Francisco Periago Esparza

1
Fundamentos Matemáticos del Método de los
Elementos Finitos
Francisco Periago Esparza
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
Universidad Politécnica de Cartagena
2
Esquema de la Presentación
Modelización Matemática

• Mecánica de Fluidos
• Difusión de Calor
• Electromagnetismo
• Elasticidad, etc. etc.

Análisis MatemáticoEl Método Variacional

• Existencia de Solución
• Unicidad
• Dependencia continua respecto de los datos

Análisis NuméricoEl Método de los Elementos
Finitos

• Descripción del Método
• Control del Error
• Simulación Numérica de Elementos Finitos con
  Matlab

3
Mecánica de Fluidos
4
Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos
incompresibles
5
Difusión de Calor
6
Ecuación del Calor
7
Electrostática
8
Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el
vacío
9
Membrana Elástica Sujeta en el Borde
Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos
10
Elasticidad Lineal. Caso Estático
11
Más modelos.. y ecuaciones en derivadas parciales
Etc, etc, etc.
12
El Laplaciano
Pierre-Simon Laplace (1749-1827)
13
La Filosofía está escrita en ese gran libro del
universo, que está continuamente abierto para que
lo observemos.
Pero el libro no puede comprenderse sin que
antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que
está compuesto.
Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y
sus caracteres son triángulos, círculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es
humanamente imposible entender una sóla de sus
palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un
oscuro laberinto.
14
1. La Modelización Matemática es la mejor
herramienta de la que disponemos para entender
buena parte de fenómenos físicos que interesan a
la Ciencia y la Tecnología.
2. Estos modelos matemáticos se componen de
sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en
Derivadas Parciales que fueron formulados hace
muchos pero aún hoy día sigue siendo un reto
resolverlos satisfactoriamente.
3. El Método de los Elementos Finitos es uno de
los métodos numéricos más usados por la comunidad
científica y por la industria para poder resolver
numéricamente dichos modelos.
15
(No Transcript)
16
1. Modelización Matemática
2. Análisis Matemático
3. Análisis y Simulación Numérica
4. Control, Diseño, etc
17
Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos
( PM )
( PM ) NO TIENE SOLUCIÓN CLÁSICA!!
18
( PM )
( PV )
Trabajo virtual de las fuerzas exteriores
Trabajo virtual interno de deformación
19
(No Transcript)
20
Teoría de Distribuciones
21
Teoría de Distribuciones
22
Ejemplos de Distribuciones
23
La derivación es una operación válida para
cualquier distribución !!!
24
( PM )
( PV )
25
( PM )
( PV )
lt f,v gt
a(u,v)
26
(No Transcript)
27
Formulación en Mínima Energía
Principio de Mínima Energía
Principio de los Trabajos Virtuales
Ecuación de Euler-Lagrange
28
Idea General del MEF
29
Construcción de los Espacios de Aproximación
30
Construcción de los Espacios de Aproximación
31
El Problema Variacional en los Espacios de
Aproximación
32
A modo de Resumen
Sistema de ecuaciones algebraico
33
Estructura de la Matriz de Rigidez
34
Simulación Numérica con Matlab
35
Ensamblado de la Matriz de Rigidez
Ah1
Ah2
Ah3
36
Control del Error en el MEF

• Regularidad de la malla

• Regularidad de la solución débil

• Grado de los polinomios de interpolación

37
El caso de las dimensiones 2 y 3
a(u,v)
lt f,v gt
38
Función de forma en dimensión 2
39
Problemas Evolutivos. Ecuación del Calor
Concepto de solución débil. Se ha de cumplir
Solución del problema discretizado con elementos
finitos
40
Tras sustituir la solución del problema
discretizado en la formulación variacional
obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias