FAKULTET GRA

1

• FAKULTET GRAÐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I
  GEODEZIJE SVEUCILIŠTA U SPLITU
• Doc.dr.sc. Hrvoje Gotovac
• MODELIRANJE TOKA I PRONOSA U PODZEMLJU
• Split, 04. 10. 2011.

2
Sadržaj kolegija

• Uvod
• Tecenje u poroznim zasicenim sredinama
• Pronos u poroznim zasicenim sredinama
• Stohasticko modeliranje toka i pronosa zagadenja
  i trasera u poroznim zasicenim sredinama
• Tecenje i pronos u nezasicenim poroznim sredinama
• Tecenje i pronos s promjenjivom gustocom
• Višefazno tecenje
• Pronos energije u poroznim sredinama
• Tecenje i pronos u raspucalim frakturiranim
  formacijama
• Tecenje i pronos u kršu
• Dodatak DVD s grafickim programskim paketom Fi.
  kodovima i primjerima

3
Literatura

• Interna skripta, 2010, Gotovac.
• Geostatistika-umijece prostorne analize, 2007,
  Andricevic, Gotovac, Ljubenkov.
• Osnove hidromehanike, 2006, Jovic.
• Uvod u inženjersko numericko modeliranje, 1993,
  Jovic.
• Applied stochastic hydrogeology, 2003, Rubin.
• Seawater intrusion in coastal aquifers, 1999,
  Bear i ostali.

4
1. UVOD

• Ovo poglavlje posveceno je prvenstveno osnovnim
  pojmovima, parametrima i zakonima hidraulike
  podzemnih voda.
• Znacenje podzemne vode u kružnom ciklusu vode u
  prirodi
• Znacenje podzemne vode za vodopskrbu,
  gospodarstvo, navodnjavanje,
• Samo manji dio oborina probije se do podzemlja,
  no kroz geološko vrijeme ovakav proces rezultirao
  je velikim zalihama podzemne
• Volumen podzemne vode predstavlja NAJVECI volumen
  nezaslanjene vode raspoložive za uporabu (preko
  99 )
• Osim tecenja promatramo i pronos raznih cestica,
  tvari i/ili energije
• Spominjemo razne vrste tecenja, pronosa,
  vodonosnih slojeva, poroznih sredina
• Dajemo znacaj modeliranja, razlicitih formulacija
  i tehnika rješavanja

5
Lokacija Volumen (km3 106) Postotak ()
Oceani i mora 1370 93,77
Jezera i rijeke 0,18 0,01
Vlažnost zemlje 0,12 0,01
Podzemne vode 60 4
Ledeni pokrivac 30 2
Voda u atmosferi 0,01 lt0,01
Voda u biosferi 0,01 lt0,01
Procjena vodnih resursa Zemlje

• U SAD-u je procijenjeno da crpljenje podzemne
  vode za vodoopskrbu i navodnjavanje doseže 73
  milijarde galona ili 277x106m3 dnevno, što cini
  otprilike 1/5 ukupne upotrebe voda u SAD-u.

6
Voda u podzemlju
Hidrološki ciklus vode na Zemlji

• Voda u podzemlje dolazi prvenstveno iz oborina
  procesima infiltracije i perkolacije kroz poroznu
  sredinu.

7
Voda u podzemlju

• Brzinu i kolicinu vode koja ce se infiltrirati u
  zasicenu zonu odreduju vrsta geološke sredine
  sistema te stupanj heterogenosti.
• NESTACIONARNOST RAZINE PODZEMNE VODE vrlo je
  važna karakteristika na koju treba obratiti
  posebnu pozornost pri projektiranju i analizi
  podzemnih voda

8
Osnovni termini

• Hidraulika, hidrologija i hidrogeologija
• Porozni medij ima ima dvije-tri faze voda, zrak
  i cvrsta faza
• Zasicena i nezasicena sredina
• Akviferi i akvitardi (vodopropusni i
  vodonepropusni slojevi)
• Vodonosnik sa slobodnim vodnim licem i pod tlakom
• Saturirano i nesaturirano tecenje
• Reaktivni i ne-reaktivni pronos
• Jednofazno ili višefazno tecenje
• Tecenje miješajucih i nemiješajucih fluida
• Kontinuirana porozna sredina (npr. aluviji,
  pješcenjaci), raspucale frakturirane stijene
  (npr. dolomiti) i krške strukture (npr. vapnenci)

9
Trokomponentni (trofazni) sastav tla
10
Primjer tecenja u vodonosniku

• Najcešci primjeri vodonosnih slojeva su geološke
  formacije dobre hidraulicke vodljivosti (npr. gt
  10-5 m/s ). Tu prvenstveno spadaju aluvijalne
  formacije pijeska, šljunka te ostale provodljive
  sedimentne stijene (pješcenjaci, vapnenci itd.)
  Slika predstavlja vodnosnik sa slobodnim vodnim
  licem i pod tlakom. Izmedu njih je akvitard ili
  vodonepropusni sloj.

