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MÓDULO DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
RECINTO DE GUAYAMAPROYECTO TÍTULO V COOPERATIVO

• PROF. JUAN L. TORRES OCASIO
• CATEDRÁTICO AUXILIAR DE RECURSOS HUMANOS

Comenzar
2
INTRODUCCIÓN

• La Universidad Interamericana de Puerto Rico,
  Recinto de Guayama, en colaboración con el
  proyecto Título V, ha desarrollado una serie de
  módulos instruccionales para cursos de
  matemática y estadística. Un módulo instruccional
  es una unidad autónoma de estudio independiente
  diseñada para individualizar y facilitar el
  aprendizaje. Es una herramienta adicional que le
  brinda al estudiante otras opciones de estudio.
  El estudiante tiene la oportunidad de aprender de
  forma individualizada.
• Antes de comenzar a estudiar los módulos debes
  contestar la pre-prueba. Es importante que pongas
  interés al contestarla.
• Te invito a que repases los temas presentados en
  los módulos y de tener dudas consulta con el
  profesor asignado al curso.

3
PROPÓSITO

• Este módulo se propone ampliar las actividades
  de enseñanza y aprendizaje básicas aplicadas a
  las matemáticas y la estadística, incluidos en el
  Proyecto Título V Cooperativo Fortaleciendo los
  logros académicos por medio de un consorcio para
  incorporar tecnología en el currículo básico. El
  proyecto está integrado por la Pontificia
  Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce
  desde donde se dirige y sus recintos de Arecibo,
  Mayagüez y Guayama la Escuela de Artes Plásticas
  de Puerto Rico y el Recinto de Guayama de la
  Universidad Interamericana.

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OBJETIVOS

• Con el estudio de este módulo el estudiante
  podrá
• ? Definir las medidas de tendencia central.
• Explicar los pasos para calcular la
  media,mediana, percentiles y cuartiles.
• Calcular e interpretar las medidas de tendencia
  central.
• Calcular e interpretar las medidas de dispersión
  o variabilidad.

5
PREPRUEBA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Inicio
6
PREPRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

• Este módulo te provee una preprueba de
  autoevaluación con el propósito de conocer cuáles
  son tus fortalezas y debilidades en cuanto a los
  conocimientos y destrezas sobre el contenido de
  los temas presentados en el mismo. La preprueba
  te ayudará a identificar cuáles son las áreas en
  las que debes poner mayor interés. No se
  utilizará para determinar la nota del curso, no
  obstante, te servirá para conocer tu
  entendimiento del tema. Antes de comenzar a
  estudiar el contenido de este módulo te invito a
  que conteste la preprueba.

7
INSTRUCCIONES PARA TOMAR LA PRE-PRUEBA

• La primera parte de la preprueba contiene 10
  ejercicios de selección múltiple. Cada
  alternativa de selección tiene al lado izquierdo
  un círculo color marrón. Debes mover el apuntador
  al círculo de la alternativa que tu entiendas es
  la correcta y dar un clip. La máquina
  automaticamente te indicará si es correcta o
  incorrecta. Cada alternativa tiene un valor de 2
  puntos. En los ejercicios el primero vale 8
  puntos y el segundo 9 puntos. La pre-prueba tiene
  un valor de 42 puntos. Al finalizar la pre-prueba
  determina el promedio. Debes obtener un 70 o
  más. De no obtener esa puntuación, debes repasar
  nuevamente el material.

8
PARTE I. SELECCIÓN MULTIPLE (2pts.c/u)

• 1. Cuando se suman todas las puntuaciones de una
  prueba y luego se divide el resultado por el
  número total de las puntuaciones obtenemos la
• a. media
• b. mediana
• c. moda
• d. desviación estándar
• 2. Es el valor de un dato que aparece con mayor
  frecuencia en un grupo de datos
• a. la mediana
• b. la desviación estándar
• c. la moda
• d. la media

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
9
CONTINUACIÓN

• 3. Indique cual es la media en la siguiente
  distribución 10, 5, 15, 10, 20, 22, 9, 5, 15
  y 19
• a. 15
• b. 13
• c. 10
• d. 20
• 4. Indique cual es la mediana en la siguiente
  distribución 20, 15, 10, 5 y 12
• a. 10
• b. 15
• c. 5
• d. 12

Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
10
C0NTINUACIÓN

• 5. Es la medida de tendencia central que divide
  los datos por la misma mitad
• a. la mediana
• b. la media
• c. la moda
• d. la desviación estándar
• 6. Cuál sería la medida más apropiada para
  describir el promedio de los datos siguientes
  50, 60, 40, 30, 20, 10 y 15
• a. la desviación estándar
• b. la moda
• c. la media
• d. la mediana

