doit-on
en déduire quon na quune chance sur 10 000 de
se tromper en laccusant ?
NON. Si on a comparé le profil ADN trouvé sur la
victime avec 20 000 profils (issus dun fichier
de la police scientifique), il y a 86 de chances
de trouver au moins un profil identique et 27
den trouver exactement un. En effet
1-(1-1/10 000)20 0000.86 et
20 000x (1-1/10 000)19 999x1/10 0000.27. Il
ne faut pas en déduire que les tests ADN ne
servent à rien, ni quon ne peut rien dire à
partir deux. Si par exemple la victime reconnaît
son agresseur et quensuite on effectue un test
ADN qui est positif, alors les calculs précédents
ne sappliquent pas, sans pour autant donner de
certitudes.
14
Laffaire Sally Clark
En novembre 1999, au Royaume-Uni, Sally Clark est
accusée davoir tué ses deux enfants, Christopher
âgé de 11 semaines en décembre 1996 et Harry âgé
de 8 semaines en janvier 1998. Faute de preuves,
lexpert auprès du tribunal, le Prof. Meadow,
utilise largument fallacieux suivant La
probabilité que les deux nourrissons soient morts
dune Mort Subite du Nourrisson est très très
faible, 1 chance sur 73 millions. Cest comme si
un outsider côté à 80 contre 1 gagnait 4 années
de suite le grand prix National
Le Prof. Meadow laisse penser que la probabilité
quune Mort Subite du Nourrisson frappe deux fois
la même famille représente également la
probabilité dinnocence de Sally Clark. Cest
complètement erroné. Pour évaluer cette
probabilité dinnocence, il faut chercher le
nombre de fois quun événement rarissime se
produit dans une population très restreinte
(celle de ceux qui ont subi deux décès) et non le
nombre de fois quil se produit au sein de la
population totale.
En utilisant le fait quau Royaume Uni, on peut
dénombrer par an environ 30 infanticides et
650000 naissances, on obtient que la probabilité
pour que Sally Clark soit innocente est
supérieure à 2/3 !!! Mais de toute façon,quel
quait été le résultat aucune conclusion ne
serait pour cela légitime, parce que
lapplication du calcul des probabilités aux
sciences morales est comme la dit Auguste Comte,
le scandale des mathématiques, parce que Laplace
et Condorcet , qui calculaient bien, eux, sont
arrivés à des résultats dénués de sens commun !
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Laffaire Dreyfus
Extraits de la lettre de Poincaré à
Painlevé Maintenant si vous voulez seulement
savoir si, dans les raisonnements où M.Bertillon
applique le calcul des probabilités, cette
application est correcte, je puis vous donner mon
avis. Prenons le premier de ces raisonnements,
le plus compréhensible de tous. Sur 13 mots
redoublés correspondant à 26 coïncidences
possibles, lauteur constate 4 coïncidences
réalisées. Evaluant à 0,2 la probabilité dune
coïncidence isolée, il conclut que celle de la
réunion de 4 coïncidences est de 0,0016. Cest
faux. 0,0016 cest la probabilité pour quil y
ait 4 coïncidences sur 4. Celle pour quil y en
ait 4 sur 26 est 400 fois plus grande, soit 0,7.
Cette erreur colossale rend suspect tout ce qui
suit.
Paul Painlevé
Ne pouvant dailleurs examiner tous les détails,
je me bornerai à envisager lensemble du système.
Outre les 4 coïncidences précitées, on en signale
un grand nombre de nature différente, mettons
10000, mais il faudrait comparer ce nombre à
celui des coïncidences possibles, i.e. de celles
que lauteur aurait compté à son actif sil les
avait constatées. Sil y a 1000 lettres dans le
bordereau, cela fait 999000 nombres, en comptant
les différences des abscisses et celles des
ordonnées. La probabilité pour que sur 999000
nombres il y en ait 10000 qui aient pu paraître
remarquables à un chercheur aussi attentif que
M. Bertillon cest presque la certitude.
Henri Poincaré
16
Mathématiques et Referendum

• On demande aux Français, par voie de referendum
• Voulez-vous un régime présidentiel, un régime
  parlementaire ou un régime dassemblée ?
• Or parmi les 20 millions délecteurs
• 9 millions préfèrent le présidentiel,
  accepteraient le parlementaire mais refusent
  celui dassemblée
• 6 millions préfèrent le parlementaire,
  accepteraient celui dassemblée, mais refusent le
  présidentiel
• 5 millions celui dassemblée, accepteraient le
  présidentiel mais refusent le parlementaire.
• Que va-t-il se passer ?

Un peu plus tard, un homme politique influent
parvient à faire poser dans un nouveau referendum
la question suivante Le peuple français est-il
daccord pour substituer le régime dassemblée au
régime présidentiel actuellement en vigueur ?
Quelle sera la réponse à la question ? Plus
tard encore, un autre homme politique de poids
fait organiser un troisième referendum sur le
thème Le peuple français préfère-t-il le
régime parlementaire au régime dassemblée ?
Quelle sera la réponse à cette nouvelle
question ?
Dans le premier cas, le choix soriente vers le
régime présidentiel, bien que ce ne soit pas à
une majorité absolue. Dans le second cas, la
réponse est oui puisque 11 millions de
personnes préfèrent le régime dassemblée au
régime présidentiel. Enfin la réponse est au
troisième referendum est encore oui puisque
ce sont 15 millions de personnes qui préfèrent le
régime parlementaire au régime dassemblée.
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Quand les mathématiques se prennent au jeu
Une partie de Morpion ou les coups des deux
joueurs sont les meilleurs possibles.
Une partie de Bridge, Kruku peut décider sa
stratégie de jeu en regardant ses cartes, et en
devinant un peu celles de ses adversaires.
Voici une description presque complète d'une
stratégie optimale pour le joueur des croix le
dessin en dessous ou en bas des flèches décrit la
réponse du joueur de cercles le dessin après la
pointe de la flèche décrit la réponse conseillé
par la stratégie au joueur des croix. Pour raison
d'espace on ignore beaucoup des possibles
réponses du joueur de cercles mais ou bien sont
des réponses suicides ou bien pour des raisons
de symétrie sont équivalentes au celles que on a
dessiné.