11
ZASICENA SREDINA

• nalazi se ispod vodnog lica u podzemlju
• voda ispunjava sve povezane pore i vlažnost je
  jednaka efektivnom porozitetu
• tlak vode je veci od atmosferskog (tako je
  mjereni tlak veci od nule)
• hidraulicka visina se mjeri u piezometrima
• vodonosni sloj ili vodonosnik ? svaka geološka
  formacija koja je porozna, zasicena vodom i može
  pronositi znacajne kolicine vode pod utjecajem
  hidraulickog gradijenta (rijec akvifer, koja se
  cesto susrece u stranoj literaturi, ima puno šire
  znacenje)
• vodonepropusni slojevi (ili akvitardi) ?
  formacije koje nemaju sposobnost provodenja vode
  zbog slabe hidraulicke provodljivosti, bez obzira
  da li u sebi sadrže vodu u prostoru pora

12
NEZASICENA SREDINA

• dijelovi podzemlja nisu uvijek ispunjeni vodom,
  a to se prvenstveno odnosi na one dijelove
  podzemlja koji su blizu površine zemlje
• prostor pora u tom slucaju samo je parcijalno
  ispunjen vodom i stoga se taj dio zove NEZASICENA
  ZONA
• osnovna fizikalna karakteristika nezasicene
  sredine je stupanj vlažnosti koji je prisutan u
  formaciji
• ako podijelimo ukupni volumen poroznog uzorka
  VU, na volumen cvrste faze Vs, volumen vode
  prisutan u uzorku Vv i volumen zraka prisutnog u
  uzorku Vz, tada je stupanj vlažnosti definiran
  kao

Kao i porozitet, vlažnost se definira u postotku
i u slucaju zasicene sredine,
, dok kod nezasicene sredine vrijedi
.
13
Heterogeni porozni medij
14
Realni fizikalni primjeri

• Eksploatacija vodonosnika za vodoopskrbu ili
  navodnjavanje (hidrotehnicki aspekt)
• Utiskivanje nuklearnog ili drugog opasnog otpada
  (ekološki aspekt)
• Interakcija slatke i slane vode u obalnim
  vodonosnicima (hidrotehnicki i ekološki aspekt)
• Utiskivanje trasera ili probna crpljenja radi
  odredivanja disperzivnih ili drugih
  karakteristika vodonosnika (hidrogeološki aspekt)
  

15
Realni fizikalni primjeri

• Višefazno tecenje nemiješajucih fluida (npr.
  interakcija vode i nafte pri procesu crpljenja
  nafte, ekonomski i energetski aspekt)
• Eksploatacija geotermalne energije (medicinski
  aspekt)

16
MEÐUDJELOVANJE PODZEMNIH I POVRŠINSKIH TOKOVA
17
PRODOR SOLI U PRIOBALNE VODONOSNIKE
18
ZBRINJAVANJE NUKLEARNOG OTPADA U SLANE DOME
19
ZBRINJAVANJE OTPADA IZ NAFTNOG RUDARSTVA U DUBOKE
BUŠOTINE
20
Višefazno tecenje ulja, vode i plina
21
Reaktivni pronos - biodegradacija
22
GEOTERMALNI KONVEKTIVNI PROCESI U PODZEMLJU
23
Osnovne fizikalne varijable u podzemlju

• Tlak
• Piezometarska visina
• Koncentracija
• Brzina
• Temperatura

24
Osnovne hidraulicke karakteristike

• Gustoca
• Viskoznost
• Stišljivost fluida
• Stišljivost poroznog medija
• Poroznost
• Permeabilnost

25
FIZIKALNE KARAKTERISTIKE I PRINCIPI
Osnovni fizikalni pojmovi

• Energija, E, je sposobnost tijela da izvrši rad
  koji je jednak produkt sile i puta na kome ona
  djeluje. Mjerna jedinica za rad je 1 Joul (J), to
  je ustvari sila od 1 N koja djeluje na putu od
  1 m.

• Sila, F, je produkt mase i akceleracije. Mjerna
  jedinica za silu je 1 Newton
• (N) - 1 kg s akceleracijom od 1 .

• Težina vode, G, gravitacijska je sila zemlje
  koja djeluje na tijelo, i ima istu mjernu
  jedinicu kao i sila

26

• Gustoca vode

• Specificna težina

(težina po jedinicnom volumenu)

• Koncentracije faze (volumenska i masena)

• Tlak

• Tenzor naprezanja je simetricni tenzor drugog
  reda. U svakoj ravnini su definirana normalna
  (tlak i vlak) i posmicna naprezanja. U vodi imamo
  samo tlak.

