CORRELACION Y REGRESION LINEAL: Introducci

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CORRELACION Y REGRESION LINEAL Introducción

• Mario Briones L.
• MV, MSc

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Correlación lineal de Pearson.

• Medida de la estrechez de la asociación entre dos
  variables cuantitativas.
• Asociación fluctuación en conjunto de dos
  variables

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Correlación lineal de Pearson

• Muchas veces en que se dispone de datos en pares,
  se desea conocer si ambas variables está
  relacionadas o son independientes

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Considere los siguientes datos

• Valores de pluviometría para once localidades a
  diferente altura sobre el nivel del mar

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Gráfico de la asociación
Promedio de Y 530 mts
Promedio de X 959.2 mts
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COVARIANZA Medida de la variación en conjunto de
dos variables
CONCEPTO
FORMULA DE CALCULO
Donde n es el número de pares de valores X Y
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En el ejemplo
Atención! La función COVAR de Excel divide por
n...
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Covarianza en el ejemplo

• Cov(XY) 13.079,41
• El signo positivo indica que valores por sobre el
  promedio de X tienden a estar asociados con
  valores por sobre el promedio de Y
• Valores negativos indican que valores por sobre
  el promedio de X tienden a estar asociados con
  valores por debajo del promedio de Y

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Estandarización de la medición

• Pearson, matemático Inglés, desarrolló un índice,
  que divide la covarianza por el producto de las
  desviaciones estándares de X y de Y

En la población En la
muestra
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Correlación lineal de Pearson

• El índice r, fluctúa entre 1 y 1
• Si la fluctuación en conjunto es estrecha, el
  valor de r se acerca a 1 o 1.
• Si la fluctuación en conjunto es baja, el valor
  de r se acerca a cero.

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Coeficiente de correlación de Pearson en el
ejemplo
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Es la correlación observada diferente de cero?
(H0??)
Nlt 30
Ngt 30
N es la cantidad de pares XY
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Es la correlación observada diferente de cero, en
el ejemplo?
En la tabla de t, con alfa 0.05 (dos colas) y 10
grados de libertad (n-1), el valor crítico es
2.22 Por lo tanto se puede rechazar H0
respecto del valor poblacional de rho Hay una
asociación significativa entre la altura sobre el
nivel del mar y la cantidad de precipitación (Plt0.
05) (en la población)
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Otra opción es comparar el valor de r
calculado con el valor de r de la
tabla adjunta. Si el valor de r calculado es
mayor que el r del número de grados de libertad
de la correlación (n-1)10 valor crítico 0.632
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Transformación de Fisher del coeficiente de
correlación
Z tiene distribución aproximadamente normal,
con media r y error estándar
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Transformación de Fisher en el ejemplo
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Intervalo de confianza del coeficiente de
correlación
Para obtener el intervalo de confianza en
unidades de correlación se transforman de modo
inverso usando el mismo método de r a z
En INTERNET http//faculty.vassar.edu/lowry/rho.h
tml?
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Intervalo de confianza en el ejemplo
Según la página de Internet, el intervalo
de confianza de 95 para r0.856 límite
inferior0.527 límite superior0.961
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Comparación de coeficientes de correlación
Se utilizan los coeficientes transformados
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Correlación entre las líneas eléctricas y el
cáncer

• Epidemiólogos del Instituto Karolinska de Suecia
  investigaron durante 25 años a 500.000 personas
  que vivían a menos de 300 metros de una línea
  eléctrica de alto voltaje.
• Observaron que los niños tenían mayor incidencia
  de leucemia.

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Correlación entre las líneas eléctricas y el
cáncer

• Los hallazgos descritos obligaron al gobierno
  sueco a considerar reglamentos que reducirían la
  construcción de casas cercanas a las líneas
  eléctricas de alto voltaje.

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Correlación entre las líneas eléctricas y el
cáncer

• En un artículo acerca del estudio, la revista
  Time informó que aunque las investigaciones no
  demuestran una relación de causa y efecto, sí
  indican una inequívoca correlación entre el grado
  de exposición y el riesgo de leucemia infantil.

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Errores comunes respecto a la correlación

• Se debe tener cuidado de evitar concluir que la
  correlación implica causalidad
• Variables ocultas
• No utilizar tasas o promedios
• Pérdida de variación entre individuos
• Supuesto de linearidad de la relación

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Correlación y regresión lineal

• Si existe una conexión biológica (o de otro tipo)
  entre las variables X e Y, entonces puede
  formularse un modelo lineal que represente esta
  asociación.
• El modelo se basa en la covarianza y en su forma
  más sencilla es una línea recta (Y a bX)

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Ejemplo Rendimiento promedio de plantas de soya
(gr/planta) obtenidos en respuesta a los niveles
indicados de exposición al ozono en la la fase de
crecimiento.
X
Y ozono (ppm)
rendimiento (gr/pl) 0.02 242
0.07 237 0.11 231 0.15 201
SXi 0.35 SYi 911 X 0.0875 Y
227.75 SX2i 0.0399 SY2i 208495
SXiYi 76.99
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MODELO

• Asumiendo una relación lineal entre el
  rendimiento y el nivel del ozono, el modelo
  establece que la media verdadera de la variable
  dependiente cambia a una tasa constante en la
  medida que la variable dependiente aumenta o
  disminuye.
• La relación funcional entre la media verdadera de
  Yi, E(Yi) y Xi es la ecuación de la línea recta

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MODELO

• Donde
• a intercepto (valor de E(Y)cuando X es igual a
  cero
• b pendiente de la línea (tasa de cambio de E(Y)
  ante un cambio unitario en X.

