Presentazione di PowerPoint

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Ricerca Operativa

• Primi sviluppi seconda guerra mondiale
• Dopoguerra applicazioni civili
• Standardizzazione
• Sviluppo del calcolo automatico
• Campi applicativi Industria
• Trasporti
• Finanze
• Etc.

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Definizione secondo Ackoff-Sasieni

• La Ricerca Operativa e
• lapplicazione del metodo scientifico
• da parte di gruppi interdisciplinari
• a problemi che implicano il controllo di sistemi
  organizzati al fine di fornire soluzioni che
  meglio servano gli scopi dellorganizzazione nel
  suo insieme

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Caratteristiche della Ricerca Operativa

1. La R.O. viene applicata alla risoluzione di
   problemi sul come condurre, organizzare e
   migliorare le operazioni e le attivita
   allinterno di una organizzazione
2. Lapproccio utilizzato e quello del metodo
   scientifico individuato il problema si
   costruisce il modello matematico che astrae
   lessenza dal problema reale
3. La R.O. cerca di risolvere i conflitti fra le
   varie componenti del sistema visto nel suo
   insieme gli obiettivi prefissati devono essere
   in accordo con tutta lorganizzazione
4. La R.O. non si limita ad individuare una delle
   possibili soluzioni del problema, ma individua,
   se possibile, quella ottimale, cioe quella che
   meglio risponde alle esigenze.

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Esempio Gestione linea metropolitana
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Fasi di un problema risolto con la Ricerca
Operativa
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Problemi economici

• Vincoli
• Organizzativi
• Logistici
• Finanziari
• Produttivi

• Ottimizzare
• Costi
• Profitti
• Produzione
• Gestione
• Organizzazione

Costi fissi Costi variabili lineari Costi
variabili non lineari
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(No Transcript)
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Lavoro proposto( Preparazione Unità didattica )

• Distribuzione elenco problemi economici
• Definiire gruppi di lavoro
• Stabilire collocazione problemi nellambito della
  Ricerca Operativa.
• In tali problemi variano il tipo di funzione
  obiettivo, i vincoli.
• Stabilire quali sono gli oggetti matematici
  che intervengono nella risoluzione.
• Dare un ordine di presentazione dei problemi in
  base agli oggetti matematici presenti e al metodo
  risolutivo. Definire prerequisiti ed eventuali
  approfondimenti.