27
GUSTOCA

• Ovisi o promjeni tlaka, temperature i/ili
  koncentracije
• Za izotermne uvjete i klasicne raspone tlakova
• Slatka voda - more
• Slani slojevi ili dome, zagadenja, otpad

28
VISKOZNOST

• Dinamicka viskoznost je svojstvo tekucine da se
  odupire posmicnoj ili tangencijalnoj deformaciji,
  a prikazuje odnos vremenske posmicne deformacije
  i posmicnog naprezanja u fluidu (Jovic, 1978).
• Ovisi o promjeni tlaka, temperature i/ili
  koncentracije

29
STIŠLJIVOST

• stišljivost - karakteristika materijala koja
  opisuje promjenu volumena ili napona u materijalu
  pod djelovanjem tlaka
• standardni pristup u cvrstoci materijala je
  koncept modula elasticnosti koji je definiran kao
  odnos promjene naprezanja ds prema rezultirajucoj
  promjeni relativne deformacije de
• stišljivost je inverzna modulu elasticnosti,
  definirana kao relativna deformacija/naprezanje
  de/ds

30

• cvrstoca materijala u poroznoj sredini mjeri se
  modulom elasticnosti

gdje je ds naprezanje, a de deformacija.

• stišljivost je obrnuto proporcionalna modulu
  elasticnosti

stišljivost

• povecanje tlaka (p) vode može rezultirati
  smanjenju odredenog volumena vode, VV.
  Stišljivost vode je tada definirana kao

negativan predznak potreban je da se dobije
pozitivna vrijednost za
- relativna deformacija u vremenu
- promjena tlaka
31
Prethodni izraz prikazuje linearnu elasticnu
relaciju izmedu volumetrijske deformacije i tlaka
induciranog u vodi sa promjenom tlaka dp. Dakle,
stišljivost vode ß predstavlja nagib linearnog
odnosa relativne deformacije prema tlaku. ß ima
jedinice kao i inverzni tlak
( ,Pa) tj.
32
Za poznatu masu vode može se pisati
? - gustoca vode
- relativna deformacija volumena izražena kao
relativna promjena gustoce
Integracijom izraza ß definiranim s gustocom vode
dobiva se jednadžba stanja vode
S tim da je gustoca ?0 gustoca pri p0. Ako se
uzme za p0atmosferski, dobiva se
Za nestišljivu tekucinu vrijedi
konstanta
Temperatura koja se uglavnom susrece u podzemlju
ima zanemariv utjecaj na ß tako da u praksi
uglavnom uzimamo ß const.
33

• Pretpostavimo da je jedinicna masa porozne
  sredine stavljena pod pritisak. Postoje tri
  nacina kako može doci do smanjenja volumena u
  poroznoj sredini
• kompresijom vode u porama kontroliran
  stišljivošcu vode (ß)
• kompresijom individualnih zrna materijala -
  stišljivost individualnih zrna (taj mehanizam je
  zanemariv pod pretpostavkom da su zrna materijala
  nestišljiva)
• preraspodjelom poroznog materijala u gušce
  pakiranu sredinu (taj mehanizam predstavlja
  stišljivost porozne sredine koji je bitan u
  izgradnji podzemnih objekata)
• Koncept efektivnog tlaka predloženog od
  Terzaghi-a (1925)
• Primjer tlak je u ravnoteži na proizvoljnoj
  plohi (Sl.2.5).
• st - ukupni tlak koji djeluje prema dolje na
  plohu (može biti rezultat težine same porozne
  sredine s vodom, a može biti rezultat gradevnog
  objekta)

34
Ravnotežu ukupnom tlaku daje tlak tekucine p i
efektivni tlak se . Upravo ovaj efektivni tlak
djeluje na skelet porozne sredine i uzrokuje
preraspodjelu zrna poroznog materijala koja
konacno rezultira kompresijom skeleta porozne
sredine. U ravnotežnom stanju možemo pisati
odnosno u obliku promjene
(diferencijalnom obliku)
.
Ravnoteža tlakova

• U vecini slucajeva težina porozne formacije ili
  težina objekta konstantna u vremenu
  što rezultira jednakosti, (porast
  tlaka tekucine prati pad efektivnog tlaka).
• Dakle, efektivni tlak u bilo kojoj tocci
  poroznog sistema kontroliran je tlakom tekucine u
  toj tocci.

