Producto cruz Relaciones y Funciones

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Producto Cartesiano
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Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
Definición Dados los conjuntos A, B ? U, el
producto cartesiano o cruz de A, B se define por
A ? B y es igual a

Se dice que los elementos de A ? B son pares
ordenados. Para (a, b), (c, d) ? A ? B, se tiene
que (a, b) (c, d) si y sólo si, a c y b d.
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Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
Además aunque A, B ? U, no es necesario que A ? B
? U, de modo que U no es necesariamente cerrado
en esta operación.
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Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
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Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
EJEMPLO Si U R, R ? R se conoce como el plano
real de la geometría coordenada y del cálculo
bidimensional. El subconjunto R?R es el
interior del primer cuadrante de este plano. Así
mismo, R3 representa el espacio euclidiano
tridimensional donde las superficies
tridimensionales, como esferas y planos, son
subconjuntos importantes.
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Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la
siguiente forma se lanza un solo dado y se
anota el resultado a continuación, se lanza una
moneda al aire y se anota el resultado.
Determínese un espacio muestral M para E.
Denótese por E1 la primera parte del experimento
E y sea M1 1, 2, 3, 4, 5, 6 un espacio
muestral para E1. Así mismo sea M2CA,CZ un
espacio muestral para E2, la segunda parte del
experimento. Entonces, M M1 ? M2 es un espacio
muestral para E.
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Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
Este espacio muestral se puede representar
gráficamente con un diagrama de árbol.
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Capítulo 4. Relaciones
4.1 Producto Cartesiano o Cruz
EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las
mujeres juegan a lo sumo 3 sets en un partido.
Triunfa quien gane primero 2 sets. Si N y E
representan a las 2 jugadoras, el diagrama de
árbol refleja las 6 maneras en que puede ganarse
el encuentro.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición 3.2 Dados los conjuntos A, B ? U,
cualquier subconjunto de A ? B se denomina
relación de A a B. A cualquier subconjunto de A ?
A se denomina relación binaria.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Sea U 1, 2, 3, ... , 7, A 2, 3,
4, B 4, 5. las siguientes son relaciones de
A a B. a) ? b) (2,4) c) (2, 4), (2, 5) d)
(2, 4), (3, 4), (4, 4) e) (2, 4), (3, 4), (4,
5) f) A ? B.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Sea B 1, 2 ? N, U P(B) y A U ?,
1, 2, 1, 2. El siguiente es un ejemplo de
relación binaria en A R (?, ?), (?, 1), (?,
2), (?, 1, 2), (1, 1), (1,1,2), (2,
2), (2, 1,2), (1,2, 1,2). Se puede
decir que la relación R es una relación de
subconjunto donde (C, D)? R si y sólo si C, D ?
B y C ? D.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Se observa que (7,7),(7,11)?R, y (8,2)?R,
(7,11)?R también se puede denotar como 7R 11
(8,2)?R se transforma en 8R 2 son ejemplos de
notación infija en una relación.
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EJEMPLO Cuando el compilador Pascal traduce un
programa fuente del programa objeto a lenguaje de
máquina, éste elabora una tabla de símbolos que
contiene los siguientes conjuntos 1.- S el
conjunto de nombres simbólicos, como variables,
constantes y tipos. 2.- A el conjunto de
posibles atributos para los elementos de S, como
entero, real, Booleano, carácter. 3.- L el
conjunto de posiciones, o direcciones de la
memoria donde se almacenan los elementos de S. La
información de la tabla proporciona relaciones de
S a A y de S a L.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Para cualquier conjunto A ? U , A ? ? ?. (Si A
? ? ? ?, sea (a, b) ? A ? ?. Entonces, a ?A y b?
? , lo cual es imposible). Así mismo ? ? A ?.
El producto cartesiano y las operaciones binarias
de unión e intersección están interrelacionados
con el siguiente teorema.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
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• Demostración Se demuestra el teorema a) y se deja
  el resto como ejercicio.
• Para cualquier a, b? U, (a, b) ?
  ?
• a ? A y b ?
• a ? A y b ? B, b ? C
• a ? A, b ? B, y a ? A, b ? C
• (a, b) ?A ? B y (a, b) ? A ? C
• (a, b) ? (A ? B) ? ( A ? C).
• ? (A ? B) ? ( A ? C)

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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición Una relación R en un conjunto A se
denomina reflexiva si para todo x ?A, (x, x) ? R
. Se dice que R es reflexiva si cada elemento x
de A está relacionado consigo mismo
EJEMPLO Para A 1, 2, 3, 4, una relación R ? A
? A será reflexiva si R ?(1, 1), (2, 2), (3, 3),
(4, 4). Por tanto, R1(1,1), (2,2), (3,3) no
es una relación reflexiva en A, mientras que R2
si es reflexiva en A.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición La relación R en un conjunto A se
llama simétrica si (x, y) ? R ? (y, x) ? R para
x, y ? A.
