Ecuaciones diferenciales usando el M

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Ecuaciones diferenciales usando el Método de
coeficientes Indeterminados

• Por Tomás Estrada Sánchez
• Grupo 211

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• La primera de las dos formas que se
  consideran para obtener una solución particular
  Ypde una Ecuación Diferencial Lineal no Homogénea
  se llama método de coeficientes indeterminados.
  La idea fundamental que sustenta este método es
  una conjetura acerca de la forma Yp en realidad
  es una suposición informada, motivada por las
  clases de funciones que constituyen la función de
  entrada g(x).
• Los coeficientes ai, i0,1 n son constantes y
• g(x) es una constante, una función polinomial,
  una función exponencial e ax, una función seno o
  coseno, sen bx o cos bx, o suma finitas y
  productos de estas funciones.

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Ejemplo

• g (x)10, g(x)x2-5x, g(x)15x-68e-xG(x)sen
  3x-5xcos2x, g(x) x ex sen x(3x2-1)e-4xEs decir
  g(x) es una combinación lineal de funciones de la
  claseP(x) an Xnan-1 Xn-1a1Xa0, P(x) eax,
  P(x) eax sen Bx y P(x) eax cos Bx,Donde n es un
  numero entero no negativo y a y b son números
  reales. El método de coeficientes indeterminados
  no es aplicable a ecuaciones de la forma (fig. 1)
  cuandog(x) ln x, g(x)1/x, g(x) tan x,
  g(x)sen-1, etcétera.

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• Ahora describiremos paso a paso la solución de la
  siguiente ecuación, para tener una visión mas
  clara respecto al temaEJEMPLOy 4y-2y2X2
  -3X6

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Pasos a seguir
PASO 01Se resuelve primero la ecuación
homogénea relacionada y4y-2y0.De la formula
cuadrática se encuentra que las raíces de la
ecuación auxiliar m24m-20 son m1-2-v6 y
m2-2v6. Por consiguiente, la función
complementaria esYC1e-(2v6)x C2e(-2v6)x
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PASO 02ahora debido a que la función g(x) es un
polinomio cuadrático, supóngase una solución
particular que también es de la forma de un
polinomio cuadráticoYp Ax2BxCSe busca
determinar coeficiente específicos A,B y
CSustituyendo Yp y las derivadas se
obtieneYp4yp-2yp2A8AX4B-2AX2-2BX-2C2X2-3X
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• COMO SE HACE?IGUALES-2A X2 8A-2B X
  2A4B-2C 2X2 -3X 6Como se supone que la ultima
  ecuación es una identidad los coeficientes de los
  exponentes similares a x deben ser iguales
• COMO SE HACE? SOLUCION PASO A PASOEs decir,
  -2A2, 8A-2B-3, 2A4B-2C6.La solución de este
  sistema de ecuaciones produce los
  valoresA-1,B-5/2 C-9Por lo tanto una
  solución particular seriaYp-X2- 5/2 X-9