35

• kako je u bilo kojoj tocci
  tj. z konst., svaka promjena efektivnog tlaka
  je kontrolirana promjenom hidraulicke visine,
• ova kratka analiza efektivnog pritiska omogucava
  definiciju stišljivosti porozne sredine u obliku
• gdje je VU ukupni volumen porozne mase, definiran
  kao VU VsVv, pri cemu Vs oznacava volumen krute
  faze dok Vv oznacava volumen tekucine
• povecanje efektivnog napona se rezultira
  smanjenjem dVU ukupnog volumena porozne sredine
  kao rezultat reorganizacije zrnatog materijala
  porozne sredine
• kako se opcenito može pisati, dVU dVs dVv,
  tada pod pretpostavkom da je kruta faza
  nestišljiva (npr. dVs 0 ? pišemo dVU dVv)
• na istom principu odnosa efektivnog napona i
  promjene volumena temeljeni su i instrumenti za
  mjerenje stišljivosti porozne sredine odnosno
  procesa konsolidacije koji ima važnu primjenu u
  analizi i projektiranju hidrotehnickih objekata.

36
Kada se uspostavi ekvilibrij onda je dp 0
Odnos volumena vode prema cvrstoj fazi
pocetni

• a za razliku od ß nije konstanta vec funkcija
  tlaka te prijašnjeg opterecenja.
• Za vodonosnik a je samo jednodimenzionalna
  velicina. Ako je tlak samo vertikalni onda b
  postaje debljina vodonosnika i a postaje
  vertikalna stišljivost. U stvarnosti je a a
  (x,y) iako se smatra da je vertikalni najvažniji.

Sredina
Glina 10-6 - 10-8
Pijesak 10-7 - 10-9
Šljunak 10-8 - 10-10
Cvrsta stijena 10-9 - 10-11
Voda( ) 4.4 x 10-10

37
TOTALNA ILI APSOLUTNA POROZNOST

• Poroznost zemljanog materijala odnos je volumena
  otvorenog prostora (pora) prema totalnom
  volumenu promatranog uzorka. To je
  bezdimenzionalna velicina najcešce dana u
  postotku

gdje je Vv volumen otvorenog prostora, V
totalni volumen promatranog prostora i n je
totalna poroznost uzorka. Poroznost se
laboratorijski odreduje uzimanjem uzorka s
poznatim volumenom (V). Uzorak se potom suši do
konstantne težine na temperaturi od 105 C.

• Uzorak se potom suši do konstantne težine na
  temperaturi od 105 C. Time se odstrani sva voda
  iz pora, ali ne i voda koja je kemijski vezana uz
  minerale. Osušeni uzorak se zatim potopi u posudu
  s poznatim volumenom vode i ostavi dok se potpuno
  ne saturira. Volumen otvorenog prostora u uzorku,
  Vv, jednak je razlici poznatog volumena vode u
  kojeg je uronjen i volumena vode u posudi kada je
  uzorak izvaden.

38
bruto gustoca uzorka
je prostor
u poroznoj formaciji, raspoloživ za protok vode i
transport zagadenja kroz podzemlje. Za potpuni
saturirani uzorak, efektivna poroznost se
(kinematicki) definira prema izrazu
Efektivna poroznost
postoje u slijedecim
Ogranicenja za izracunavanje efektivne poroznosti
situacijama

• nepovezanost pora
• postojanje tzv. mrtvih zona
• dominiranje pukotina na vecoj skali

39
Efektivni porozitet (raspoloživ za tok vode) ima
važnu ulogu u procesima transporta zagadenja u
podzemlju. U nekim slabo poroznim materijalima
(npr. glina ) razlika izmedu totalnog i
efektivnog poroziteta je velika i njihovo tocno
mjerenje je imperativ.

• Primarni porozitet je nastao za vrijeme
  taloženja sedimenata i uglavnom predstavlja
  prostor izmedu zrnatog materijala. Njegova
  velicina ovisi o stupnju sortiranja i obliku
  deponiranog zrnatog materijala.

• Sekundarni porozitet nastaje hidrološkim i
  kemijskim procesima nakon formiranja sedimenata.
  Najcešci procesi koji utjecu na sekundarnu
  poroznost su rastvaranje karbonatnih stijena,
  pukotine nastale tektonskim pomacima, te ostali
  procesi vlaženja i rastvaranja stijena kemijskim
  utjecajem. Sekundarni porozitet doprinosi
  povecanju efektivne poroznosti

