MODEL ANTRIAN (Waiting Lines)

1
MODEL ANTRIAN(Waiting Lines)

• Konsep Model Antrian
• Garis Tunggu/Antrian/Queues (Ada
  orang/barang/kertas yang kerja harus menunggu
  untuk mendapatkan jasa pelayanan).
• Fasilitas Pelayanan/Server (Biasanya relatif
  mahal sehingga tersedia dalam jumlah terbatas,
  karena berusaha menekan cost).
• Tujuan Model Antrian
• Meminimumkan dua biaya
• (1) Biaya Langsung dari penyedia
  Fasilitas/Produsen
• (2) Biaya Tidak Langsung, karena
  individu harus menunggu
• untuk dilayani.
• Model Antrian berusaha menciptakan suatu model
  antrian yang menguntungkan dari sisi penyedia
  pelayanan dan sekaligus mengurangi/menghilangkan
  antrian (waktu menunggu) bagi pihak yang
  dilayani/customer.

2
lanjutan

• 3. Macam Model Antrian
• Pembagian Terperinci a. Single Channel
  Single Phase
• b. Single Chanel Multiphase
• c. Multichannel Single Phase
• d. Multichannel - Multiphase
• Pembagian Lain a. Single Channel Model (M/M/1)
• b. Multiple Channel Model (M/M/S)
• Contoh Aplikasi
• Kasus 1.
• Manajer sebuah Restoran yang cukup sukses,
  akhir-akhir ini merasa prihatin dengan panjangnya
  antrian. Beberapa pelanggannya telah mengadu
  tentang waktu menunggu yang berlebihan, oleh
  karena itu manajer khawatir suatu saat akan
  kehilangan pelanggannya. Analisis dengan teori
  antrian diketahui, tingkat kedatangan rata-rata
  langganan selama periode puncak adalah 50 orang
  per jam (mengikuti distribusi Poisson). Sistem
  pelayanan satu per satu dengan waktu rata-rata 1
  orang 1 menit.

3
lanjutan

• Pertanyaan
• a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan restoran
  (p) ?
• b. Jumlah rata-rata dalam antrian (nq) ?
• c. Jumlah rata-rata dalam sistem (nt) ?
• d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian (tq) ?
• e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem (tt) ?
• Kasus 2.
• Sama dengan kasus 1, hanya dalam pelayanan di
  restoran dalam satu kali pelayanan bisa dilayani
  2 orang sekaligus (ada dua server/pelayanan).
• Pertanyaan, sama persis dengan pertanyaan di
  kasus 1.

4
lanjutan

• Penyelesaian Kasus Antrian 1 dg Manual
• Diketahui µ (miyu) 60 orang/jam
• ? (Lamda) 50 orang/jam
• a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan restoran
  (p) ?
• p ? / µ 50 / 60 0,8333 83,33
• b. Jumlah rata-rata dalam antrian (nq) ?
• ?2 50 2
• n q ----------------- -------------------
  - 4,1667 orang
• µ (µ - ? ) 60 (60-50)
• c. Jumlah rata-rata dalam sistem (nt) ?
• n t ? / (µ - ? ) 50 / (60-50) 5 orang

5
lanjutan

• d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian (tq) ?
• ? 50
• t q ----------------- -------------------
  - 0,0833 jam
• µ (µ - ? ) 60
  (60-50)
• 5 menit
• e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem (tt) ?
• t t 1 / (µ - ? ) 1 / ( 60 50) 0,1
  jam 6 menit

6
lanjutan

• Latihan Teori Antrian No. 1.
• Sebuah SPBU memiliki satu mesin pompa yang dapat
  melayani rata-rata 25 mobil / jam. Jika rata-rata
  kedatangan mobil per jamnya adalah adalah 20
  kendaraan mempunyai pola distribusi Poisson, maka
  hitunglah
• a.  Tingkat intensitas pelayanan pom bensin
  tersebut ?
• b.  Jumlah rata-rata kendaraan dalam antrian ?
• c.   Jumlah rata-rata kendaraan dalam sistem ?
• d.  Waktu rata-rata yang dibutuhkan kendaraan
  dalam antrian ?
• e.   Waktu rata-rata yang dibutuhkan kendaraan
  dalam sistem ? 
• Latihan Teori Antrian No. 2.
• Sama dengan kasus 1, hanya pola kedatangan
  kendaraan mempunyai pola distribusi deterministik
  (konstan).
• Pertanyaan, sama persis dengan pertanyaan di
  kasus 1.

