JEAN-MARC GINOUX

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Le Chaos en quelques mots

• JEAN-MARC GINOUX
• Maître de Conférences en Mathématiques Appliquées
• ginoux_at_univ-tln.fr
• http//ginoux.univ-tln.fr
• Laboratoire P.R.O.T.E.E.,
• I.U.T. de Toulon, Université du Sud,
• B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France

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Le Chaos en quelques mots

• Chaos originel

Théorie du Chaos
Non-linéarité
Déterminisme
Systèmes
Rétroaction
Sensibilité aux Conditions Initiales (S.C.I.)
Dimension Fractale
Attracteur Etrange
Chaos Déterministe ?
Effet Papillon
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Le Chaos en quelques mots
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Le Chaos en quelques mots
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Le Chaos en quelques mots
Chaos du grec (?a??) khaos état de
confusion des éléments ayant précédé
l'organisation du monde toute sorte de
confusion, de désordre
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Le Chaos en quelques mots
Système Dynamique Représentation mathématique
dun phénomène observé en terme déquations
différentielles décrivant son évolution
temporelle.
Système Conservatif Conservation de lénergie
(pendule non-amorti) Système Dissipatif
Non-conservation de lénergie (pendule amorti)
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Le Chaos en quelques mots
Système Conservatif Le pendule non-amorti
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Le Chaos en quelques mots
Système Dissipatif Le pendule amorti
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• Système Dynamique Intégrable
• Solution analytique

• Système Dynamique Intégrable
• Pas de solution analytique
• Solution numérique (ordinateur)

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Equation Algébrique représentation analytique
de léquation dune courbe
Résoudre une équation algébrique cest chercher
le ou les points dintersection de cette courbe
avec laxe horizontal dans un repère cartésien.
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Résoudre x 1 0
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Le Chaos en quelques mots
Résoudre x2 x 1 0
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Le Chaos en quelques mots
Résoudre x5 - 5x3 4x 0
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Le Chaos en quelques mots
A toute courbe correspond-il une équation
analytique ? A toute équation analytique
correspond-il une courbe ?
Non, comme le démontra Poincaré en 1881 il existe
des  courbes définies une équation
différentielle 
Ainsi, les solutions, i.e., les intégrales de
systèmes dynamiques sont des courbes.
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Le Chaos en quelques mots
Système dynamique intégrable La solution est
une courbe dont on peut expliciter léquation
analytique.
Système dynamique non-intégrable La solution
est toujours une courbe MAIS dont on NE peut
PLUS expliciter léquation analytique.
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Le Chaos en quelques mots
Le pendule non-amorti
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Le Chaos en quelques mots
Le modèle de Vito Volterra
thons
C
(AB) S ? et T ?
(BC) T ? et S ?
(CA) S ? et T ?
(AC) T ? et T ? .
B
A
sardines
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Le Chaos en quelques mots
Intégrable ou non Intégrable ? La présence dun
terme non-linéaire est une condition nécessaire
(mais pas suffisante) de non-intégrabilité dun
système dynamique
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Déterminisme Capacité à  prédire  le futur
dun phénomène à partir dun évènement passé ou
présent
Déterminisme et intégrabilité Tout système
dynamique intégrable est déterministe. Un
système dynamique non-intégrable peut être ou ne
pas être déterministe.
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Le Chaos en quelques mots
Tout système dynamique déterministe est- il
intégrable ?
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• Poincaré et le problème des trois corps
• Tout système déterministe nest pas intégrable.
• La prédiction de lévolution de la trajectoire
• de la Terre à long terme est impossible.

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• Conditions dobtention du chaos
• Un système dynamique
• déterministe
• non-intégrable
• trois variables
• termes non-linéaires
• peut être  chaotique .