.
S obzirom na nacin postanka stijena razlikujemo
1. Dolomiti i vapnenci su najcešce formirani
od kalcijevog karbonata, gipsa, kalcijevog
sulfata i drugih klorida. Cirkulacija podzemnih
voda s vremenom rastvara stijenu prolazeci kroz
povezane pore i pukotine.
40
2. Stijene metamorfnog podrijetla su nastale
pod jakom toplinom i pritiskom na vec postojece
stijene. Njihov porozitet je uglavnom mali i
rezultat je procesa vlaženja i pukotina nastalih
tektonskim pomacima.
3. Stijene vulkanskog podrijetla formirane su
hladenjem lave i u sebi sadrže otvore i pukotine
kao rezultat razlike bržeg i sporijeg hladenja.
Ti otvori mogu biti nepovezani i tada malo
doprinose protoku vode, dok u slucaju njihove
povezanosti mogu predstavljati znacajnu
trajektoriju za tok vode i pronos zagadenja kroz
podzemlje.
41
U tablici je prikazan srednji porozitet
nekih stijena. Vrijednosti su samo
indikativnog karaktera, dok stvarne vrijednosti
mogu znacajno varirati.
Primjer sredine u kojoj je ukupni porozitet
jednak efektivnom porozitetu su špekule ( franje
), tj. volumen ispunjen špekulama.
42
Porozitet u tocci je jedan ako je tocka
mjernog instrumenta pala u poru ili je nula ako
je pala u cvrstu fazu (npr.zrno poroznog
materijala). Tek povecanjem velicine uzorka
na neku konacnu skalu, uvodimo obje faze i time
porozitet dobiva smisao izraza. Drugim rijecima,
dajemo matematickoj tocci u prostoru vrijednost
poroziteta za odredeni volumen koji okružuje tu
tocku. Ovaj se koncept zove reprezentativni
elementarni volumen (REV) i predstavlja vrst
prostorne integracije (odnosno osrednjavanja).
Velicina REV-a treba zadovoljavati slijedeca dva
uvjeta

• dovoljno velika da sadrži dovoljan broj pora kako
  bi se srednja vrijednost mogla naci uz
  istodobno zanemariv utjecaj fluktuacija na skali
  pora (npr.1 dm3 za nekonsolidirane materijale).
• dovoljno malena kako bi se varijacije parametara
  u prostoru mogle opisati kontinuiranim
  matematickim funkcijama.

Prakticno se smatra da velicina REV-a odgovara
velicini uzorka kada mjerni parametar
(npr.porozitet) dobiva konstantnu vrijednost u
grafu kada je prikazan kao funkcija velicine
uzorka (Slika 2.3).
43
Drugi pristup mjerenju relevantnih fizikalnih
karakteristika podzemnih formacija je koncept
slucajne funkcije. Zamislimo, na primjer, da
imamo više uzoraka poroznog medija iste velicine
(npr. veliki broj kolona ispunjenih poroznim
materijalom), te u svakom uzorku mjerimo
porozitet u tocci (dakle, mjerimo ili jedan ili
nula, ovisno da li je mjerna tocka pala u poru
ili na zrno materijala). Srednja vrijednost
(osrednjena po broju kolona) svih mjerenih
poroziteta u tocci predstavlja osrednjavanje po
realizacijama porozne sredine i jednaka je
prostornom osrednjavanju po jednom takvom uzorku.
Vrlo bitna razlika je u tome što je osrednjeni
porozitet po skupu realizacija jednak za svaku
tocku uzorka.
44
DARCY-ev EKSPERIMENT

• francuski inženjer Henry Darcy

• studija vodoopskrbe grada Dijon-a u Francuskoj

• eksperiment protoke vode kroz cilindar pijeska

Rezultat eksperimenta je slijedeci protok vode
je proporcionalan razlici stupca vode na oba
kraja
te obrnuto proporcionalan dužini toka vode (npr.
dužini cilindra pijeska,
45
Dakle, Darcy-ev empirijski zakon se može pisati
kao
ili u diferencijalnom obliku
gdje dh/dl predstavlja hidraulicki gradijent, K
je konstanta proporcionalnosti, A je poprecni
presjek cilindra pijeska. Negativni znak u
gornjem izrazu rezultat je tecenja u smjeru
opadanja hidraulickog potencijala. K evidentno
mora biti u funkciji poroznog materijala koji
ispunjava cilindar, jer ce držanjem konstantnog
gradijenta, protok varirati za razliciti porozni
materijal.
46
Parametar K koji se naziva hidraulicka
provodljivost (konduktivitet) ima vecu vrijednost
za pijesak i šljunak, a manju za glinu i veliku
vecinu stijena. Buduci je hidraulicki gradijent,
K, bezdimenzionalna velicina, ima dimenziju
dužina/vrijeme, tj. dimenziju brzine.
Darcy-eva konstanta proporcionalnosti, K, ovisi
ne samo o vrsti materijala, vec i o fizikalnoj
karakteristici vode koja prolazi kroz porozni
materijal.
Ako bi ponovili Darcy-ev eksperiment sa zrnima
materijala jednolicnog dijametra protok vode bi
bio proporcionalan kvadratu dijametra zrna
pri cemu C predstavlja novu konstantu
proporcionalnosti, zvanu faktor oblika. C i
su karakteristike poroznog materijala, dok su
i
karakteristike tekucine.
47
Sada možemo definirati novi parametar zvani
permeabilitet, tj. propusnost porozne
sredine,
koji je funkcija samo porozne sredine i slobodnim
rijecima oznacava velicinu otvora kroz koji
tekucina prolazi, k ima dimenziju površine te se
konacni oblik Darcy-evog eksperimentalnog zakona
može pisati za Darcy-evu i stvarnu brzinu
Na osnovi ovog izraza, jedinica za permeabilitet
je 1 darcy koji je definiran kao permeabilitet
koji rezultira specificnim protokom