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(No Transcript)
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PROBLEMI ECONOMICI
1) Unimpresa produce un prodotto sostenendo una
spesa fissa mensile di 3.000.000 u.m. ed una
spesa variabile di 6000 u.m. per ogni unità di
prodotto. Il prezzo di vendita è di 8000 u.m.
per unità. Determinare e disegnare le funzioni
spesa, ricavo e guadagno mensili in funzione
della quantità x prodotta. Quale quantità minima
è necessario produrre per non lavorare in
perdita?  u.m.unità monetarie
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Costi C(x) 3.000.000 6.000 x Guadagno
G(x) 2.000 x 3.000.000   Risposta 1500
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2) Unimpresa produce un prodotto sostenendo una
spesa fissa mensile di 180.000 u.m., un costo
di produzione unitario di 50 u.m., una spesa
unitaria di vendita pari alla metà del prodotto
venduto. Il prezzo di vendita è di 800 u.m. per
prodotto. La quantità massima che può essere
prodotta è 1000 unità di prodotto. Determinare e
disegnare la funzione guadagno mensile. (Esaminare
anche con vincolo sulla produzione x ? 700)
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  Risposta G(x) -x2/2 750 x 180.000   V(750
101.250)
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3) In un impresa il costo di produzione totale
per un dato periodo di tempo e espresso dalla
funzione C(x) 200.000 120x (x quantita
prodotta). Il prezzo di vendita e p(x) 500
0,1x, variabile in funzione della domanda. Il
vincolo sulla produzione e x ?
1.600. Determinare e disegnare la funzione prezzo
e la funzione guadagno. 
Funzione p(x)
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Risposta G(x) -0,1x2 380 x 200.000
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4) Una ditta ha una capacità produttiva mensile
di kg. 1500 di una merce. Per la produzione
sostiene una spesa fissa mensile di 500.000 u.m.
ed un costo di u 1000 per ogni kg prodotto. La
domanda della merce ( ossia la quantità di merce
richiesta dai consumatori ) è espressa in
funzione del prezzo dalla relazione x(p) 2400
0,4p dove x è la quantità richiesta e p è il
prezzo al kg. Calcolare la quantità che si deve
produrre per ottenere il massimo utile,
nellipotesi che tutta la quantità prodotta sia
venduta.
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Modello matematico massimizzare y - 2,5x2
5.000x 500.000 0 ? x ? 1500   Risposta x
1000 
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5) Per la produzione di un bene un impresa
sostiene una spesa fissa di 2.000.000 u.m., un
costo unitario di 800 u.m. per ogni unità
prodotta e una spesa, stimata pari allo 0,5 del
quadrato della quantità prodotta, per la
manutenzione degli impianti. La capacità
produttiva massima mensile è di 10.000 unità.
Determinare per quale quantità il costo unitario
di produzione è minimo.
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Modello matematico minimizzare y 0,5x
2.000.000/x 800 0 ? x ? 10.000 Risposta x
2000 p 2800
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6) Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da
200 pezzi ciascuno. Per la lavorazione si
sostiene una spesa fissa giornaliera di u.m.
400.000 ed un costo di u.m. 500 al pezzo, ed il
numero massimo di lotti prodotti in un giorno è
di 6. Il prezzo di vendita è decrescente al
crescere del numero di lotti venduti secondo la
seguente tabella
Determinare quanti lotti si devono produrre
giornalmente per realizzare il massimo utile.
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Modello matematico massimizzare y
guadagno 0 ? x ? 6 x ? N
Caso discreto dati poco numerosi
  Risposta lotti n 5  
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7) Una ditta produce beni in unità non divisibili
(es. abiti) e deve decidere il numero di beni da
produrre mensilmente per ottenere lutile
massimo. I dati tecnici sono i seguenti costo
unitario per materia prima e lavorazione u.m.
20.000, spesa fissa mensile u.m. 5.000.0000,
prezzo di vendita p 60.000-15x (dove x è il
numero dei beni). Calcolare quante unità del bene
produrre per ottimizzare lutile netto, sapendo
che la massima capacità produttiva è 2.000 unità
al mese.
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  Modello matematico massimizzare y -15x2
40.000x 5.000.000 0 ? x ? 2.000 x ?
N   Caso discreto dati molto numerosi   V(4.0
00/3 65.000.000/3) y(1333) 21666665 y(1334)
21666660 Risposta x 1.333

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8) Una ditta per un servizio di trasporto pratica
i seguenti prezzi 3.500 u.m. al quintale fino a
50 quintali e 1.800 u.m. al quintale per ogni
quintale eccedente i 50. Indicando con x il
numero di quintali determinare lespressione del
costo totale in funzione di x.

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Risposta
Funzione definita a tratti, continua. Sconti
quantità.  

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9) Un commerciante, che ha una capacità di
magazzino di 300 kg., può acquistare una merce a
50.000 u.m. al Kg se la quantità acquistata
supera 100 Kg. egli usufruisce di uno sconto del
20 sulleccedenza. Tenendo conto del fatto che
allatto dellacquisto egli deve sostenere un
costo fisso di 1.000.000 u.m., e che il prezzo
unitario di rivendita della merce e dato da p
80.000 100x, determinare quale quantità deve
essere acquistata e venduta per ottenere il
massimo guadagno.

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    Modello matematico
massimizzare
Funzione definita a tratti, continua,
parabole.  Risposta x 200
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10) Un impresa commerciale acquista della merce e
la rivende ai dettaglianti. Il costo della merce
e di 300 u.m al Kg. per acquisti di almeno 30
q. il prezzo e ridotto a 250 u.m. il Kg. La
domanda e data dalla funzione x 10.00010p.
Limpresa sostiene settimanalmente una spesa
fissa di 200.000 u.m e puo acquistare al
massimo 50 q di merce. Calcolare quanti Kg. di
merce si devono acquistare per ottenere il
massimo utile nellipotesi che tutta la quantita
acquistata sia rivenduta.

