Ecuaciones de primer y segundo grado

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Ecuaciones de primer y segundo grado
La organización de los transportes por
ferrocarril, de viajeros o de mercancías,
requiere de la resolución de múltiples problemas
de encuentro y alcance de móviles para aprovechar
todas las posibilidades que esta red ofrece.
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2
Historia de las Matemáticas
Busca en la Web
Enlace a la Matemática europea del siglo XVI
Enlace al monumento a la predicción del fin del
mundo sobre un pozo de Annaburg (Alemania)
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Esquema de contenidos
Ecuaciones de primer y segundo grado
Identidades y ecuaciones Conceptos Elemento
s de una ecuación
Ecuaciones de primer grado Transposición de
términos Método general de resolución
Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones
completas Ecuaciones incompletas
Estudio del número de soluciones Discriminan
te
Resolución de problemas Con ecuaciones de
primer grado Problemas de móviles Problemas de
mezclas Con ecuaciones de 2.º grado
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Ecuaciones de primer grado con denominadores
Resuelve la ecuación Justifica cada paso que
haces.
Quitaremos primero denominadores,
multiplicando los dos términos de la expresión
por m.c.m.(6,4,5) 60.
Simplificamos 60 con cada denominador
12 (2x 15) 120 10 (x 7) 15 (x
1)
Hacemos los productos indicados
24 x 180 120 10 x 70 15 x 15
Transponemos términos para agrupar los términos
con x en un miembro y los demás, en otro
24 x 10 x 15 x 70 15 180 120
Simplificamos en cada miembro
29 x 145
5
Despejamos x
x 145 / 29
5
Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en
diversas situaciones en las que no se mezclan
substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la
nota del expediente cuenta el 60 y la nota
obtenida en los exámenes de selectividad cuenta
el 40 . Cuál es la nota global de un alumno
que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada
apartado? Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo
tengo de nota del expediente un 6,5, qué nota
debo sacar en el examen de Selectividad para
obtener un 7,5 de nota global?
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Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en
diversas situaciones en las que no se mezclan
substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la
nota del expediente cuenta el 60 y la nota
obtenida en los exámenes de selectividad cuenta
el 40 . Cuál es la nota global de un alumno
que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada
apartado? Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo
tengo de nota del expediente un 6,5, qué nota
debo sacar en el examen de Selectividad para
obtener un 7,5 de nota global?
Se trata de un problema de mezclas se ponen 60
unidades de un determinado precio (una nota) y
40 unidades de otro (la otra nota), para dar 100
unidades de mezcla (la nota global). Influirá
más, lógicamente, la primera nota.
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Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en
diversas situaciones en las que no se mezclan
substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la
nota del expediente cuenta el 60 y la nota
obtenida en los exámenes de selectividad cuenta
el 40 . Cuál es la nota global de un alumno
que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada
apartado? Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo
tengo de nota del expediente un 6,5, qué nota
debo sacar en el examen de Selectividad para
obtener un 7,5 de nota global?
Si la nota global (precio de la mezcla) es x,
se ha de cumplir 60 7 40 5 100 x

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Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en
diversas situaciones en las que no se mezclan
substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la
nota del expediente cuenta el 60 y la nota
obtenida en los exámenes de selectividad cuenta
el 40 . Cuál es la nota global de un alumno
que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada
apartado? Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo
tengo de nota del expediente un 6,5, qué nota
debo sacar en el examen de Selectividad para
obtener un 7,5 de nota global?
En el primer caso, si la nota global (precio de
la mezcla) es x, se ha de cumplir
60 7 40 5 100 x
620 100 x x
620 / 100 6,2
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Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en
diversas situaciones en las que no se mezclan
substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la
nota del expediente cuenta el 60 y la nota
obtenida en los exámenes de selectividad cuenta
el 40 . Cuál es la nota global de un alumno
que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada
apartado? Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo
tengo de nota del expediente un 6,5, qué nota
debo sacar en el examen de Selectividad para
obtener un 7,5 de nota global?
En el primer caso, si la nota global (precio de
la mezcla) es x, se ha de cumplir
60 7 40 5 100 x
620 100 x x
620 / 100 6,2
Se obtiene así la media ponderada de las notas 7
y 5, con los pesos 60 y 40.