q, od 1
.
kroz sekciju od 1

za tekucinu viskoznosti 1

).
uz gradijent pritiska od 1 (
Jedan darcy jednak je 9.87
Ako se prisjetimo definicije hidraulickog
potencijala,
onda se za nestišljivu tekucinu može pisati
48
Iz gornjeg izraza definicija hidraulicke
vodljivosti je
cije su dimenzije iste kao i za brzinu
Premda se Darcy-ev zakon potvrdio eksperimentalno
na raznim primjerima, postoje slucajevi kada
linearni odnos ne vrijedi. To su slucajevi s vrlo
niskim i vrlo visokim hidraulickim gradijentom.
49
U slucajevima visokih gradijenata može se
eksperimentalno pokazati da je
proporcionalnost izmedu brzine filtracije i
gradijenta kvadratnog oblika

• gubici zbog viskoznog trenja

• oznacava gubitke zbog inercije tekucine

U praksi se kaže da Darcy-ev zakon vrijedi pri
Reynolds -ovom broju manjem od limita 1 10. U
tim slucajevima tecenje je laminarno unutar pora.
Kad
pocinje dosezati vrijednosti 10 100
dolazi do
nestacioniranih pojava i sile inercije nisu više
zanemarive što rezultira nelinearnosti izmedu
brzina filtracije i gradijenta - kvadratni oblik
u gornjoj jednadžbi pocinje dominirati.
Tipican primjer takvog stanja su tecenja u kršu
gdje je disipacija kineticke energije znacajna.
50
Tablica pokazuje neke približne raspone
hidraulickog konduktiviteta za razne vrste
poroznih sredina.
51
Slika prikazuje princip parametra zapremine za
vodonosnik pod pritiskom i vodonosnik sa
slobodnim vodnim licem.

• Transmisivnost se analogno definira kao umnožak
  hidraulicke vodljivosti i debljine vodonosnika,
  TKb. Iz izraza se jasno vidi da transmisivnost
  ima jedinicu dužina2/vrijeme.

Princip parametra zapremine
52

• Koncept transmisivnosti i parametra zapremine
  uveden je u hidrauliku poroznih sredina
  prvenstveno za potrebe hidraulike zdenaca u
  vodonosnicima pod tlakom. Kod dvodimenzionalnih
  problema i vodonosnicima pod tlakom T i S imaju
  svoj puni smisao, dok u svim drugim aplikacijama
  u podzemlju njihov smisao se gubi i potrebno je
  vratiti se osnovnim definicijama hidraulicke
  vodljivosti K i specificne zapremine SS ili cak
  fundamentalno na permeabilitet k, porozitet n ili
  stišljivost a.

Princip transmisivnosti
53
Svojstva tenzora propusnosti

• Homogen i heterogen
• Izotropan i anizotropan
• Glavne osi pokazuju ravnine samo s hidraulickim
  gradijentom u smjeru normale
• Sva realna polja su anizotropna i heterogena

54
Neke od klasifikacija tecenja i pronosa

• Prema broju faza (jednofazno ili višefazno
  tecenje, saturirano ili nesaturirano)
• Prema stacionarnosti pojave (stacionaran ili
  nestacionaran tok i pronos)
• Prema interaktivnim svojstvima faza (ako se faze
  miješaju-tecenje i pronos s promjenjivom gustocom
  ili ne miješaju-npr.trofazno tecenje plina, nafte
  i vode)
• Prema medusobnom djelovanju tecenja i pronosa
  (tecenje i pronos su medusobno zavisni ili ne)
• Prema sorptivnim svojstvima vodonosnika
  (reaktivni ili nereaktvni pronos)

55
Euler-Langrangeova formulacija

• Tecenje i pronos su nezavisni
• Tecenje je saturirano, stacionarno i ovisi o
  jednoj fazi, heterogenosti i rubnim uvjetima
• Pronos je nestacionaran i reaktivan
• Tecenje se promatra u Eulerovom globalnom
  koordinatnom sustavu (rješenje je polje brzina)
• Pronos se dobiva u Langrangeovom koordinatnom
  sustavu, tj. putujuci s poljem strujnica koje
  je jednoznacno dobiveno iz polja brzina