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
11
C0NTINUACIÓN

• 7. Es uno de los requisitos para calcular la
  mediana
• a. sumar los valores de los datos
• b. ordenar los datos
• c. buscar el promedio
• d. identificar el dato de mayor frecuencia
• 8. Cuando calculamos los percentiles hay que
  identificar
• a. un índice
• b. el punto medio
• c. el promedio
• d. el cuartil

Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
12
C0NTINUACIÓN

• 9. Es una medida de localización que con
  frecuencia divide los
• datos en cuatro partes
• a. percentiles
• b. varianza
• c. cuartiles
• d. desviación estándar
• 10. Se pueden usar los cuartiles para dividir los
  datos en cuatro partes, cada una de las cuales
  contiene aproximadamente
• a. un 25 de los datos
• b. un 50 de los datos
• c. un 75 de los datos
• d. un 100 de los datos

Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
13
Parte II. Ejercicios. Resuelve los
siguientes ejercicios

• 1. Se tiene una muestra de tamaño 6 con valores
  de datos 10, 18, 12, 17,15 y 12. Calcule la
  media, la moda y la mediana.
• 2. Dada una muestra cuyos valores son 27, 25, 20,
  15, 30, 34, 28 y 25. Determine el percentil 70 y
  calcule los cuartiles.

14
CONTESTACIONES DE LOS EJERCICIOS

• MEDIA 14
• MEDIANA 13.5
• MODA 12
• 70 PERCENTIL 28
• CUARTILES
• Q1 22.5 Q2 26
• Q3 29

15
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

• Son medidas estadísticas que se usan para
  describir como se puede resumir la localización
  de los datos. Ubican e identifican el punto
  alrededor del cual se centran los datos. Las
  medidas de tendencia central nos indican hacia
  donde se inclinan o se agrupan más los datos.
  Las más utilizadas son la media, la mediana y la
  moda.

16

• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA
MEDIANA
MODA
PERCENTILES
CUARTILES
17
LA MEDIA

• La media o media aritmética, usualmente se le
  llama promedio. Se obtiene sumando todos los
  valores de los datos y dividiendo el resultado
  entre la cantidad de datos. Si los datos proceden
  de una muestra, el promedio se representa con X.
  Si los datos proceden de la población, se utiliza
  la letra griega µ.

18
CONTINUACIÓN

• La fórmula matemática para calcular la media o
  promedio es la siguiente
• donde
• promedio
• signo de sumatoria
• N numero de datos
• Veamos como se emplea la media o promedio con el
  siguiente ejemplo

19
EJEMPLO

• A continuación se presenta una muestra de las
  puntuaciones en un examen de un curso de
  estadística
• 70 90 95 74
• 58 70 98 72
• 75 85 95 74
• 80 85 90 65
• 90 75 90 69
• Podemos calcular el promedio de las puntuaciones
  para conocer cuántos estudiantes obtuvieron
  puntuaciones por encima y por debajo del promedio
  . Veamos

20
CONTINUACIÓN

• Primero, sumamos todos los valores de los datos
  y el resultado lo divide entre el total de datos
  o tamaño de la muestra. Al sumar todas las
  puntuaciones en el ejemplo anterior obtendrás un
  total de 1600, que dividido por 20(total de
  datos), es igual a 80. Si empleamos la fórmula
  obtenemos

21
LA MEDIANA

• La segunda medida de tendencia central que
  analizaremos es la mediana, en ocasiones se le
  llama media posicional, porque queda exactamente
  en la mitad de un grupo de datos, luego de que
  los datos se han colocado de forma ordenada. En
  este caso la mitad (50) de los datos estará por
  encima de la mediana y la otra mitad (50) estará
  por debajo de ella. La mediana es el valor
  intermedio cuando los valores de los datos se han
  ordenado.

22
CONTINUACIÓN

• Existen dos formas para obtener la mediana.
  Primero, si la cantidad de los datos es impar, la
  mediana es el valor que se encuentra en la
  posición (n1)2 donde, n es el número de datos.
  Por ejemplo, se tiene una muestra de tamaño 5 con
  los siguientes valores 46, 54, 42, 48 y 32.
  Veamos como se determina la mediana.