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SUPUESTOS

• Las observaciones de la variable dependiente Yi
  se asumen como observaciones aleatorias tomadas
  de poblaciones de variables aleatorias donde la
  media de cada población está dada por E(Yi).
• La desviación de una observación Yi desde la
  media de su población, E(Yi) se considera
  añadiendo un término de error aleatorio ei para
  dar el siguiente modelo

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SUPUESTOS

• El subíndice indica cada unidad de observación en
  particular, i 1, 2, n. Los Xi son las n ésimas
  observaciones de la variable dependiente, que se
  supone son tomadas sin error.
• Es decir, son constantes conocidas los Yi y los
  Xi son observaciones pareadas, tomadas en cada
  unidad observacional.

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(No Transcript)
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ESTIMACION DE MINIMOS CUADRADOS

• Los parámetros en el modelo son b y a, a ser
  estimados desde los datos (muestra). Si no
  existiese error aleatorio en Yi, cualquier par de
  puntos podría ser utilizado para resolver los
  valores de los parámetros.
• La variación aleatoria de Y, sin embargo, hace
  que cada par de valores de resultados diferentes
  (Todos los estimadores serían idénticos sólo si
  los datos observados cayeran exactamente sobre
  una línea recta.)

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ESTIMACION DE MINIMOS CUADRADOS

• Por lo tanto, el método de resolución debe
  combinar toda la información para dar una sola
  solución que sea la mejor en base a algún
  criterio.
• El procedimiento de estimación de mínimos
  cuadrados utiliza el criterio de que la solución
  debe dar la suma más pequeña posible para las
  desviaciones al cuadrado desde los valores
  observados de Yi hasta sus medias verdaderas
  dadas por la solución.

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ESTIMACION DE MINIMOS CUADRADOS

• Sean b y a los estimadores numéricos de los
  parámetros b y a, respectivamente, y sea
• el promedio estimado de Y para cada Xi, i 1,
  2,, n.
• Se debe observar que Yi es obtenida sustituyendo
  los parámetros en la forma funcional del modelo
  que relaciona E(Yi) con Xi, dado por la ecuación
  de la recta.

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El principio de los mínimos cuadrados escoge
valores de a y b que minimizan la suma de
cuadrados de los residuales, SC(Res) Dond
e es el valor residual
observado para la iésima observación. La suma
indicada por S es sobre todos los valores del
conjunto como lo indican los índices i 1 hasta
n Los estimadores de b y a se obtienen usando
cálculo para encontrar los valores que minimizan
SC(Res). Las derivadas de SC(Res) con respecto a
b y a son definidas iguales a cero.
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Las ecuaciones normales son n(a) (SXi)b
SYi (SXi)a (SX2i)b SXiYi Resolviendo las
ecuaciones simultáneamente para a y b, da
los estimadores para a y b S(Xi-X)(Yi-Y)
Sxiyi b
S(Xi-X)2 Sx2i a Y - bX
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Para facilidad de cálculo
(SXi)2 Sx2i SX2i - n
(SXi)(SYi) Sxiyi SXiYi -
n Lo que da la
siguiente fórmula de cálculo para la pendiente
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Cálculo de la pendiente (b)
X
Y ozono (ppm)
rendimiento (gr/pl) 0.02 242
0.07 237 0.11 231 0.15 201
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Cálculo de la constante (a)y ecuación
a 227.75 - (-293.531)(0.08875) 253.434
La ecuación de mínimo cuadrado que caracteriza el
efecto del ozono sobre el rendimiento promedio de
la soya en este estudio, asumiendo que el modelo
lineal es correcto es
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Ejemplo Biomasa
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Matriz de correlaciones del ejemplo
(obtenida con Herramientas para Análisis de
Excel, Correlación)
Valor crítico de r para alfa 0.05 y 43 grados de
libertad 0.3 appx
Las celdas en color contienen correlaciones
significativas Plt0.05)
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Relación significativa (Plt0.05) entre pH y
Biomasa
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Regresión lineal simple entre pH y biomasa
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Relación no significativa (P?0.05) entre
salinidad y biomasa.
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Relación significativa (Plt0.05) entre Zn y
Biomasa
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Análisis de regresión pH vs Biomasa
significancia
IC 95 para coeficientes
ecuación
significancia
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Gráfico de línea de regresión e intervalo de
confianza de 95 para la relación pH - biomasa
Observe que la pendiente no es cero, con un 95
de confianza
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Análisis de regresión salinidad vs biomasa
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Gráfico de línea de regresión e intervalo de
confianza de 95 para la relación salinidad -
biomasa
Observe que la pendiente puede ser igual a cero,
con un 95 de confianza