7
TEORI PERMAINAN(GAME THEORY)

• Pengertian
• Suatu pendekatan matematis untuk merumuskan
  situasi persaingan dan konflik antar berbagai
  kepentingan.
• Teori yang digunakan untuk menganalisa proses
  pengambilan keputusan dari situasi-situasi
  persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua
  atau lebih kepentingan.
• Aplikasi Teori Permainan
• Manajer pemasaran bersaing merebutkan bagian
  pasar
• Manajemen terlibat dalam berbagai penawaran
  kolektif
• Tentara dalam memenangkan perang
• Pemain catur dalam strategi memenangkan
  permainan.
• Model Teori Permainan dapat diklasifikasikan dari
  
• Jumlah Pemain (2 pemain atau N pemain)
• Jumlah Keuntungan dan Kerugian (Zero Zum Game dan
  Non Zero Zum Game)
• Jumlah Strategi yang Digunakan dalam Permainan

8
lanjutan

• Contoh
• Teori permainan dengan jumlah pemain 2 (dua) dan
  tipe permainan dengan jumlah nol (Zero Zum Game
  atau jumlah keuntungan/ dan kerugian/- sama atau
  jumlah nol).
• Unsur-unsur dari teori permainan
• 1. Matrik Permainan/ Matrik Pay Off/Matrik
  Hasil Permainan.
• Menunjukkan hasil (bisa berupa efektivitas uang,
  market share, kegunaan) dari suatu permainan
  dengan berbagai strategi-strategi yang berbeda.
  Permainan dengan Dua pemain terdiri dari Pemain
  Baris (Maximize Player/Maximize Keuntungan) dan
  Pemain Kolom (Minimize Player/Minimize Kerugian).
• 2. Strategi Permainan dari masing-masing
  pemain (dua atau lebih)
• 3. Aturan Permainan (Bisa Memilih Strategi
  dan permainan berulang).
• 4. Nilai Permainan (Adil/fair apabila
  nilainya nol atau tidak ada pemain yang menang
  dan Tidak Adil/ Unfair apabila nilainya bukan
  nol).
• Strategi Dominan, apabila setiap pay off dalam
  strategi superior terhadap pay off/nilai hasil
  yang berhubungan dalam suatu alternatif. Aturan
  dominan bisa untuk menurunkan ukuran matrik.
• Strategi Optimal atau mencari posisi yang
  menguntungkan
• Identifikasi strategi dan rencana optimal dari
  setiap pemain.

9
lanjutan

• Kegunaan Konsep Teori Permainan
• Mengembangkan suatu kerangka untuk analisis
  pengambilan keputusan dalam situasi-situasi
  persaingan atau kerjasama.
• Menguraikan suatu metode kuantitatif yang
  sistematis yang memungkinkan para pemain yang
  terlibat dalam suatu persaingan untuk memilih
  strategi-strategi yang rasional dalam
  pencapaian tujuan mereka.
• Memberikan gambaran dan penjelasan phenomena
  situasi-situasi persaingan atau konflik seperti
  tawar menawar dan perumusan koalisi.
• KASUS PERMAINAN DUA PEMAIN JUMLAH NOL.
• Permainan model ini paling umum terjadi dalam
  dunia bisnis, di mana ada dua orang, dua kelompok
  atau dua organisasi yang saling berhadapan dan
  mempunyai kepentingan yang bersamaan. Permainan
  disebut Zero Zum Game atau jumlah nol karena
  keuntungan (kerugian) dari satu pemain adalah
  kerugian (keuntungan) dari pemain
  lainnya/lawannya.

10
lanjutan

• Permainan tipe ini dikenal ada dua strategi
  yaitu Permainan Strategi Murni/Strategi Tunggal
  (Pure Strategy Game) dan Permainan Strategi
  Campuran (Mixed Strategy Game).
• Untuk strategi murni, pemain baris (Maximizing
  Player atau pemain yang berusaha memaksimumkan
  keuntungan) akan mengidentifikasikan strategi
  optimalnya melalui kriteria Maksimin (Maximin)
  yaitu mencari nilai minimum-minimum baris dan
  dari nilai minimum-minimum baris kemudian dicari
  nilai maksimumnya.
• Pemain kolom (Minimizing Player atau pemain yang
  berusaha meminimumkan kerugian) akan menggunakan
  strategi optimalnya melalui kriteria Minimaks
  (Minimax), yaitu akan mencari nilai
  maksimum-maksimum kolom, dan dari nilai
  maksimum-maksimum kolom kemudian dicari nilai
  minimumnya.
• Apabila hasil dari penerapan kriteria Maximin
  (dari pemain baris) dan penerapan kriteria
  Minimax (dari pemain kolom), menghasilkan nilai
  yang sama, berarti permaian berakhir atau titik
  equlibrium telah tercapai dan titik ini disebut
  sebagai Titik Pelana/Saddle Point.

11
lanjutan

• Contoh 1
• Diketahui Matrik Pay Off/Hasil Permainan dari 2
  pemain, dengan Zero Zum Game. Pemain A dengan 2
  strategi A1 dan A2 dan Pemain B dengan 3 strategi
  B1, B2 dan B3. Penyelesaian Permainan dengan
  Strategi Murni, sebagai berikut

P E M A I N B MINIMUM
B1 B2 B3 BARIS
PEMAIN A1 2 9 3 2
A A2 7 8 4 4 (MAKSIMIN)
MAKSIMUM KOLOM 7 9 4 (MINI MAKS)
12
lanjutan