23
PASOS PARA CALCULAR LA MEDIANA

• Primer paso, ordenar los datos
• 32 42 46 48 54
• Como la cantidad de datos es impar
• (5 datos), la mediana es el valor del dato que
  se encuentra ubicado en la posición (51)23, la
  mediana es 46. Segundo, si la cantidad de datos
  es par, la mediana es el valor promedio de los
  datos que se encuentran en las posiciones (n2) y
  (n2) 1. Veamos el siguiente ejemplo

24
EJEMPLO

• Se ha obtenido una muestra con los valores de
  datos 27, 25, 27, 30, 20 y 26. cómo se
  determina la mediana en este caso?.
• Primer paso, ordenar los datos de forma
  ascendente
• 20 25 26 27 27 30
• Como el número de datos es par (6), la mediana
  es el promedio de los datos que se encuentran en
  las posiciones (62) 3 y (62) 1 4. por lo
  tanto la mediana es

26.5
25
LA MODA

• La moda es el dato que más se repite o el dato
  que ocurre con mayor frecuencia. En el ejemplo
  anterior la moda es el . Un grupo de datos
  puede tener más de una moda. Veamos el siguiente
  ejemplo se tiene una muestra con valores 20, 23,
  20, 24, 25, 25, 26 y 30. El 20 y 25 son la moda
  entonces, se dice que es bimodal.

27
26
PERCENTILES

• Un percentil nos provee información de como se
  distribuyen los valores de los datos desde el
  menor hasta el mayor. El percentil divide los
  datos en dos partes, más o menos el (p) por
  ciento de los datos tienen valores menores que
  el percentil y aproximadamente (100-p) por ciento
  de los datos tienen valores mayores que el
  percentil.

27
PASOS PARA CACULAR EL PERCENTIL

• Para calcular el percentil debe seguir los
• siguientes pasos
• Paso 1. Ordene los datos de manera
• ascendente.
• Paso 2. Calcule un índice (i)
• en donde (p) es el percentil de interés y (n)
  es el número de datos u obsevaciones.

28
COTINUACIÓN

• Paso 3.a) Si (i) no es entero, utilizando las
  reglas de redondeo, se lleva al próximo numero
  entero. El valor entero inmediato mayor que
  (i) indica la posición donde se
  encuentra el percentil. Esto significa
  que si (i) 3.5, el percentil se encuentra
  en la posición 4 de los datos.
• b) Si (i) es entero, el percentil es el
  promedio de los valores de los datos ubicados en
  los lugares
• i e (i 1). Veamos como se aplica

29
EJEMPLO

• Como ejemplo de este procedimiento, determina el
  percentil 75 de los datos sobre las edades del
  siguiente un grupo de ciudadanos 25, 20, 26, 21,
  19, 23, 22, 30, 28, 27.
• Paso 1. Ordene los datos en orden
  ascendente
• 19 20 21 22 23 25 26 27 28 30

30
EJEMPLO

• Paso 2. Calcule el índice (i)
• Paso 3. Como (i) no es entero, redondeamos al
  próximo entero mayor que 7.5, o sea, el
• lugar 8. Al referirnos a los datos del
  ejemplo, vemos que el percentil 75 es el valor
  del dato ubicado en la posición número 8, que en
  este caso es 27.
• 19 20 21 22 23 25 26 27 28 30
• Nota. Recuerda que (i) nos indica el lugar
  del dato donde se encuentra el percentil que
  estamos buscando.

31
CÓMO SE INTERPRETA EL PERCENTIL EN ESTE EJEMPLO?

• Significa que el 75 de las edades son menores de
  27 años y el 25 restante (100-p) es mayor de 27
  años.

32
CUARTILES

• Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes.
  Cada una de las partes representa una cuarta
  parte, o el 25 de las observaciones. Los
  cuartiles son percentiles específicos por
  consiguiente, los pasos para calcular los
  percentiles los podemos emplear para calcular los
  cuartiles.

33
CONTINUACIÓN

• Los cuartiles se definen de la siguiente manera
• Q1 primer cuartil, o percentil 25
• Q2 segundo cuartil, o percentil 50
• (también la mediana)
• Q3 tercer cuartil, o percentil 75

34
PASOS PARA CALCULAR LOS CUARTILES

• A continuación se presenta un conjunto de datos
  con los siguientes valores 10, 5, 12, 8, 14, 11,
  15, 20, 18, 30 y 25.
• Cómo identificamos los cuartiles en este
  ejemplo?
• Utilizarás los mismos pasos para identificar los
  percentiles
• Primero, ordenamos los datos
• 5 8 11 12 14 15 18 20 25 30
• Segundo, determinamos (i) para cada cuartil
• Q1 primer cuartil, o percentil 25
• Q2 segundo cuartil, o percentil 50
• (también la mediana)
• Q3 tercer cuartil, o percentil 75

35
CONTINUACIÓN

• Cuartiles
• Q1 primer cuartil, o percentil 25
• 2.5
• Como(i) no es un número entero, se redondea al
  próximo entero mayor que 2.5, o sea 3. Al
  referirnos a los datos vemos que el primer
  cuartil está ubicado en la posición 3 de los
  datos que este caso es 11. El primer cuartil en
  los datos se divide de la siguiente forma
• 5 8 11 12 14 15 18 20 25 30
• Q11

