T

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TÉCNICAS DE MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS DE
DIVERSAS CIVILIZAÇÕES

• Egito
• Índia
• China
• Rússia

Prática Pedagógica e Didática da Matemática
prof. Ilydio P. de Sá
2
INTRODUÇÃO
Nessa apresentação iremos mostrar algumas
curiosas técnicas para a multiplicação de dois
números naturais, colhidas ao longo da história
da matemática. Essas técnicas poderão ser muito
interessantes para uso em classe, como
alternativas aos algoritmos tradicionais para
alunos que tenham alguma dificuldade ou mesmo
como motivação ou curiosidade para uma aula de
matemática. É muito comum, principalmente nas
classes da EJA, que alunos tragam para classe
processos ou métodos matemáticos alternativos que
aprenderam em alguma profissão ou desenvolveram
sozinhos. Para esse tipo de clientela, uma grande
variação de métodos é muito importante para
ilustrar as nossas aulas.
3
1) Multiplicação no Egito
4
Os egípcios usavam uma técnica bem simples
baseada na duplicação de números naturais (achar
o dobro). O método funcionava da seguinte forma

1. Escrevemos duas colunas de números sendo que a
   primeira começa por 1 e a segunda por um dos
   fatores da multiplicação desejada.
2. Vamos duplicando os números dessas duas colunas,
   até que a soma dos números da coluna começada
   pelo 1 dê um resultado maior ou igual ao outro
   fator.
3. Escolhemos, na coluna começada pelo 1, os valores
   que somados dêem resultado igual ao outro fator.
4. Somamos os números da outra coluna,
   correspondentes aos valores que foram escolhidos
   na etapa anterior.

5
Vejamos dois exemplos
1) 21 x 43

• Primeiro vamos começar as duas colunas. A
  primeira com o número 1 e a segunda com um dos
  fatores. Vamos escolher o menor (21).

1 21

• Agora vamos dobrar os valores dessas duas
  colunas, até que a soma dos valores da primeira
  coluna seja igual ou maior a 43.

6
1 21
2 42
4 84
8 168
16 336
32 672
Agora vamos escolher, na primeira coluna, os
valores que somados dão exatamente 43, que é o
outro fator dessa multiplicação.
32 8 2 1 43
Finalmente, basta somarmos os números da outra
coluna, correspondentes aos que foram destacados
anteriormente.
21
42
168
672

Logo, 21 x 43
21 x 43 903
903
7
1) 12 x 51

• Primeiro vamos começar as duas colunas. A
  primeira com o número 1 e a segunda com o fator
  12.

1 12

• Agora vamos dobrar os valores dessas duas
  colunas, até que a soma dos valores da primeira
  coluna seja igual ou maior a 51.

1 12
2 24
4 48
8 96
16 192
32 384
Agora vamos escolher, na primeira coluna, os
valores que somados dão exatamente 51.
32 16 2 1 51
Somarmos os números da outra coluna,
correspondentes aos que foram destacados
anteriormente.
8
12
24
192
384

Logo, 12 x 51
12 x 51 612
612
A justificativa desse método é muito simples e
está baseada em duas propriedades Na
decomposição de um número natural em uma soma de
potências de base dois (propriedade do sistema
binário) e na propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição.
No exemplo anterior, 12 x 51, o que fizemos foi
descobrir quais as potências de 2 que somadas
geravam o número 51. No caso, obtivemos os
números 32, 16, 2 e 1.
9
No passo seguinte, o que fizemos foi substituir o
número 51 por essa soma de potências de 2, ou
seja, a multiplicação foi transformada em
12 x 51 12 x (32 16 2 1)
Aplicando agora a propriedade distributiva da
multiplicação, em relação à adição, teremos 12 x
51 12 x 32 12 x 16 12 x 2 12 x 1 384
192 24 12, que são exatamente os números
selecionados na segunda coluna do método.
Assim, dessa forma bastante criativa e
interessante, os antigos Egípcios transformavam
uma multiplicação de números naturais em cálculo
de dobros (que é simples mentalmente) e em
adições.
10
Historicamente se considera indiscutível a
procedência hindu para o sistema de numeração
decimal e alguns algoritmos para operações.
11
Genericamente, em contraste com o severo
racionalismo grego, a matemática hindu era
considerada intuitiva e prática.
Os matemáticos hindus eram interessados em
questões numéricas relacionadas a equações
determinadas e indeterminadas.
Os matemáticos hindus desenvolveram um método de
multiplicação através de tábuas quadriculadas.
Mais tarde os árabes o levaram para a Europa e
ficou conhecido como Método da Gelosia.
12
Exemplo 1 Multiplicar 6 538 por 547
Inicialmente eles construíam uma tabela com 4
colunas e 3 linhas, por conta da quantidade de
algarismos dos números envolvidos na operação.
Vejamos como ficava essa tabela.
13
6 538 x 547
6
5
3
8



5
4
7
14
Traçamos as diagonais desses quadradinhos, como
mostramos abaixo
6
5
3
8
5
4
7
15
Dentro de cada quadradinho colocamos os
resultados das multiplicações dos algarismos
correspondentes da coluna e da linha. Se o
resultado for de apenas um dígito deve ser
escrito precedido de zero.
16
Em seguida somamos os algarismos que estão nas
mesmas diagonais. Usamos a mesma técnica do vai
um que usamos no algoritmo tradicional. Vejamos
1
1
1
3
5
7
6
8
2
6
17
Podemos então concluir que o resultado da
multiplicação proposta é
6 538 x 547 3 576 286
18
Antes de tentarmos justificar o método, vamos
fazer um outro exemplo Multiplicar 537 por
24 Vamos construir a tabela correspondente
(Método da Gelosia).
19
5
3
7


