vectores

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vectores
2
Conceptos generales

• Magnitudes vectoriales
• Ejes de coordenadas
• Dibujo de un vector

• Modulo dirección y sentido
• Componentes de un vector
• Cosenos directores
• Vectores unitarios
• Expresiones de un vector

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Términos que se emplean y significado matemático

• Ortogonal
• Independencia lineal
• Paralelo
• Perpendicular

• Perpendicular
• No se pueden obtener unos de otros
• Forma 0 º
• Forma 90º

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subíndices

• x parte x de algo
• y parte y de algo
• z parte z de algo
• 0 inicial lo del principio
• f final, cuando acaba
• i inicial
• A situación inicial o de partida
• B situación final

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símbolos

• ? incremento (es una diferencia)
• ? suma ( se usa un subíndice para decir cuantos
  elementos tiene)
• ? ángulo
• a ángulo con el eje x
• ß ángulo con el eje y
• ? ángulo con el eje z

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Términos que se emplean y significado vectorial

1. Paralelo
2. Perpendicular
3. Proyección
4. Desplazamiento
5. Distancia
6. Angulo
7. Triangulo
8. paralelogramo
9. Diagonal mayor del Paralelogramo
10. Diagonal menor del paralelogramo
11. Área del paralelogramo
12. Superficie del triangulo

1. Producto vectorial
2. Producto escalar
3. Producto escalar
4. Diferencia de vectores
5. Modulo de la diferencia
6. Producto escalar
7. Diferencia de vectores
8. Suma de vectores
9. Suma de vectores
10. Diferencia de vectores
11. Modulo del producto vectorial
12. Modulo del producto vectorial/2

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Magnitudes vectoriales

• Vector de posición r
• Velocidad v
• Aceleración a
• Campo gravitatorio g
• Campo eléctrico E
• Campo magnético B
• Superficie S
• Vector propagación

• FUERZAS
• Peso
• Normal
• Tensión
• Fuerza de rozamiento
• Fuerza elástica
• Fuerza gravitatoria
• Fuerza eléctrica
• Fuerza magnética
• Fuerza nuclear

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Álgebra y calculo vectorial

• Álgebra vectorial
• Suma
• Descomposición
• Diferencia
• Producto por un escalar
• Producto escalar
• Producto vectorial

• Calculo vectorial
• Derivación
• Integración vectorial

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Escritura de un vector

• Mediante letras mayúsculas o minúsculas.
• En negrita
• Con una flecha encima

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definiciones
11
coordenadas

• Números que se dan para localizar un punto en el
  que se encuentra un cuerpo

12
Coordenadas cartesianas x, y, z

• Coordenadas polares r y f

13
Ejes de coordenadas cartesianas

• Son los ejes x y z

14
(No Transcript)
15
Símbolos de los ángulos

• Entre segmentos ?
• Con el eje x f
• Con los ejes x, y, z a, ß, ?

16
(No Transcript)
17
Teorema de Pitágoras y del coseno (a y b son
módulos de vectores)
18
Formula elemental de trigonometría

• sen 2 ? cos2 ? 1

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modulo

• Valor absoluto del vector
• Coincide con la distancia del segmento

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Vector unitario

• Es el que tiene de modulo la unidad
• El símbolo usado para designarlo es u- con un
  subíndice que indica su dirección
• u r dirección radial
• u x dirección x también i
• u y dirección y también j
• u z dirección z también k

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Vectores unitarios ortogonales

• Forman 90º entre sí
• i
• j
• k

22
(No Transcript)
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Cosenos directores

• Cosenos de los ángulos que el vector forma con el
  eje x y z

24
dirección

• Línea que contiene al vector
• Se expresa por su vector unitario

25
Vector de posición

• Es un vector cuyo origen es el punto 0,0,0 y su
  extremo el punto considerado
• Se representa con la letra r

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Vector desplazamiento

• Es el vector cuyo origen es el punto de salida de
  un móvil y cuyo extremo es el punto de llegada
• Se representa como ? r

27
Expresiones de un vector

• Mediante tres números entre paréntesis
• Mediante el modulo y su vector unitario
• Mediante tres vectores unitarios ortogonales
• Mediante su modulo y los cosenos directores

28
(No Transcript)
29
Suma de vectores

• Es el vector obtenido trasladando los vectores y
  colocando e extremo de uno en el origen del otro
  y uniendo origen con extremo
• También se obtiene por la regla del paralelogramo

30
Cómo se hace la suma?

• Teorema del coseno
• Sumando las componentes

31
(No Transcript)
32
Qué significado tiene la suma?