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Le Chaos en quelques mots
La signature du chaos (H. Poincaré, 1908) La
sensibilité aux conditions initiales  Une cause
très petite, qui nous échappe, détermine un
effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas
voir, et alors nous disons que cet effet
est dû au hasard. (...). Il peut arriver
que de petites différences dans les conditions
initiales en engendrent de très grandes dans les
phénomènes finaux. Une petite erreur sur les
premières produirait une erreur énorme sur les
derniers. La prédiction devient impossible et
nous avons le phénomène fortuit. .
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Le Chaos en quelques mots
La signature du chaos (E. Poe, 1843) La
sensibilité aux conditions initiales ... Car,
relativement à la dernière partie de la
supposition, on doit considérer que la plus
légère variation dans les éléments des deux
problèmes pourrait engendrer les plus graves
erreurs de calcul, en faisant diverger absolument
les deux courants dévènements à peu prés de la
même manière quen arithmétique une erreur qui,
prise individuellement, peut être inappréciable,
produit à la longue, par la force accumulative de
la multiplication, un résultat effroyablement
distant de la vérité ...
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Le Chaos en quelques mots
La signature du chaos (H. Poincaré, 1908) La
sensibilité aux conditions initiales  Pourquoi
les météorologistes ont-ils tant de peine à
prédire le temps avec quelque certitude ?
Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes
elles-mêmes nous semblent-elles arriver au
hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout
naturel de prier pour avoir de la pluie ou du
beau temps, alors qu'ils jugeraient ridicule de
demander une éclipse par une prière ? Nous voyons
que les grandes perturbations se produisent
généralement dans les régions où l'atmosphère est
en équilibre instable. Les météorologistes voient
bien que cet équilibre est instable, qu'un
cyclone va naître quelque part mais où, ils
sont hors d'état de le dire un dixième de degré
en plus ou en moins en un point quelconque, le
cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses
ravages sur des contrées qu'il aurait épargnées.
Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait
pu le savoir d'avance, mais les observations
n'étaient ni assez serrées ni assez précises, et
c'est pour cela que tout semble dû à
l'intervention du hasard. 
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Le Chaos en quelques mots
Leffet papillon (E. Lorenz, 1963)  Cela
implique, que deux états qui ne diffèrent que par
dinfimes quantités peuvent évoluer vers deux
états totalement différents. Partant de là sil y
la moindre erreur dans lobservation dun état au
temps présent, et de telles erreurs semblent
inévitables dans nimporte quel système réel, il
se pourrait bien quil soit impossible de faire
une prédiction valable de ce que deviendra cet
état dans un futur lointain. 
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Le Chaos en quelques mots
The Butterfly Effect Predictability Does the
Flap of a Butterflys Wings in Brazil Set off a
Tornado in Texas ?
Leffet papillon Prédictabilité Le battement
dailes dun papillon au Brésil peut-il
déclencher une tornade au Texas ?
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Le Chaos en quelques mots

•  Attracteur étrange 
• Attracteur quelle que soit la condition
  initiale choisie (dans un certain voisinage) la
  trajectoire aboutira inexorablement sur cette
  surface-papillon.
• Etrange les trajectoires dessinent une surface
  dont la dimension nest pas entière et égale à 2
  mais fractale, cest-à-dire non-entière.

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• Les fractales (B. Mandelbrot, 1975)
• Les fractales sont des objets de
• Dimension non-entière, fractale, i.e., possédant
• une dimension qui se situe par exemple entre
• celle dune surface et celle dun volume.
• Auto-similaire, i.e., dont chacune des parties
  représente un motif qui est celui de lobjet
  lui-même.

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Le Chaos en quelques mots
La biscotte fractale
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Le Chaos en quelques mots
Lauto-similarité
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Le triangle de Sierpinski
Le flocon de Koch
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• Conclusion
• Le terme  Chaos  fut introduit pour la première
  fois en 1975 dans un article intitulé   Period
  three implies Chaos .
• Le concept  dattracteurs étranges  a été
  défini en 1971 par David Ruelle et Floris Takens.
• Le premier exemple dattracteur chaotique a été
  découvert en 1963 par Edward Lorenz.

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