2
4
20
5
3
7


1
1
0
2
0
4
6
2
2
1
4
8
2
0
21
5
3
7


1
1
0
2
1
0
4
6
2
2
1
4
2
8
2
0
8
8
8
22
5
3
7


1
1
0
2
1
0
4
6
2
2
1
4
2
8
2
0
8
8
8
Logo, 537 x 24 12 888
23
Para justificarmos o método, devemos lembrar que,
na multiplicação 537 x 24, temos na realidade
(500 30 7) x (20 4). Se aplicarmos a
propriedade distributiva, teremos
500 x 20 10 0 0 0
30 x 20 6 0 0
7 x 20 1 4 0
500 x 4 2 0 0 0
30 x 4 1 2 0
7 x 4 2 8
8
8
8
2
1
Verifique que as somas que obtivemos em cada
coluna são exatamente iguais às somas das
diagonais do método da Gelosia. Isso nos mostra
que os antigos hindus já conheciam o valor
posicional dos algarismos no sistema de numeração
decimal.
24
(No Transcript)
25
Os chineses usavam um método prático com varetas
de bambu. De uma certa forma é uma variante do
método da Gelosia dos Hindus.
As varetas ficavam dispostas na horizontal e na
vertical, representando o multiplicador e o
multiplicando. Os pontos de interseção das
varetas são contados e representam as
multiplicações que achamos na Gelosia.
Exemplo
Multiplicar 342 por 25
26
3
2
4
2
5
27
3
2
4
2
6
5
23
10
24
28
3
2
4
2
6
5
23
10
24
8
8 550
0
5
5
29
(No Transcript)
30
Vejamos um outro exemplo 42 x 24
1008
8
31
(No Transcript)
32
Certa vez, li num artigo da Internet, que um
professor havia encontrado um aluno que só sabia
multiplicar e dividir por 2 e que, mesmo assim,
conseguia resolver (e até com certa rapidez)
todas as multiplicações envolvendo dois números
naturais, até mesmo com números bem grandes.
No artigo mostrava que ele procedia da seguinte
maneira. Por exemplo, se ele queria multiplicar
85 por 42, ele fazia da seguinte maneira

1. Montava uma tabela, com duas colunas, iniciando
   uma delas pelo 85 e a outra pelo 42.
2. Enquanto ia dividindo os números da coluna da
   esquerda por dois, abandonando os quebrados, se
   fosse o caso, ia multiplicando os números da
   coluna da direita por 2.
3. Em seguida, abandonava todas as linhas da
   tabela, cujos números da esquerda eram PARES.
4. Finalmente, somava todos os números da segunda
   coluna que haviam sobrado. Era o resultado da
   multiplicação.

33
Veja como ele fazia
85 42
42 84
21 168
10 336
5 672
2 1344
1 2688
85 42
21 168
5 672
1 2688
ABANDONA
Então, para obter o resultado de 85 x 42 ele
agora somava 42 168 672 2688 3570
(verifique !). Faça outros exemplos e veja que
SEMPRE vai dar certo.
Verifiquei, através de pesquisas, que o processo
usado por esse aluno, tratava-se de uma técnica
usada pelos antigos camponeses Russos. Um método
muito eficiente e que facilita bastante o cálculo
mental, já que só lida com dobros, metades e
somas. Mas qual será a justificativa desse
método???
34
Vamos supor que você tenha 8 notas de 5 reais...
É fácil perceber que teríamos a mesma quantia com
metade das notas, mas do dobro do valor, ou seja
8 x 5 reais ou 4 x 10 reais
Ou ainda 2 notas de 20 reais.
Portanto... 8 x 5 4 x 10 2 x 20
35
Então, se desejarmos multiplicar 32 x 17,
poderemos imaginar que são 32 grupos de 17
objetos cada um.
GRUPOS OBJETOS
32 17
16 34
8 68
4 136
2 272
1 544
Então 32 x 17 544
Nesse caso foi bem fácil, pois 32 é uma potência
de 2 e, dessa forma, será sempre possível as
sucessivas divisões por 2. Vejamos então um caso
em que isso não acontece...
36
Vejamos então o produto de 42 por 17. Vamos
imaginar 42 grupos, de 17 objetos cada um.
GRUPOS OBJETOS
42 17
21 34
10 68
5 136
2 272
1 544
Logo, o resultado de 42 x 17 será igual a 544
mais os dois grupos que havíamos guardado antes,
ou seja, 544 34 136, o que é igual a 714.
(confira!)
37
Vamos fazer mais um exemplo e resumir a regra da
multiplicação russa. Vamos multiplicar 71 por 43.
1) Vamos dividindo por dois os números da
esquerda. Quando a divisão não for exata,
consideramos apenas a parte inteira. Pararemos
sempre no número 1.
71 43
35 86
17 172
2) Ao mesmo tempo, vamos multiplicando por 2 os
números da direita.
8 344
4 688
3) Somamos todos os números da direita, que
tenham à esquerda um número ímpar. Vamos
completar agora o exemplo, seguindo a regra.
2 1376
1 2752
Logo, 71 x 43 43 86 172 2752 3053
Os livros de História da Matemática contam que
tal método já era usado no antigo Egito.
38
Métodos como esse, da multiplicação feita pelos
camponeses Russos, assim como as demais técnicas
que mostramos, é que mostram toda a riqueza de
uma atual tendência da Educação Matemática a
Etnomatemática. A Etnomatemática, que procura
valorizar o conhecimento matemático existente em
distintos grupos sociais e etnias, tem como um de
seus maiores estudiosos o emérito professor
brasileiro Dr. Ubiratan DAmbrósio
39
Temas interessantes para a sala de aula, com
todas as justificativas matemáticas, você vai
encontrar no nosso livro A Magia da
Matemática, da Editora Ciência Moderna.