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Massimizzare

  Funzione definita a tratti, non continua,
parabole.   Risposta x 3.750 
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Quesito terza prova esame di maturità   Le
imposte sono una voce importante tra le entrate
nella redazione del bilancio dello Stato. In uno
Stato Z vengono considerati due diversi tipi di
imposte sui redditi secondo questi criteri
  tipo A viene applicata unimposta
progressiva a scaglioni nel seguente modo
. unaliquota del 10 sui redditi sino a 10 000
euro compresi unaliquota del 25 sui redditi
sulla parte eccedente i 10.000 euro e sino a
30.000 euro compresi unaliquota del 35 sui
redditi sulla parte eccedente i 30.000
euro.   tipo B viene applicata unimposta nel
seguente modo . unaliquota del 5 sui redditi
sino a 10 000 euro compresi per redditi tra 10 e
30 000 euro si paga una quota fissa di 2 000 euro
più unaliquota del 10 sullintero reddito per
redditi superiori a 30 000 euro si paga una quota
fissa di 4 000 euro più unaliquota del 20
sullintero reddito.   Rappresentare graficamente
e confrontare i due tipi di tassazione, le
funzioni matematiche la loro discontinuità.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Problema Tipico
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Classificazione problemi di scelta rispetto a
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(No Transcript)
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Altri problemi in condizione di certezza con
effetti immediati scelta fra piu
alternative   1) Unazienda deve comprare un
macchinario per produrre un certo prodotto. Può
scegliere fra 3 macchinari che hanno le seguenti
caratteristiche
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2) Per rifornirsi di una data merce un
commerciante può rifornirsi da due produttori
a) lacquisto dal primo comporta una spesa fissa
di 12.000 u ed un costo di 800 u per ogni kg.
b) lacquisto dal secondo comporta una spesa
fissa di 10.000 u ed un costo di 900 u al kg.
per forniture fino a 250 kg., mentre per
forniture superiori il prezzo diminuisce del 20
sulleccedenza. Determinare per quali livelli di
acquisto è più conveniente il primo o il secondo
produttore.
  Il primo produttore è più conveniente per 20? x
? 537.5, il secondo per x ? 20 oppure x ? 537.5
.  
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Problemi di scelta in condizione di certezza con
effetti differiti

• Esempio 1
•  
• Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo
  scegliere tra
• ricevere tra 10 anni u.m. 25.000
• ricevere tra 8 anni u.m. 25.000
• La scelta b) non comporta alcun dubbio
•  
• Esempio 2
•  
• Si vogliono investire 10.000 u.m. e si puo
  scegliere tra
• ricevere tra 10 anni u.m. 25.000
• ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altre
  9.000

• Problemi tipici
• Finanziari (acquisti o vendite di beni economici,
  etc.)
• Commerciali (gestione di attivita commerciali,
  apertura di agenzie, etc.)
• Industriali (acquisto, noleggio apparecchiature,
  etc.)

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• Criteri utilizzati
• Criterio attualizzazione
• Confronto dei rendimenti economici attualizzati
  (r.e.a.) valori attuali, allinizio
  dellattivita, dei costi e ricavi futuri
• Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso
  interno di rendimento)
• Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei
  costi e uguale al valore attuale dei ricavi, per
  ciascun caso

La scelta dipende dallobiettivo investimento o
costo
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• Esempio 2
•  
• Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo
  scegliere tra
• ricevere tra 10 anni u.m. 25.000
• ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altri
  9.000
•  

Svolgimento Criterio attualizzazione   Va
25.000 (1 i)-10 Vb 8.000 (1 i)-3 9.000 (1
i)-9   i 8 Va 11.579 Vb
10.852 Soluzione e piu conveniente a) i
12 Va 8.049 Vb 8.939 Soluzione e piu
conveniente b)
Difetto ?
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• Criterio attualizzazione
• Confronto dei rendimenti economici attualizzati
  (r.e.a.) valori attuali, allinizio
  dellattivita, dei costi e ricavi futuri

