Transformaciones Isom

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Transformaciones Isométricas
Prof. Isaías Correa M.
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APRENDIZAJES ESPERADOS

• Describir los cambios que presentan puntos o
  figuras planas, al aplicar una traslación,
  rotación o simetría.

• Resolver ejercicios que involucren
  transformaciones geométricas como traslación,
  rotación y simetría.

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Contenidos

1. Transformaciones Isométricas

1.1 Definición
2. Tipos de Tranf. Isométricas
2.1 Simetría o reflexión
- Simetría Axial
- Simetría Central
2.2 Traslación
2.3 Rotación
3. Teselación
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1. Transformaciones Isométricas
La palabra isometría, significa igual medida,
por lo tanto, en una transformación isométrica
1) No se altera la forma ni el tamaño de la
figura (figuras congruentes).
2) Sólo cambia la posición (orientación o
sentido de ésta).
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2. Tipos de Transformaciones Isométricas
Se puede considerar una simetría como aquel
movimiento que aplicado a una figura geométrica,
produce el efecto de un espejo (refleja la
figura).
Tipos de Simetrías
Simetría Axial Reflexión respecto de un eje.
Eje de Simetría
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En una simetría axial
Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del
eje de simetría.
A
A
El trazo que une un punto con su simétrico es
perpendicular al eje de simetría.
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La Simetría axial corresponde a una
transformación geométrica que hace corresponder a
cada punto A del plano, otro A, tal que la recta
que los une, es perpendicular a una recta fija
llamada Eje de Simetría.
Eje de Simetría X1
M
A
A
AM MA
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Simetría Central
Reflexión respecto de un punto.
O
A
A
O centro de simetría
AO OA
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La Simetría central corresponde a una
transformación isométrica de modo que el
simétrico de un punto A, con respecto a un
punto O, es A, donde OA OA y Apertenece a la
recta AO.
Ejemplo
B
C
OA OA
A
O
A
OB OB
OC OC
C
B
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En una simetría central
El centro de rotación es el punto medio del trazo
que une un punto con su simétrico.
A
O
A
OBS Una simetría central equivale a una rotación
en torno al centro de simetría en un ángulo de
180º.
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Resumiendo, las Simetrías en un sistema de ejes
coordenados
En torno al eje X
P
?
El simétrico de P(a,b) es P(a,-b)
?
P
En torno al eje Y
El simétrico de P(a,b) es P(-a,b)
P
P
?
?
En torno al origen
P
?
El simétrico de P(a,b) es P(-a,-b)
?
P
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Se puede considerar una traslación como el
movimiento que se hace al deslizar una figura, en
línea recta, manteniendo su forma y tamaño.
Una traslación en el plano, corresponde a una
aplicación T(a, b) que transforma un punto
P(x,y), en otro P(x a, y b ).
T(a, b)
P(x, y)
P( x a, y b )
Ejemplo 1
T(3, -5)
P(2, 1)
P(2 3, 1 -5)
P(5, -4)
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T(3, -5)
P(2, 1)
P(5, -4)
P
P
La aplicación T(a, b) se denomina VECTOR
TRASLACIÓN
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Ejemplo 2
El triángulo PQR, de vértices P(1,2), Q(3,1) y
R(4,3) se traslada al aplicar el vector
traslación T(-4,2),
y las coordenadas de sus nuevos vértices son P,
Q y R.
T(-4,2)
P(1,2)
P(-3,4)
Q(3,1)
Q(-1,3)
R(4,3)
R(0,5)
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Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades
hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.
P(-3,4)
P(1,2)
Q(3,1)
Q(-1,3)
R(4,3)
R(0,5)
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En una traslación
Al deslizar la figura todos los puntos describen
líneas rectas paralelas entre sí.

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En una traslación se distinguen tres elementos
Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).
Dirección (horizontal, vertical u oblicua).
Magnitud del desplazamiento (distancia entre la
posición inicial y final de cualquier punto)
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Traslaciones en un sistema de ejes coordenados
En este caso se debe señalar las coordenadas del
vector de traslación. Estas son un par
ordenado de números (x,y), donde x representa el
desplazamiento horizontal e y representa el
desplazamiento vertical.
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Traslaciones de puntos en el sistema cartesiano.
Traslación de A(4,6) a través del vector
v(-2,-3)
A(4,6)
B(-1,6)
?
?
Traslación de B(-5,2) a través del vector v(4,4)
?
A (2,3)
?
B(-5,2)
Traslación de C(-4,-2) a través del vector v(7,1)
C(3,-1)
?
?
C(-4,-2)
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En la abscisa
Signo positivo desplazamiento hacia la derecha.
Signo negativo desplazamiento hacia la
izquierda.
En la ordenada
Signo positivo desplazamiento hacia arriba.
Signo negativo desplazamiento hacia abajo.
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Corresponde a un movimiento circular con respecto
a un centro de rotación y un ángulo.
Una rotación es el movimiento que se efectúa al
girar una figura en torno a un punto. Este
movimiento mantiene la forma y el tamaño de la
figura.
0 centro de rotación
0
La rotación es positiva si es en sentido
contrario a los punteros del reloj.
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En una rotación se identifican tres elementos
El punto de rotación (centro de rotación), punto
en torno al cual se efectúa la rotación.
La magnitud de rotación, que corresponde al
ángulo, éste está determinado por un punto
cualquiera de la figura, el centro de rotación
(vértice del ángulo) y el punto correspondiente
de la figura obtenida después de la rotación.
El sentido de giro, positivo (antihorario),
negativo (horario)
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Rotación en el plano cartesiano
Si el punto A (x,y) gira con respecto al origen
en 90, 180, 270 ó en 360 se transforma en
otro punto, cuyas coordenadas se indican en la
siguiente tabla
(-y,x)
(-x,-y)
(y,-x)
(x,y)
Ejemplo 1
(8,5)
(-5,8)
(-8,-5)
(5,-8)
En la rotación negativa, 90º equivale a 270º.
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Rotación en el plano cartesiano
Si el punto A (x,y) gira con respecto a un punto
P(h,k) en 90, 180, 270 ó en 360 se
transforma en otro punto, cuyas coordenadas se
indican en la siguiente tabla
(h-yk,x-hk)
(2h-x,2k-y)
(x,y)
(hy-k,k-xh)
Ejemplo 1 P(2,3)
(13,6)
(-1,14)
(-9,0)
(5,-8)
En la rotación negativa, 90º equivale a 270º.
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Ejemplo 2
Si el punto A (2,3) gira con respecto al origen
en 90, se transforma en el punto A(-3,2).
A
A
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Importante
Toda transformación isométrica, mantiene la forma
y tamaño de una figura geométrica, por lo tanto
el perímetro y el área no sufren variación.
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3. Teselaciones
Una teselación es una regularidad o patrón de
figuras que cubre completamente una superficie
plana, de manera que no queden espacios y no se
superpongan las figuras.
Ejemplos
M.C. Escher
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Teselación del plano por polígonos regulares
Los tres polígonos regulares que recubren el
plano son
Triángulo equilátero
Cuadrado
Hexágono regular
Sólo estas tres figuras teselan regularmente
el plano.
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Las teselaciones se crean usando Transformaciones
isométricas sobre una figura inicial.
Simetría
Traslación
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(No Transcript)
31
(No Transcript)