EJEMPLO Con A 1, 2, 3, se tiene
que a)R1(1,2),(2,1),(1,3),(3,1) es simétrica,
no reflexiva b)R 2(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)es
reflexiva, no simétrica c)R3(1,1),(2,2),(3,3)
R4(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2) son reflexivas
y simétricas.
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(No Transcript)
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición Para un conjunto A, una relación R en
A se llama transitiva si (x, y), (y, z) ? R ? (x,
z) ? R. (De modo que si x está relacionado con
y e y está relacionado con z, se desea
relacionar x con z, representando y el papel de
intermediario.)
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Si A 1, 2, 3, 4, entonces R1(1,1),
(2,3),(3,4),(2,4) es una relación transitiva en
A, mientras que R2(1,3),(3,2) no lo es, pues
(1,2) ?R2.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición Dada una relación R en un conjunto A,
R se denomina antisimétrica si a R b, b R a ? a
b. (En este caso, la única manera de tener a a
relacionado con b y a b relacionado con a es
que a y b sean uno y el mismo elemento de A).
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Para un universo dado U defínase la
relación R en P(U) por (A, B)?R si A ? B, para A,
B ? U de modo que R es la relación de
subconjunto y si A R B y B R A, entonces se
tiene A ? B, B ? A, lo que equivale a A B. En
consecuencia, esta relación es antisimétrica,
además de reflexiva y transitiva, pero no
simétrica.
Antes de cometer el error de pensar que no
simétrica es sinónimo de antisimétrica,
téngase en cuenta lo siguiente.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
EJEMPLO Para A 1, 2, 3, la relación R en A
dada por R (1, 2), (2, 1), (2, 3) no es
simétrica porque (3, 2) ?R, y tampoco es
antisimétrica, pues (1,2), (2,1) ?R pero 1 ? 2.
La relación R1(1, 1), (2, 2)es simétrica y
antisimétrica.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición La relación R en un conjunto A se
denomina orden parcial o relación de orden
parcial si R es reflexiva, antisimétrica y
transitiva.
EJEMPLO la relación de subconjunto es un orden
parcial.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Definición Una relación de equivalencia R en un
conjunto A es una relación reflexiva, simétrica y
transitiva.
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Capítulo 4. Relaciones
4.2 Relaciones
Si R es una relación en un conjunto A, entonces R
es una relación de equivalencia y un orden
parcial en A si y sólo si es la relación de
igualdad en A.
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Relaciones de Orden
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
A medida que se aumenta desde N hasta C se
adquiere mayor capacidad para resolver ecuaciones
polinomiales, aunque al pasar de R a C se pierde
algo.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
En R, dados los números r1, r2 con r1?r2, siempre
es posible decir si r1? r2 o r2? r1. No obstante
en C, (2i)? (12i). Se ha perdido la capacidad
de ordenar los elementos del sistema numérico.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Sea A un conjunto y R una relación en A. El par
(A, R) se llama conjunto parcialmente ordenado si
la relación R en A es un orden parcial, o una
relación de ordenamiento parcial. Si a A se le
denomina conjunto parcialmente ordenado, se sobre
entiende que hay un orden parcial R en A que
convierte a A en este conjunto parcialmente
ordenado.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en
una universidad. Defínase la relación R en A
mediante x R y si x e y son el mismo curso o si x
es un requisito previo para y. Entonces, R
transforma a A en un conjunto parcialmente
ordenado.