Difetto criterio soggettivo (scelta del tasso di
attualizzazione)
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• Stesso problema
•  
• Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo
  scegliere tra
• ricevere tra 10 anni u.m. 25.000
• ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altri
  9.000
• Svolgimento
•  
• Criterio tasso effettivo di impiego
• Viene determinato il tasso per cui il valore
  attuale dei costi e uguale al valore attuale dei
  ricavi
•  
• 10.000 25.000 (1 i)-10
• Soluzione i 9,59
• (metodi algebrici di calcolo)
• 10.000 8.000 (1 i)-3 9.000 (1 i)-9
• Soluzione i 9,64

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• Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso
  interno di rendimento)
• Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei
  costi e uguale al valore attuale dei ricavi, per
  ciascun caso

Criterio oggettivo Difetto scadenze comparabili
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Problemi di scelta in condizioni di incertezza
con effetti immediati

• Le conseguenze dipendono da eventi aleatori
• Matrice dei risultati

   

• Distribuzione di probabilita

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• Criterio del valor medio

1. Per ogni alternativa si calcola il valor medio
   dei risultati

M(AK) ?i ai,k pi

1. Scelta dellalternativa piu conveniente

   

• Variabilita

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• Criterio del valor medio con valutazione del
  rischio

1. Per ogni alternativa

1. Se valori medi uguali ? AK con ?K minore

1. Se valori medi diversi ? determinazione del
   livello di rischio LK M(AK) / n (n 1, 2, ..)

Se ?K ? LK (n fissato) si confrontano i valori
medi e si sceglie lalternativa corrispondente al
piu conveniente
   
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PROBLEMI IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA CON EFFETTI
IMMEDIATI ESEMPIO   Criterio del valor medio con
valutazione del rischio   Esempio Un azienda
deve scegliere fra tre alternative di
investimento i cui risultati dipenderanno dal
verificarsi o meno di 4 eventi aleatori. Nella
tabella sono indicati i guadagni ottenibili , per
ogni alternativa, al variare degli eventi (es.
acquisto di merce deperibile oppure vendita come
variabile aleatoria). Valutare quale scelta è
preferibile, supponendo che agli eventi siano
assegnate le probabilità indicate.
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LAVORO PROPOSTO
E possibile formulare un criterio di scelta
anche se non si conoscono le probabilità o non se
ne vuole tenere conto
Unindustria deve decidere quale fra tre progetti
A,B,C deve attuare per produrre tre prodotti
L,M,N. Per decidere si basa sulla probabilità di
vendita così stimata 0.5 per L, 0.2 per M, 0.3
per N Ogni produzione prevede diversi costi e
ricavi, a seconda che si attuino i progetti
A,B,C. Nella tabella sono riportati i guadagni
previsti. Determinare quale progetto è il più
conveniente senza utilizzare la distribuzione di
probabilità.




Es. Acquisto quantità A,B,C di merce deperibile
per rivenderla in quantità L,M,N con guadagni in
tabella ( si tiene conto dellinvenduto e degli
sconti per grandi quantità)
.
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La tabella rappresenta guadagni abbiamo un
problema di massimo
Volendo non valutare la probalilità assegnata
agli eventi, per ogni colonna scegliamo il
risultato peggiore
E fra questi scegliamo il maggiore alternativa A
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Se la tabella rappresenta costi abbiamo un
problema di minimo
Volendo non valutare la probalilità assegnata
agli eventi, per ogni colonna scegliamo il
risultato piu grande
E fra questi scegliamo il minore alternativa A
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Tale criterio è detto del maxi-min o del mini-max
( o criterio del pessimista ). Si attua
determinando per ogni alternativa il valore
minimo e fra questi si sceglie poi lalternativa
corrispondente al massimo, se si tratta di utili
(massimizzazione) se si affronta un problema di
costi ( minimizzazione), invece, si scelgono i
valori massimi e si sceglie poi lalternativa
corrispondente al minimo.
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LAVORO PROPOSTO
I criteri del valor medio, del valor medio con
valutazione del rischio, del maxi-min non portano
necessariamente allo stesso risultato
confrontare i criteri
Scrivere problemi in condizioni di incertezza con
diverse funzioni obiettivo utile, costo, da
risolvere con i diversi metodi
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Problemi in condizioni di incertezza con effetti
differiti

• Eventi aleatori
• Effetti differiti nel tempo
• Applicazioni Matematica attuariale

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(No Transcript)