56
(No Transcript)
57
Uloga heterogenosti

• Osnovni cimbenik u procesima toka i pronosa
• Sadržana je u varijabilnosti hidraulicke
  propusnosti i poroznosti
• Nastaje zbog složenog djelovanja raznih
  tektonskih, temperaturnih, depozitnih i drugih
  faktora kroz dugo geološko razdoblje
• Javlja se na svim skalama
• Opisuje se na stohasticki nacin pomocu srednje
  vrijednosti, varijance i integralne duljine polja
  hidraulicke log-propusnosti

58
Heterogenost na skali pora
59
L 1 (cm)
L 30 (m) 2 (m)
L 16 (cm)
60
(No Transcript)
61
Klasifikacija heterogenosti

• Podjela s obzirom na velicinu varijance, tj.
  stupnja varijabilnosti hidraulicke
  log-propusnosti (Y lnK Var(Y)lt1-mala
  heterogenost 1ltVar(Y)lt3-srednja heterogenost i
  Var(Y)gt3-velika heterogenost)
• Podjela s obzirom na tip stohasticke strukture
  ili kovarijance (eksponencijalna, Gaussova,
  fraktalna, multi-indikator)

62
REAL SYSTEM
Skup pretpostavki koje reduciraju realni problem
u simplificiranu verziju
CONCEPTUAL MODEL
Uvodenje koeficijenata i parametara
Fizika sustava
MATHEMATICAL MODEL
Izbor ovisi o raspoloživim podacima i potrebnoj
tocnosti rješenja
Method of Solution
Opcija kojoj težimo
Cesto neizbježno
ANALYTICAL
NUMERICAL
jednostavno
komplicirano
komplicirano
jednostavno
UNCERTAINTY ANALYSIS AND PREDICTION RELIABILITY
63
Deterministicki i stohasticki pristup

• Deterministicki pristup koristi samo osrednjene
  ili efektivne velicine
• Stohasticki pristup je uvjetovan prirodnom
  nepouzdanošcu heterogenosti što cini ulaz u
  cijeli proces modeliranja
• Rezultati su dani najcešce u obliku prva dva
  statisticka momenta
• Generalno, koriste se tri metode spektralna
  metoda, metoda malih perturbacija i Monte-Carlo
  metoda
• Za procese izrazito velike heterogenosti
  Monte-Carlo metoda je najpouzdanija

64
Monte-Carlo metoda za analizu utiskivanja otpada
u duboke bušotine

• Istražni radovi (geološki izvještaji,
  laboratorijska mjerenja, jezgrovanja, probna
  crpljenja i utiskivanja, površinska seizmika,
  geoelektricna bušotinska mjerenja, temperaturna
  mjerenja, ubacivanje trasera,)
• Geostatisticka analiza hidraulicke propusnosti i
  generiranje što veceg broja jednako mogucih
  uvjetnih ili bezuvjetnih realizacija

65

• Rješenje problema tecenja za svaku realizaciju
  koristeci pripadajuce numericke tehnike (polje
  brzina)
• Odredivanje polja strujnica za svaku realizaciju
• Rješenje jednadžbe pronosa za sve strujnice
• Statisticka analiza rezultata koristeci rješenja
  svih realizacija
• Rezultati mogu biti piez. visina, brzina,
  vrijeme putovanja, transverzalna udaljenost,
  protok mase kroz odabrani kontrolni presjek,
  koncentracija,

66
Mjerenje spontanog potencijala
67
2. Tecenje u zasicenim poroznim sredinama

• Saturirano tecenje (deterministicki pristup)
• Kontinuirana heterogena porozna sredinama
• Stacionarno i nestacionarno tecenje
• Strujnice i trajektorije
• Rubni i pocetni uvjeti
• Metode konacnih volumena i elemenata
• Eksplicitne i implicitne metode vremenske
  integracije
• Testovi crpljenja

68
(No Transcript)
69
Jednadžba stacionarnog tecenja
Tecenje se matematicki opisuje jednadžbom
kontinuiteta

• analiza dimenzije oblika ?q pokazuje da se radi
  o toku mase tekucine kroz jedinicni poprecni
  presjek u jedinici vremena, tj. o fluksu
• u slucaju nestišljive tekucine,
  konstanta, gustoca vode se eliminira iz gornjeg
  izraza
• ? tako da se gornja jednadžba pojednostavi sa

gdje prvi dio simbolicki predstavlja divergenciju
(razliku izmedu ulaza i izlaza mase u kontrolnom
volumenu) vektora brzine.
70
Potencijalna formulacija
Supstitucijom Darcy-evog zakona u prethodni izraz
za komponente brzina jednadžba stacionarnog
tecenja podzemne vode kroz anizotropni heterogeni
porozni medij