EJEMPLO Defínase R en A 1, 2, 3, 4 por x R y,
si , es decir, x divide a y. Entonces, R (1,
1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1,
4), (2, 4) es un orden parcial y (A, R) es un
conjunto parcialmente ordenado.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Para construir una casa hay ciertos
trabajos, como excavar los cimientos, que deben
realizarse antes de poder comenzar otras fases de
la construcción . Si A es un conjunto de tareas
que deben realizarse para construir una casa o
completar un proceso especial de fabricación, se
puede definir una relación R en A por x R y si x
e y denotan la misma tarea o si la tarea x debe
realizarse antes de comenzar la y. De esta manera
se asigna un orden a los elementos de A,
convirtiéndolo en un conjunto parcialmente
ordenado.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO En el conjunto A 1, 2, 3, 4, 5, la
relación R en A, definida por x R y si x ? y, es
un orden parcial, que transforma a A en un
conjunto parcialmente ordenado que se puede
denotar por (A, ?). Si B 1, 2, 4 ? A, el
conjunto (1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1,
4), (2, 4) es un orden parcial en B.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado, se dice que A está totalmente ordenado
si para toda x, y ?A se cumple x R y o y R x. En
este caso R se denomina orden total.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO En el conjunto N, la relación R definida
por x R y si x ? y es un orden total. La relación
de subconjunto aplicada a A P(U), U 1, 2, 3
es un orden parcial, pero no total 1, 2, 1,
3?A, pero ni 1, 2 ? 1, 3 ni 1, 3 ? 1, 2.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Sea U 1, 2, 3 y A P(U). Sea R la
relación de subconjunto en A. Entonces U es
maximal, mientras que ? es minimal para este
conjunto parcialmente ordenado. Para B, la
colección de subconjuntos propios de 1, 2, 3,
sea R la relación de subconjunto en B . En el
conjunto parcialmente ordenado (B, ?), 1, 2,
1, 3, 2, 3 son elementos maximales, mientras
que ? es el único elemento minimal.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Con la relación R es menor o igual que
en el conjunto Z, (Z, ?) es un conjunto
parcialmente ordenado sin elemento maximal ni
minimal. No obstante el conjunto parcialmente
ordenado sin elemento maximal ni minimal. No
obstante, el conjunto parcialmente ordenado (N,
?) tiene elemento minimal 0, pero no maximal.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado y A finito, entonces A tiene elementos
maximal y minimal.
Demostración Sea a1?A. Si no hay elemento a ? A,
a ? a1 con a1 R a , entonces a1 es maximal. De no
ser así, hay un elemento a2 ? A , a2 ? a1, con a1
R a2.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado, un elemento x ? A se denomina elemento
mínimo si x R a, para todo a ? A. El elemento y ?
A se denomina máximo si a R y para toda a ? A.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Sean U 1, 2, 3 y R la relación de
subconjunto. a) Con A P(U), (A, ?) tiene a ?
como elemento mínimo y a U como máximo. b) Para B
la colección de subconjuntos no vacíos de U,
(B, ?) tiene a U como elemento máximo. No existe
elemento mínimo, pero si tres elementos
minimales.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es
posible tener varios elementos maximales y
minimales. Qué sucede con los elementos mínimo y
máximo?
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A,
R) tiene algún elemento máximo (mínimo), ese
elemento es único.
Demostración Supóngase que x, y ?A y que ambos
son elementos máximos. Como x es un elemento
máximo, y R x. Así mismo, x R y, pues y es un
elemento máximo. Como R es antisimétrico, x y.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Definición Sea (A, R) un conjunto parcialmente
ordenado con B ? A. Un elemento x ? A se llama
cota inferior de B si x R b para toda b?B. Si y ?
A y b R y, para toda b ? B, y se denomina cota
superior de B.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Un elemento x?A se llama máxima cota inferior
(mci) de B si es una cota inferior de B y si para
el resto de las cotas inferiores x de B, x R
x. De manera análoga, y ? A es una mínima cota
superior (mcs) de B si es una cota superior de B
y para el resto de las cotas superiores y de B,
y R y.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
EJEMPLO Sea R la relación es menor o igual que
para el conjunto parcialmente ordenado en el
siguiente caso Si A R, y B 0, 1, entonces
B tiene mci 0 y mcs 1. Obsérvese que 0, 1 ? B.
Para C (0, 1, C tiene mci 0 y mcs 1, y 1 ? C,
pero 0 ? C.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado y B ? A, si B tiene mcs (mci), ésta es
única.
Demostración. Se deja como ejercicio.
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Capítulo 4. Relaciones
4.3 Relaciones de Orden
Definición El conjunto parcialmente ordenado (A,
R) se denomina red si para cualquier x, y ? A,
existen la mcsx, y y la mcix, y .
EJEMPLO. Para AN, y x,y ?N, defínase xRy por x ?
y. Entonces mcsx, y maxx, y, mcix,
yminx, y y (N, ?) es una red.
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Relaciones de Equivalencia
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Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Recordemos que R en un conjunto A es una relación
de equivalencia si es reflexiva, simétrica y
transitiva.
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Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Si se considera la relación R en Z definida por x
R y, si x y es un múltiplo de 2, entonces R es
una relación de equivalencia en Z, donde todos
los enteros pares e impares están relacionados.
Por ejemplo, aquí no se tiene 4 8, pero si 4 R
8, pues ya no interesa el tamaño de un número,
sino sólo dos propiedades paridad e imparidad.
Esta relación descompone Z en dos subconjuntos
formados por los enteros pares e impares Z
... , -3, -1, 1, 3, ... ? ... , -4, -2, 2, 4,
.... Esta descomposición de Z es un ejemplo de
partición, concepto íntimamente ligado a la
relación de equivalencia.