Para el segundo alumno, se tiene 60 5 40
7 100 x , de donde sale que x 5,8
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Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en
diversas situaciones en las que no se mezclan
substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la
nota del expediente cuenta el 60 y la nota
obtenida en los exámenes de selectividad cuenta
el 40 . Cuál es la nota global de un alumno
que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada
apartado? Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo
tengo de nota del expediente un 6,5, qué nota
debo sacar en el examen de Selectividad para
obtener un 7,5 de nota global?
En la última pregunta, la incógnita no es la nota
global (se desea un 7,5), sino la nota del
examen. Llamemos x a esa nota desconocida y
planteemos la conocida igualdad para mezclas
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Problemas de mezclas
Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en
diversas situaciones en las que no se mezclan
substancias.
Para obtener la nota global de Selectividad, la
nota del expediente cuenta el 60 y la nota
obtenida en los exámenes de selectividad cuenta
el 40 . Cuál es la nota global de un alumno
que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada
apartado? Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo
tengo de nota del expediente un 6,5, qué nota
debo sacar en el examen de Selectividad para
obtener un 7,5 de nota global?
En la última pregunta, la incógnita no es la nota
global (se desea un 7,5), sino la nota del
examen. Llamemos x a esa nota desconocida y
planteemos la conocida igualdad para mezclas
60 6,5 40 x 100 7,5
390 40 x 750
x 360 / 40 9
40 x 750 390 360
Para sacar la nota global 7,5, he de obtener en
el examen un 9.
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Problemas de móviles
En los problemas de móviles, hay dos situaciones
bien diferentes. En una, los dos móviles van a
encontrarse y en la otra, uno trata de alcanzar
al otro. En ambos casos, se suponen que ambos se
mueven con velocidad constante.
Un coche va de la ciudad A a la ciudad B,
distantes entre sí 240 km, a 105 km/h. Otro va de
B a A a 95 km/h. A qué distancia de A se
encontrarán? Cuánto tardarán en encontrarse?
Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la
mañana a 25 km/h. A las nueve y media salí yo a
35 km/h. A qué hora lo alcanzaré? Cuántos
kilómetros habré recorrido?
El primer problema es de encuentro el segundo,
de alcance.
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Problemas de móviles encuentro
Un coche va de la ciudad A a la ciudad B,
distantes entre sí 240 km, a 105 km/h. Otro va de
B a A a 95 km/h. A qué distancia de A se
encontrarán? Cuánto tardarán en encontrarse?
El gráfico ayuda a comprender la
situación. Tomamos como incógnita, t, el tiempo
que tardan en encontrase, y razonamos sobre el
espacio recorrido por ambos coches hasta que se
encuentran en P.
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Problemas de móviles encuentro
Un coche va de la ciudad A a la ciudad B,
distantes entre sí 240 km, a 105 km/h. Otro va de
B a A a 95 km/h. A qué distancia de A se
encontrarán? Cuánto tardarán en encontrarse?
El gráfico ayuda a comprender la
situación. Tomamos como incógnita, t, el tiempo
que tardan en encontrase, y razonamos sobre el
espacio recorrido por ambos coches hasta que se
encuentran en P.
El coche que sale de A recorre en t horas, 105
t kilómetros, y el que sale de B, 95 t
kilómetros. Sumados los dos recorridos se ha de
obtener 240 km. Luego, la ecuación es
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Problemas de móviles encuentro
Un coche va de la ciudad A a la ciudad B,
distantes entre sí 240 km, a 105 km/h. Otro va de
B a A a 95 km/h. A qué distancia de A se
encontrarán? Cuánto tardarán en encontrarse?
El gráfico ayuda a comprender la
situación. Tomamos como incógnita, t, el tiempo
que tardan en encontrase, y razonamos sobre el
espacio recorrido por ambos coches hasta que se
encuentran en P.
El coche que sale de A recorre en t horas, 105
t kilómetros, y el que sale de B, 95 t
kilómetros. Sumados los dos recorridos se ha de
obtener 240 km. Luego, la ecuación es
105 t 95 t 240
200 t 240
, es decir,
De aquí, t horas 1,2 horas 1
hora 12 minutos.
Se encontrarán a 105 1,2 126 km de A.
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Problemas de móviles alcance
Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la
mañana a 25 km/h. A las nueve y media salí yo a
35 km/h. A qué hora lo alcanzaré? Cuántos
kilómetros habré recorrido?