• kod izotropne sredine Kx Ky Kz,
• za homogenu sredinu K(x,y,z) konstanta

Potencijalna formulacija

• Izraz predstavlja najosnovniju parcijalnu
  diferencijalnu jednadžbu poznatu u fizici i
  matematici kao Laplaceova diferencijalna
  jednadžba cije je rješenje prostorna funkcija
  h(x,y,z).
• Brzina se dobije primjenom DArcy-evog zakona
  koristeci poznati tenzor propusnosti i izracunatu
  piezometarsku visinu

71
Strujna formulacija
72
Strujna formulacija
73
Strujna cijev
74
Jednadžba stacionarnog tecenja u strujnoj
formulaciji
75
Konacan oblik jednadžbe tecenja za obje
formulacije
Glavne osi tenzora propusnosti se podudaraju s
osima x i y
76
Prednosti i mane potencijalne formulacije

• Generalnost - opisuje sve slucajeve stacionarnog
  i nestacionarnog tecenja, heterogenosti,
  crpljenja i prihranjivanja
• Brzina kao glavna velicina toka za analizu
  pronosa se racuna indirektno iz Darcy-evog zakona
• Cesto nedovoljna tocnost brzine
• Znacajne numericke poteškoce za anizotropni i
  heterogeni medij

77
Prednosti i mane strujne formulacije

• Zornost prikaza tecenja
• Direktno i mnogo tocnije racunanje brzine
• Direktna veza s analizom pronosa (Lagrangeov
  pristup)
• Izvori ili ponori su tocke singulariteta
• Problemi kod svih vrsta rubnih uvjeta
• Gube svoju opcenitost kod nestacionarnih problema
  jer strujnice više nisu isto što i trajektorije

78
Rubni uvjeti i strujna mreža

• Rubni uvjet predstavlja utjecaj odbacenog dijela
  domene
• Razlikujemo kinematicke (Dirichlet), dinamicke
  (Neuman) i mješovite (Chauchy) rubne uvjete
• Rješenje problema tecenja je strujna mreža (dvije
  familije krivulja piezometarske visine i
  strujnica)
• Utjecaj izotropije, anizotropije i heterogenosti

79
Rubni uvjeti kod stacionarnog tecenja za obje
formulacije
80
(No Transcript)
81
(No Transcript)
82
Tecenje u vodonosnicima srednje heterogenosti
83
Tecenje u vodonosnicima velike heterogenosti
84
(No Transcript)
85
(No Transcript)
86
(No Transcript)
87
(No Transcript)
88
(No Transcript)
89
(No Transcript)
90
(No Transcript)
91
(No Transcript)
92
(No Transcript)
93
(No Transcript)
94
Strujnice u složenim uvjetima tecenja
95
Fizikalne karakteristike tecenja u vodonosnicima
s velikom heterogenosti

• Koncentriranje glavnih tokova (preferential
  flow)
• Interakcija zona velike i male propusnosti
• Definiranje svih skala na kojima heterogenost
  uzrokuje promjenu strujne mreže
• Polje piez. visine se javlja kao filter koji
  prigušuje raspon prostornih skala, dok se to
  manje može reci za polje strujnica
• Rješenje velikih domena zbog utjecaja rubnih
  uvjeta

96
Numericke karakteristike problema tecenja s
velikom heterogenosti

• Rješenje oštrih gradijenata i razvoj širokog
  spektra prostornih skala
• Traži se rješenje na velikim domenama, malim
  skalama i velikim brojem jednadžbi (2-D ima
  O(106), a 3-D O(109) stupnjeva slobode)
• Alternativna ideja je traženje rješenja na vecim
  skalama reproducirajuci efekte malih skala
• Problem definiranja propusnosti na vecim skalama
  (upscaling)
• Problem tocnosti, stabilnosti i pouzdanosti
  rezultata

97
Metode za rješenje problema tecenja

• Analiticke i semianaliticke metode stohastickog
  tipa koristeci teoriju prvog reda (Andricevic i
  Cvetkovic, 1998, Gelhar, 1993)
• Konvencionalne metode konacnih elemenata i
  razlika uz klasican pristup osrednjavanja na
  vecim skalama upscaling (FEM, FVM i FD, Belin
  i dr, 1992)
• Spektralna metoda kon. elemenata (Dykaar i
  Kitanidis, 1992)
• Hibridna metoda kon. elemenata (MFEM, npr.
  Ackerer, 1994)
• Višerezolucijska metoda kon. elemenata
  definirana na više skala (MsFEM, npr.Hou i Wu,
  1997)
• Analiticka metoda elemenata (AEM, Jankovic, 1999,
  2003, multi-indikator struktura)
• Wavelet-Fup bezmrežne metode (Sahimi, 1999, 2001
  Gotovac, 2007,2009)