59
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
60
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
EJEMPLO Si A 1, 2, 3, ..., 10, entonces los
siguientes conjuntos son particiones de A a) A1
1, 2, 3, 4, 5, A2 6, 7, 8, 9, 10 b) A1
1, 3, 5, 7, 9, A22, 4, 6, 8, 10 c) A1 1,
2, 3, A2 4, 6, 7, 9, A3 5, 8, 10 d) Ai
i, i5, 1 ? i ? 5.
61
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
EJEMPLO Sea AR y para cada i?Z, sea Aii, i1).
Entonces constituye una partición de R.
62
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xRy, si
4 divide a (xy). Para esta relación se encuentra
que 0 ..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ... 4k
? k?Z 1 ..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...
4k 1 ? k?Z 2 ..., -6, -2, 2, 6, 10, 14,
... 4k 2? k?Z 3 ..., -5, -1, 3, 7,
11, 15, ... 4k 3? k?Z 0, 1, 2,
3 proporciona una partición de Z.
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Teorema Si R es una relación de equivalencia en
un conjunto A y x, y ?A, entonces a) x? x b)
x R y si y sólo si x y y c) x y o x
? y ?.
Demostración a) Este resultado se obtiene de la
propiedad reflexiva de R b) Si x R y , sea w
?x. Entonces, w R x además como R es
transitiva, w R y. Por tanto, w ? y y x ?
y. Con R simétrica, x R y ? y R x. De este
modo, si t? y, entonces t R y y por la
propiedad transitiva, t R x. De ahí que t ? x e
y ?x. Por tanto x y. A la inversa sea
x y. Como por el apartado a) x ? x,
entonces x ? y o x R y. c) Esta propiedad
plantea que las clases de equivalencia sólo se
pueden relacionar de dos maneras son idénticas o
disjuntas.
64
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
c) Continuación... Se supone que x ? y y se
muestra cómo entonces resulta que x ? y ?.
Si x ? y ? ?, entonces sea v ? A con v ? x
y v ? y. Por tanto, v R x, v R y ? x R y.
Además por el apartado b), x R y ? x y.
Esto contradice la hipótesis de que x ? y,
por tanto se rechaza la hipótesis de que x ?
y ? ?, y de ahí se obtiene el resultado.
65
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Obsérvese que si R es una relación de
equivalencia en A, entonces, de acuerdo con a) y
c) del teorema anterior, las distintas clases de
equivalencia determinadas por R constituyen una
partición de A.
EJEMPLO Si A 1, 2, 3, 4, 5 y R (1, 1), (2,
2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5,
4), (5, 5), entonces R es una relación de
equivalencia en A, 1 1, 2 2,33,
44,55 y A 1 ? 2 ? 4.
66
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
EJEMPLO 3.31 En FORTRAN ANSI hay una instrucción
llamada instrucción EQUIVALENCE, que permite a
dos o más variables de un programa dado referirse
al mismo lugar en la memoria. Por ejemplo
EQUIVALENCE (A, C, P), (ARRIBA, ABAJO). Informa
al compilador que las variables A, C, P
compartirán un lugar en la memoria y que ARRIBA y
ABAJO compartirá otro. Aquí el conjunto de todas
las variables del programa se descompone por la
relación de equivalencia R, donde V1 R V2 si V1 y
V2 son variables de programa que comparten una
misma localidad de la memoria.
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EJEMPLO Después de ver ejemplos de cómo una
relación de equivalencia origina una partición de
un conjunto, se volverá a ello. Si una relación
de equivalencia R en A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
causa la partición A 1, 2 ? 3 ? 4, 5, 7 ?
6, Cuál es el valor de R? Considérese el
subconjunto 1, 2 de la partición. Este
subconjunto implica que 1 1, 2 2, y así
(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1) ? R. (Los primeros
dos pares ordenados son necesarios para la
propiedad reflexiva de R, en tanto que los otros
preservan la simetría). De manera análoga, el
subconjunto 4, 5, 7 implica que bajo R, 4
5 7 4, 5, 7 y que, como relación de
equivalencia, R debe contener 4, 5, 7 ? 4, 5,
7. De hecho R (1, 2 ? 1, 2) ? (3 ? 3)
? (4, 5, 7 ? 4, 5, 7) ? (6 ? 6), y R
22 12 32 12 15.
68
Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Teorema Si A es un conjunto, entonces a) Cualquie
r relación de equivalencia R en A origina una
partición de A. b) Cualquier partición de A
origina una relación de equivalencia R en A.
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Capítulo 4. Relaciones
4.4 Relaciones de Equivalencia
Demostración El apartado a) resulta de los
apartados a) y c) del teorema anterior. Para el
apartado b), dada una partición de A, defínase
la relación R en A por x R y, si x, y están en la
misma celda de la partición. Se deja como
ejercicio la comprobación de que R es una
relación de equivalencia.