• Contoh 2
• Diketahui Matrik Pay Off/Hasil Permainan dari 2
  pemain, dengan Zero Zum Game. Pemain A dengan 3
  strategi A1, A2 dan A3 dan Pemain B dengan 3
  strategi B1, B2 dan B3. Penyelesaian Permainan
  dengan Strategi Murni, sebagai berikut

P E M A I N B MINIMUM
B1 B2 B3 BARIS
PEMAIN A1 2 9 3 2
A A2 A3 7 3 8 6 4 8 4 (MAKSIMIN) 3
MAKSIMUM KOLOM 7 (MINI MAKS) 9 8
13
lanjutan

• Dari Contoh 2 diketahui bahwa nilai Maksimin
  (dalam kasus ini 4) tidak sama dengan nilai
  Minimaks (dalam kasus ini 7), berarti Strategi
  Murni tidak dapat diterapkan dan permainan belum
  berakhir karena belum ditemukan titik pelana.
  Oleh karena itu kita perlu menerapkan Strategi
  Campuran, dengan menerapkan terlebih dulu aturan
  Dominan (bertujuan untuk mengurang ukuran
  Matrik). Dari Tabel pada contoh 2 diketahui bahwa
  Strategi B2 didominasi oleh B1, sehingga B2 bisa
  dihilangkan dari Matrik. Setelah kolom B2
  dihilangkan diketahui juga bahwa Strategi A1
  didominasi oleh Strategi A2 maupun A3, maka
  Strategi A1 dapat dihilangkan dari tabel.
• Dengan Aturan dominan sebenarnya kita telah
  dapat mengurangi ukuran Matrik dari 3 x 3 menjadi
  Matrik 2 x 2. Matrik Permainan yang baru menjadi
  Matrik ukuran 2 x 2 sering disebut sebagai
  Reduced Game Matrix, seperti dalam Tabel berikut
  

14
lanjutan

• Tabel Reduced Game Matrix
• Dari Tabel di atas, diketahui bahwa nilai
  Maksimin (4) tidak sama dengan nilai minimaks (7)
  atau tidak ada titik pelana, maka permainan belum
  selesai. Kasus ini dipecahkan dengan Strategi
  Campuran, tetapi tidak lagi digunakan aturan
  Dominan, melainkan dapat dilakukan dengan Metode
  Grafik atau Metode Analitis, atau Metode Aljabar
  Matrik atau Metode Linier Programming.
• Contoh kasus di atas jika digunakan metode
  analitis sbb

PEMA I N B MINIMUM
B1 B3 BARIS
PEMAIN A A2 7 4 4 (MAKSIMIN)
A3 3 8 3
MAKSIMUM KOLOM 7 (MINI MAKS) 8
15
lanjutan

• Penyelesaian
• Untuk Pemain A, anggap menggunakan Strategi A2
  dengan probabilitas p, maka untuk Strategi A3
  probabilitasnya 1 p. Sedangkan untuk Pemain B,
  anggap menggunakan Strategi B1, maka keuntungan
  yang diharapkan A adalah 7p 3 (1 p) atau 7p
  3 3p 3 4p.
• Bila Pemain B menggunakan Strategi B3, maka
  keuntungan yang diharapkan A adalah 4p 8 (1-p)
  atau 4p 8 8p 8 4p.
• Strategi Optimal Pemain A didapatkan dengan
  menyamakan kedua pay off/hasil yang diharapkan
  dari dua kemungkinan strategi yang diterapkan B,
  yaitu
• 3 4p 8 4p, atau 8p 5, p 5/8 0,625.
  Ini artinya Pemain A harus menggunakan Strategi
  A2 sebesar 62,5 dan menggunakan Strategi A3
  sebesar 37,5.
• Keuntungan yang diharapkan oleh Pemain A sebesar
  7 (0,625) 3 (0,375) 4,375 1,125 5,500.

16
lanjutan

• Penyelesaian
• Untuk Pemain B, anggap menggunakan Strategi B1
  dengan probabilitas q, maka untuk Strategi B3
  probabilitasnya 1 q. Jika Pemain A, anggap
  menggunakan Strategi A2, maka kerugian yang
  diharapkan B adalah 7q 4 (1 q) atau 7q 4
  4q 4 3q.
• Bila Pemain A menggunakan Strategi A3, maka
  kerugian yang diharapkan B adalah 3q 8 (1-q)
  atau 3q 8 8q 8 5q.
• Strategi Optimal Pemain B didapatkan dengan
  menyamakan kedua pay off/hasil yang diharapkan
  dari dua kemungkinan strategi yang diterapkan A,
  yaitu
• 4 3q 8 5q, atau 8q 4, q 4/8 0,5. Ini
  artinya Pemain B harus menggunakan Strategi B1
  sebesar 50 dan menggunakan Strategi B3 sebesar
  50.
• Kerugian yang diharapkan oleh Pemain B sebesar 7
  (0,5) 4(0,5) 3,5 2 5,500.
• Dari kedua analisis di atas, dapat disimpulkan
  bahwa dengan strategi campuran dapat dicapai
  titik equlibrium yaitu 5,5.
• Catatan Penyelesaian bisa menggunakan QM for
  Windows