Jean Baptiste Joseph Fourier

1
Jean Baptiste Joseph Fourier
Roden 21. 03. 1768. Auxerre, Bourgogne,
FrancuskaUmro 16. 05. 1830. Paris, France
2
FT jedinicne celije daje niz vrhova, od kojih
su najizrazitiji na pozicijama 2,3,5. Oni tocno
odgovaraju frekvencijama sinusoida koje smo
koristili u lijevoj slici za dobivanje
aproksimacije gustoce elektrona. Visine tih
vrhova su tocno amplitude odgovarajucih
sinusoida. Niži vrhovi oznacavaju dodatne
sinusoide (njihove frekvencije i amplitude) koje
bi trebalo pribrojiti ovima da dobijemo još
tocniju sliku.
3
Periodicna funkcija ? Fourierov red
4
Fourierov red prikaz periodicne funkcije kao
(beskonacne) sume sinusa i kosinusa razlicitih
amplituda i frekvencija
Uzimajuci u obzir de Moivreovu formulu i uz
ponešto racuna dobiva se ekvivalentni oblik
5
uz
dobijemo
pustimo
tj.
i dobijemo
6
Ovisno o primjeni, imamo razne konstante (npr. s
1/?2? pred oba integrala u cistoj fizici, bez
konstanti ispred, ali s faktorom 2?? umjesto ? u
eksponencijalnoj funkciji pod integralom u
signalnom procesiranju idr.) Opcenito, umjesto 1
i 1/2? ispred integrala mogu doci bilo koje dvije
konstante kojima produkt iznosi 1/2?.
7

• Svojstva FT
• linearnost
• pomak u prostoru ili vremenu
• pomak u kutu odnosno frekvenciji
• simetricnost
• FT derivacije
• produkt ?? konvolucija

http//mwt.e-technik.uni-ulm.de/world/lehre/basic_
mathematics/fourier/node6.php3
8
Polazna funkcija f(x) je realna tocno onda kad je
njena FT hermitska tj. F(-K)F(K) gdje je sa
oznaceno kompleksno konjugiranje.
Im
K
Re
-K
K
9
Pomocu FT utvrdujemo npr. koje frekvencije
sacinjavaju impuls (ovdje jednostavni impuls s
telefonske linije mV u ovisnosti o t). FT je
tzv. spektar tj. prikaz ovisnosti amplitude o
frekvenciji. Ako imamo pravokutni impuls f(x)1
za x izmedu a i a, inace 0, dobijemo
F(?)2 sin(?a) / ?
10
Konacni niz impulsa N2n1 impulsa duljine 2a u
jednakim razmacima d (tako da nema
preklapanja) Jedan impuls ima FT
F(?)2 sin(?a) / ?
Svojstvo pomaka povlaci da isti takav impuls na
intervalu ltkT-a,kTagt (k -n,-n1,...,-1,0,1,...,
n) ima FT
F(?) e-i?kT 2 sin(?a) / ?
Linearnost povlaci da za dobivanje ukupne FT
treba zbrojiti pojedinacne FT za k -n, ... , n
F(?)?k e-i?kT 2 sin(?a) / ? 2 sin(?a) / ?
(eni?T ... ei?T 1 e-i?T e-2i?T ...
e-in?T) 2 sin(?a) / ? 2Re(1- e-(n1)i?T ) /
(1- e-i?T ) 2 sin(?a) / ? sin(N?d/2) /
sin(?d/2)
11
Tako npr. za 11 impulsa (ili 11 rupa na zaslonu)
širine 2 i s razmakom 1 dobijemo
12
(No Transcript)
13

• Buduci se svaka funkcija može rastaviti na zbroj
  parnog i neparnog dijela
• F(x)P(x)N(x),
• P(x)(f(x)f(-x))/2, N(x)(f(x)-f(-x))/2
• te buduci je
• eiKxcos(Kx)i sin(Kx)
• cos paran, sin neparan
• integral neparne funkcije po simetricnom
  intervalu je nula
• integral parne funkcije po simetricnom intervalu
  je dvostruki integral iste funkcije po desnoj
  polovini intervala
• produkt parne i neparne funkcije je neparna
  funkcija
• FT parne funkcije je realna funkcije, FT neparne
  funkcije je cisto imaginarna funkcija
• Slijedi da je
• F(K)2(F1(K) - 2i F2(K))
• gdje je
• F1(K)?0? P(x) cos(xK)dx,
• F2(K)?0? N(x) sin(xK)dx