• Es la diagonal mayor del paralelogramo formado
  por los dos vectores

33
Componentes de un vector

• Son las proyecciones sobre los ejes x y z

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Descomposición de un vector

• Es la operación contraria a la suma
• Teniendo el vector obtener las componentes

35
Como se hace la descomposición de un vector?

• Mediante las formulas del seno y el coseno

36
Razón de la descomposición de vectores

• Si tenemos una magnitud vectorial, podemos hacer
  las operaciones en las que interviene mediante el
  vector o mediante las componentes.
• Descomponemos el vector
• Operamos escalarmente las componentes que es mas
  fácil
• Volvemos a componer el vector

37
diferencia

• Es otro vector obtenido por la regla del triangulo

38
Cómo se hace la diferencia?

• Mediante la regla del coseno
• Operando las componentes

39
Qué significa la diferencia?

• Es la distancia entre los extremos de los vectores

40
Multiplicación por un escalar k

• Es el producto del vector por un numero

41
Cómo se hace la multiplicación por un escalar?

• Se multiplica cada una de su componentes

42
Qué significado tiene la multiplicación por un
escalar?

• Es como si agrandáramos o disminuyéramos el
  vector k veces

43
Producto escalar

• Es un escalar que se obtiene multiplicando dos
  vectores.

44
Cómo se hace el producto escalar

• Multiplicando las componentes
• Se organiza ordenando los vectores uno debajo del
  otro y coincidiendo las componentes.
• Mediante la ecuación A B A B cos?

45
(No Transcript)
46
Aplicaciones del producto escalar

• Conocer el ángulo entre dos vectores
• Saber si son perpendiculares

47
Producto vectorial

• Es el producto de dos vectores obteniéndose un
  vector que tiene por módulo A B sen ? y
  dirección y sentido perpendicular al plano
  formado por los vectores

48
Cómo se hace el producto vectorial?

• Su modulo se obtiene mediante la ecuación
• A B A B sen ?
• Su dirección mediante la regla del tornillo
• También se llama regla del la mano derecha, del
  sacacorchos.
• Mediante un determinante

49
(No Transcript)
50
Aplicaciones del producto vectorial

• Hallar el ángulo entre los vectores
• Hallar el área del triángulo formado por ellos
• Hallar un vector perpendicular al plano formado
  por ellos

51
Derivada de un vector

• Se deriva cada una de sus componentes

52
Derivadas elementales que se podrán tener en las
pruebas

• De una constante 0
• De una potencia se resta un numero al exponente
  y se multiplica por el exponente
• De una raíz se convierte en potencia
• De un producto derivada del primero por el
  segundo derivada del segundo por el primero
• De un cociente derivada del numerador por el
  denominador- derivada del denominador por el
  numerador.
• Del seno el coseno
• Del coseno - el seno

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Integración vectorial

• Se integra cada una de sus componentes

54
Integrales elementales que se podrán tener en las
pruebas

• De d x es x C
• Las constantes salen fuera de la integral
• De una potencia se suma 1 al exponente y se
  divide por el numero obtenido.
• De una suma o diferencia suma o diferencia de
  integrales
• Del seno - coseno
• Del coseno seno

55
Notación

• Escribir espacio inicial
• Escribir posición inicial
• Escribir tiempo final
• Escribir velocidad en un tiempo t 1
• Escribir aceleración en un tiempo t2
• Escribir campo eléctrico E en un punto

56
Desarrollar

• ? x entre dos puntos
• ? t entre el comienzo y el final
• ? t entre dos tiempos cualquiera
• ? e entre la salida y la llegada
• ?v entre el comienzo y el final

57
Usando el teorema de pitágoras, el seno y coseno,
y un dibujo demostrar

58
Usando el producto por un escalar y los vectores
unitarios ortogonales i, j, k y las razones
trigonometricas, demostrar.

59
problemas

• Los problemas que a continuación aparecen no son
  para practicar sino problemas tipo donde se
  concreta la teoría y que hay que aprender.