Hacemos un gráfico en la última de las
referencias horarias, a las 9 h 30 min Enrique ha
recorrido en ese tiempo 25 1/2 12,5 km.
Sea t el tiempo a partir de las nueve y media que
tardo en alcanzar a Enrique.
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Problemas de móviles alcance
Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la
mañana a 25 km/h. A las nueve y media salí yo a
35 km/h. A qué hora lo alcanzaré? Cuántos
kilómetros habré recorrido?
Hacemos un gráfico en la última de las
referencias horarias, a las 9 h 30 min Enrique ha
recorrido en ese tiempo 25 1/2 12,5 km.
Sea t el tiempo a partir de las nueve y media que
tardo en alcanzar a Enrique.
Yo recorro hasta alcanzarlo, 35 t , mientras
que Enrique recorre 25 t . Restados los dos
recorridos debe dar 12,5 km, la distancia que
debo compensarle a Enrique. Luego, la ecuación es
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Problemas de móviles alcance
Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la
mañana a 25 km/h. A las nueve y media salí yo a
35 km/h. A qué hora lo alcanzaré? Cuántos
kilómetros habré recorrido?
Hacemos un gráfico en la última de las
referencias horarias, a las 9 h 30 min Enrique ha
recorrido en ese tiempo 25 1/2 12,5 km.
Sea t el tiempo a partir de las nueve y media que
tardo en alcanzar a Enrique.
Yo recorro hasta alcanzarlo, 35 t , mientras
que Enrique recorre 25 t . Restados los dos
recorridos debe dar 12,5 km, la distancia que
debo compensarle a Enrique. Luego, la ecuación es
10 t 12,5
35 t 25 t 12,5
, es decir,
Así, t 1,25 horas 1 hora 15
minutos después de las 9 h 30 min, o sea, lo
alcanzaré a las 10 h 45 min y habré recorrido 35
1,25 43,75 km.
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Problemas con ecuaciones de segundo grado
Muchos problemas se reducen a la resolución de
una ecuación de segundo grado con una incógnita.
Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto
en la antigua Babilonia, hace 3.800 años.
Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con
11 veces su superficie y da 6,25. Cuál es su
lado?
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Problemas con ecuaciones de segundo grado
Muchos problemas se reducen a la resolución de
una ecuación de segundo grado con una incógnita.
Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto
en la antigua Babilonia, hace 3.800 años.
Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con
11 veces su superficie y da 6,25. Cuál es su
lado?
Observa que no se suman magnitudes, pues una es
longitud y otra superficie. Se suman los números
que indican las medidas.
Si x es el lado del cuadrado, x2 es su
superficie. El enunciado se transforma en la
ecuación 7 x 11
x2 6,25
x
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Problemas con ecuaciones de segundo grado
Muchos problemas se reducen a la resolución de
una ecuación de segundo grado con una incógnita.
Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto
en la antigua Babilonia, hace 3.800 años.
Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con
11 veces su superficie y da 6,25. Cuál es su
lado?
Observa que no se suman magnitudes, pues una es
longitud y otra superficie. Se suman los números
que indican las medidas.
Si x es el lado del cuadrado, x2 es su
superficie. El enunciado se transforma en la
ecuación 7 x 11
x2 6,25
Tenemos la ecuación de 2.º grado
11 x2 7 x 6,25 0.
x
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Problemas con ecuaciones de segundo grado
Muchos problemas se reducen a la resolución de
una ecuación de segundo grado con una incógnita.
Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto
en la antigua Babilonia, hace 3.800 años.
Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con
11 veces su superficie y da 6,25. Cuál es su
lado?
Observa que no se suman magnitudes, pues una es
longitud y otra superficie. Se suman los números
que indican las medidas.
Si x es el lado del cuadrado, x2 es su
superficie. El enunciado se transforma en la
ecuación 7 x 11
x2 6,25
Tenemos la ecuación de 2.º grado
11 x2 7 x 6,25 0.
x
El lado mide 0,5 unidades. La solución negativa
no tiene sentido.
23
Enlaces de interés
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24
Actividad Ecuaciones en equilibrio
Dirección http//nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_
324_g_3_t_2.html?openinstructions
Los dos miembros de una ecuación tienen una
perfecta interpretación como platos de una
balanza. Esto se utiliza en esta actividad para
resolver ecuaciones. Para conocerlo, sigue este
enlace.