14
Veza s difrakcijom

• odbijanje vala od nekog objekta ili skupa
  objekata
• slika F(s) koju dobijemo difrakcijom je skup
  svih difraktiranih valova (po svim mogucim
  kutevima), gdje odjednom gledamo sva odbijanja u
  istom smjeru
• upadna zraka - vektor k odbijena (u odabranom
  smjeru) - k kao duljinu im uzmemo 1/?
• odaberimo ishodište ? tocka u kojoj gledamo
  odbijanje ima pozicijski vektor r
• razlika duljine puta izmedu zrake odbijene u toj
  tocki i zamišljene zrake odbijene u ishodištu sa
  slike se vidi da to iznosi r(k-k ) rs uz
  sk-k.
• uzimajuci u obzir iznos (scattering power)
  odbijanja u toj tocki (p(r)) npr. vjerojatnost
  nalaženja elektrona na toj poziciji, te razliku u
  fazi 2?/? r(k-k) zbrajanjem po cijelom objektu
  dobivamo
• F(s)?V p(r) exp(2 ? i rs) dr
• uocimo jedinice u kojima mjerimo s su
  reciprocne jedinicama kojima mjerimo ?

15
FT u difrakciji kristala F(s) ?V p(r)
exp(2?i rs) dr p(r) je scattering power u
danoj tocki s pozicijom r Jednodimenzionalni
slucaj F(K) ?R f(x) exp(2?i Kx) dx
16

• zrake upadaju na objekt i difraktiraju
• na slici imamo difrakciju u jednom smjeru ti
  difraktirani valovi daju (leca ih skuplja u
  fokalnoj ravnini) jedan objekt skup svih tih
  dobivenih objekata je tocno FT polaznog objekta
  (objekt reciprocnog prostora) inverznom FT se
  rekonstruira polazna slika u realnom prostoru
• uocimo skupit ce se samo oni valovi koji upadnu
  u otvor lece ? valovi koji difraktiraju pod
  velikim kutevima (odgovaraju detaljima iz najvece
  rezolucije) buduci ne daju dio FT, nece dati
  informaciju pri inverznoj FT tj. dobit cemo sliku
  u slabijoj rezoluciji

17

• Abbe-ova teorija
• ravnina difrakcije (na stražnjoj fokalnoj
  ravnini objektiva) je tocno FT objekta
• ako je otvor manji tj. ne propusti zrake
  odbijene pod svim kutevima, dobit cemo
  restrikciju FT od f(x), nazovimo ju G(K), koja je
  FT ne od stvarnog polaznog objekta opisanog s
  f(x) nego od nekog njemu slicnog objekta opisanog
  funkcijom g(x) cija bi FT bila G(K)

18

• Želimo za svaku tocku reprezentirati amplitudu i
  fazu ? npr. pomocu slike u boji
• amplitude ? zasicenje i svjetlina
• faza ? ton boje
• Npr. bijelo oznacava amplitudu nula, maksimalno
  zasicena boja oznacava maksimalnu amplitudu.
  Crveno oznacava fazu tj. kut od 0, zeleno 120,
  plavo 240.

19
Jedan atom i njegova Fourierova transformacija
(1- i 2-dimenzionalni presjek kroz reciprocni
prostor)
http//www.fi.muni.cz/usr/mejzlik/mirrors/proffen/
teaching.htmlconv
20
(No Transcript)
21
Dva atoma i njihova Fourierova transformacija
http//www.fi.muni.cz/usr/mejzlik/mirrors/proffen/
teaching.htmlconv
22
(No Transcript)
23
Konvolucija dvije funkcije je superpozija jedne
na svakoj poziciji druge i množena vrijednošcu
prve u toj tocki suma svih tih superpozicija). Kon
volucijakrug pomaknut po dužini ili dužina
pomaknuta oko kruga.
24
(No Transcript)
25
Teorem o konvoluciji FT konvolucije funkcija
produkt njihovih FT Matematicka definicija
konvolucije funkcija Kristal možemo shvatiti
kao konvoluciju dvije funkcije osnovni motiv tj.
jedinicna celija ili molekula s rešetkom
KRISTAL MOTIV REŠETKA


26
Veza s reciprocnim prostorom FT stvarnu rešetku
preslikava u odgovarajucu rešetku reciprocnog
prostora
FT(kristal) FT(motiv) (rešetka)
FT(motiv) FT(rešetka)  FT(motiv) . (reciprocna
rešetka) Specijalno, FT kristala je razlicita od
nule samo u tockama reciprocne rešetke
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
http//www.yorvic.york.ac.uk/cowtan/fourier/fouri
er.html
Ovdje se vidi svojstvo da realna slika (tj. kad
kao original imamo realnu funkciju) daje
hermitski difrakcijski uzorak (tj. hermitsku FT).
30
The Fourier Duck Behold the duck.It does not
cluck.A cluck it lacks.It quacks.It is
specially fond of a puddle or pond.When it dines
or sups, it bottoms ups. The Fourier Duck
originated in a book of optical transforms
(Taylor, C. A. Lipson, H., Optical Transforms,
Bell, London 1964). An optical transform is a
Fourier transform performed using a simple
optical apperatus.
31
Niska rezolucija difrakcijskog uzorak ? niska
rezolucija patke
Ako fali dio podataka, dijelovi okomiti na taj
dio ce biti nejasni