Projeto e An

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Projeto e Análise de Algoritmos
Celso Carneiro Ribeiro http//www.inf.puc-rio.br/
celso
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Parte 1
Introdução
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Alguns exemplos

• Totalizar uma folha de pagamento
• Ordenar uma lista de números
• Multiplicar dois números inteiros
• Multiplicar duas matrizes
• Dado um tabuleiro de xadrez, obter o melhor
  movimento para as peças brancas.
• Obter o conjunto de rotas ótimas para um
  determinado número de veículos, que devem
  distribuir um certo número de produtos em
  determinados pontos de venda de certas cidades.
• Dado um programa R escrito em uma linguagem L e
  uma entrada X qualquer para R, decidir se R
  termina se for submetido à entrada X.

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O que é um algoritmo?

• Do dicionário Aurélio processo de cálculo ou de
  resolução de um grupo de problemas semelhantes,
  em que se estipulam, com generalidade e sem
  restrições, regras formais para a obtenção do
  resultado, ou da solução do problema.
• Conjunto predeterminado e bem definido de regras
  e processos destinados à solução de um problema,
  com um número finito de etapas.

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O que é um algoritmo?

• Sequência finita de instruções elementares e bem
  definidas (não-ambíguas), que levam à solução de
  um problema específico.
• Operações válidas
• Definidas (some 6 ou 7 a x)
• Efetivas ( )
  (aritmética de inteiros versus reais)
• Término em tempo finito (procedimento
  computacional)

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Qual algoritmo utilizar para resolver um problema?

• Quando se resolve um problema, é necessário
  decidir-se pelo algoritmo a ser utilizado.

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Exemplo 1 Multiplicação de dois números inteiros
com n dígitos

Algoritmo 3 n1.59
Algoritmo 2 n2
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Exemplo 2 MDC Algoritmo ingênuo

• Entrada x, y ? Z
• Saída MDC(x, y) Max z ? Z ? a,b ? Z, x
  az, ybz

Function mdc(x, y integer) integer var t
integer início se xlty então t ? x senão t
? y enquanto (x mod t ltgt0) ou (y mod tltgt0) faça
t ? t-1 mdc ? t fim fim_function
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Exemplo 2 MDC Algoritmo de Euclides

• MDC (54180, 13125) ?

4 7 1 4 3
54180 13125 1680 1365 315 105
1680 1365 315 105 0
MDC (54180, 13125) 105
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Exemplo 2 MDC

• Algoritmo ingênuo realiza 13020 iterações.

Algoritmo de Euclides realiza 5 iterações!
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Exemplo 2 MDC Algoritmo de Euclides

• Eliminação da recursão

function mdc(x, y integer) integer var t
integer início enquanto yltgt0 faça
início t? x mod y x? y y? t
fim mdc_e_i ? x fim fim_function_mdc
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Exemplo 3 Cálculo do n-ésimo elemento da
seqüência de Fibonacci

• Seqüência de Fibonacci

an an-1 an-2 a0 0 a1 1
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Exemplo 3 Cálculo do n-ésimo elemento da
seqüência de Fibonacci

• Algoritmo 1

function fib1(n) se nlt2 então retorne
n senão retorne fib1(n-1) fib1(n-2)
fim_function_fib1
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Exemplo 3 Cálculo do n-ésimo elemento da
seqüência de Fibonacci

• Algoritmo 2

function fib2(n) i ? 0 j ? 1 para k1 até
n faça j ? ij i ? j-i fim_para retorne
j fim_function_fib2
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Exemplo 3 Cálculo do n-ésimo elemento da
seqüência de Fibonacci

• Algoritmo 3

function fib3(n) i ? 1, j ? 0, k ? 0, h ?
1 enquanto ngt0 faça se n é ímpar
então t ? j.h j ? i.h j.k t i ?
i.k t fim_se t ?
h2 h ? 2.k.h t k ? k2 t
n ? n div 2 fim_enquanto retorne
j fim_function_fib3
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Exemplo 3 Cálculo do n-ésimo elemento da
seqüência de Fibonacci

• Cálculo da complexidade

• fib1(n) fib1(n-1) fib1(n-2)
• Cada chamada de fib1 O(1)
• T(n) é o número de chamadas de fib1 para o
  cálculo do n-ésimo termo

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Exemplo 3 Cálculo do n-ésimo elemento da
seqüência de Fibonacci

• Cálculo da complexidade

• Parte homogênea solução da forma rn
• Parte não-homogênea métodos dos coeficientes
  indeterminados (termo não homogêneo1)

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Exemplo 3 Cálculo do n-ésimo elemento da
seqüência de Fibonacci

• Cálculo da complexidade

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Exemplo 3 Cálculo do n-ésimo elemento da
seqüência de Fibonacci

• Cálculo da complexidade

• S(n) número de somas efetuadas para calcular
  n-ésimo termo
• S(n) S(n-1) S(n-2) 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
S(n) 0 0 1 2 4 7 12 20 33 54 88 143 232 376 609 1596
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Exemplo 3 Cálculo do n-ésimo elemento da
seqüência de Fibonacci

• Cálculo da complexidade

Algoritmo 1
Algoritmo 2
f100 21 dígitos decimais
Algoritmo 3
Pascal, CDC Cyber 835
n102 n108 109 anos _ 1 ½ ms
25 minutos ½ ms 2 ms