60
Dado el vector A(3,4,0)

• Expresarlo en función de los vectores unitarios
  ortogonales.
• Hallar su módulo
• Hallar su vector unitario
• Expresarlo en función de su módulo y vector
  unitario
• Indicar sus componentes
• Hallar los cosenos directores
• Expresarlo en función de su módulo y cosenos
  directores

61
OPERACIONES CON VECTORES

• SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DESCOMPOSICION,
  DERIVADA INTEGRAL.

62
DESCOMPOSICIÓN Dado un vector A en el plano de
modulo 10 formando 30º con el eje x

• Hallar la proyección sobre el eje x
• Hallar la proyección sobre el eje y
• Indicar los cosenos directores
• Indicar como se escribe la proyección sobre el
  eje x
• Indicar como se escribe la proyección sobre el
  eje y
• Indicar qué relación existe entre ambas
  proyecciones.

63
Dados los vectores (2,12,3) y (3,-1,2)

• Hallar su suma
• Hallar su diferencia
• Hallar el producto escalar
• Hallar el producto del primero por el escalar 2
• Hallar el producto vectorial

64
Dados dos vectores A y B de módulos 6 y 8
formando 60 º

• Hallar su suma
• Hallar su diferencia
• Hallar su producto escalar
• Hallar el módulo de su producto vectorial

65
Dado el vector r (t 3 , t 2, t)

• Expresarlo en función de los vectores unitarios
  ortogonales
• Hallar su derivada
• Hallar su integral en función de t

66
aplicaciones

• Demostrar que los vectores (sen?, cos ?) y ( cos
  ?, sen ? ) son ortogonales
• Realizar todos los productos escalares y
  vectoriales posibles de i, j, k
• Hallar la derivada del vector (sen ? cos ?).

67

• Hallar el ángulo que forman los vectores (3,4,0)
  (4,3,0)
• Hallar a para que los vectores siguientes sean
  perpendiculares (2,3,1) y (1,-a,3)
• Demostrar que los vectores (3,-2,1) (2,1,-4)
  (1,-3,5) forman un triángulo rectángulo.

68

• Desde un acantilado se dispara un cañón que forma
  un ángulo de 60º con la horizontal. La bala sale
  a 200 m/s. Descomponer la velocidad de la bala.
• Sobre un péndulo actúan dos fuerzas, el peso
  hacia el centro de la tierra y la tensión en la
  dirección de la cuerda y hacia el techo. Elegir
  un sistema de referencia para descomponer las
  fuerzas que actúan sobre un péndulo y
  descomponerlas

69

• Hallar la proyección de (-1,2,1)sobre (1,-1,2).
• Hallar los ángulos del vector (4,-1,3) con los
  ejes cartesianos.
• Hallar el ángulo que deben formar dos vector de
  módulos 3 y 4 para que su suma sea 5
• Hallar un vector unitario perpendicular al plano
  formado por los vectores(1,1,2) y(2,-1,-1) y el
  área del triangulo que forman

70

• El módulo de un vector es y forma 90º
  con el vector . (2,12,3). Hallar el módulo de
  su suma
• Los vectores de posición de dos puntos son 2,
  1, 4, y 1, 4, 3 Hallar la expresión vectorial
  de los tres lados del triángulo que forman al
  unir sus extremos
• Un vector tiene su origen en el punto 1,1,1 el
  módulo del vector de posición de su extremo es 9.
  Los cosenos directores son 2/3 1/3 2/3. Hallar el
  vector desplazamiento

71
Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de
movimiento x 10t y 5t2 z 4

• A) Hallar el vector velocidad y aceleración en t
  1 s
• B) Hallar la dirección de la velocidad(vector
  unitario) y decir si el movimiento es rectilinbeo
  o curvilíneo.

72
Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de
movimiento x 2sent y 2 cos t z 0

• A) Hallar el vector velocidad y aceleración en t
  ? s
• B) Hallar la dirección de la velocidad(vector
  unitario) y decir si el movimiento es rectilíneo
  o curvilíneo.
• C) Demostrar que el vector de posición y la
  aceleración tienen la misma dirección
• D) Demostrar que la velocidad y la aceleración
  son perpendiculares.

73
Una fuerza tiene la expresión F 2x i. Hallar el
trabajo desde x 1 a x 5W ?12 F dr
74
Una fuerza tiene la expresión F 2 i 3xj z
kHallal el trabajo desde el punto (0,0,0) al
(1,1,1)
75
Dada la fuerza F senx i cos x j. Hallar el
trabajo desde el punto 3,4 al 4,3