36
CONTINUACIÓN

• Segundo cuartil
• Q2 segundo cuartil, o percentil 50
• (también la mediana)
• 5
• Como (i) es un número entero, el segundo cuartil
  es el promedio de los valores de los datos que
  están en las posiciones i e (i1), que en este
  caso es, (1415)214.5, entonces, el segundo
  cuartil en los datos se divide así
• 5 8 11 12 14 15 18 20 25 30
• Q111 Q214.5

37
CONTINUACIÓN

• Tercer cuartil
• Q3 tercer cuartil, o percentil 75
• 7.5
• Como (i) no es un número entero, se redondea al
  próximo entero mayor que 7.5, o sea 8. Al
  referirnos a los datos , vemos que el tercer
  cuartil está ubicado en posición 8 de los datos
  que en este caso es el 20. Finalmente, los
  cuartiles en este caso se presentan de la
  siguiente forma
• 5 8 11 12 14 15 18 20 25 30
• Q111 Q214.5 Q320

38
EJERCICIOS DE PRÁTICA

• Resuelve los siguientes ejercicios
• Se ha obtenido una muestra del salario de los
  Bomberos del área sur de P.R. Los datos
  recopilados fueron los siguientes
• 1500 1400 1600 2100
• 1200 1300 1900 1800
• 2000 1200 1200 1500
• 2200 2300 1500 1400
• a. determine el salario promedio
• b. calcule la mediana y la moda.

39
CONTINUACIÓN

• c. Con los datos del ejercicio anterior
  
• conteste lo siguiente
• a. calcule el percentil 65.
• Explique el resultado.
• b. determine los cuartiles.

40
POSPRUEBA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

POSPRUEBA
41

POS-PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

• El propósito de la post-prueba es medir los
  conocimientos adquiridos sobre el contenido de
  los temas presentados en los módulos. Las
  instrucciones para contestarla son las mismas de
  la pre-prueba. La pos-prueba tiene un valor de 42
  puntos al igual que la pre-prueba. Compara las
  puntuaciones obtenidas en ambas pruebas. Esto te
  ayudará a identificar tus fortalezas y cuales son
  las áreas que necesitas mejorar con relación al
  contenido de los temas. Para contestar la
  posprueba usa las mismas instrucciones que
  aparecen en la preprueba.

42

PARTE I. SELECCIÓN MÚLTIPLE

• 1.Cuando calculamos los percentiles hay que
  identificar
• a. el punto medio
• b. un índice
• c. el cuartil
• d. el promedio
• 2. Es la medida de tendencia central que divide
  los
• datos por la misma mitad
• a. la desviación estándar
• b. la moda
• c. la mediana
• d. la media

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
43
CONTINUACIÓN

• 3. Se pueden usar los cuartiles para dividir los
  datos en cuatro partes, cada una de las cuales
  contiene
• a. un 75 de los datos
• b. un 50 de los datos
• c. un 100 de los datos
• d. un 25 de los datos
• 4. Cuando se suman todas las puntuaciones de una
  prueba y luego se divide el resultado por el
  número total de las puntuaciones, obtenemos la
• a. mediana
• b. media
• c. desviación estándar
• d. moda

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
44
CONTINUACIÓN

• 5. Es el valor de un dato que aparece con mayor
  frecuencia en un grupo de datos
• a. la moda
• b. la mediana
• c. la desviación estándar
• d. la media
• 6. Es una medida de localización que con
  frecuencia divide los datos en cuatro partes
• a. la desviación estándar
• b. percentiles
• c. varianza
• d. cuartiles

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
45
CONTINUACIÓN

• 7. Indique cual es la media en la siguiente
  distribución 10, 5, 15, 10, 20, 22, 9, 5, 15 y
  19
• a. 20
• b. 10
• c. 13
• d. 15
• 8. Cuál sería la medida más apropiada para
  describir el promedio de los datos siguientes?
  50, 60, 40, 30, 20, 10 y 15
• a. la media
• b. la mediana
• c. la desviación estándar
• d. la moda

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
46
CONTINUACIÓN

• 9. Indique cual es la mediana en la siguiente
  distribución 20, 15, 10, 5 y 12
• a. 5
• b. 10
• c. 12
• d. 15
• 10. Es uno de los requisitos para calcular la
  mediana
• a. ordenar los datos
• b. sumar los valores de los datos
• c. identificar el dato de mayor frecuencia
• d. buscar el promedio

Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
Correcta
Incorrecta
Incorrecta
Incorrecta
47
CONTESTACIONES DE LA POS-PRUEBA

• 1. B 6. D
• 2. C 7. A
• 3. D 8. B
• 4. B 9. C
• 5. A 10. D