Analyse Spectrale de Fourier

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Analyse Spectrale de Fourier

• - définition de la densité spectrale de puissance
• - erreurs aléatoires propriétés des estimateurs
• - effet de biais
• - effet des fenêtres fuites
• - les Unités

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Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de
puissance définition

• x(n)  signal  aléatoire, stationnaire
  (ergodique)
• n -?,?
• ?T1
• 2 formulations équivalentes
• transformée de Fourier de la Fonction
  d autocorrélation
• moyenne (d ensemble) du module carré de la T de
  Fourier

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Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de
puissance estimateur

• x(n)  signal  aléatoire, stationnaire
  (ergodique)
• n -1,N, nombre de points fini
• ?T1
• 2 estimateurs (équivalents quand Ngtgtgt?)
• corrélogramme
• périodogramme

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Analyse Spectrale de Fourierestimateur du
périodogramme

• On utilise l estimateur du périodogramme
  calcul avec la FFT.
• Propriétés de l estimateur
• biais ?E Sxx/per(k) Sxx(k) quand Ngtgt??
• sans biais asymtotiquement
• variance ? ESxx/per(k)- ?² ? S²xx/per(m)
• la variance est très importante !!

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Analyse Spectrale de Fourierestimateur du
périodogramme
Bruit blanc filtré passe-bas superposition de 20
FFT² calculées sur des tranches de 256 points
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Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme
Moyenné contrôle de la variance(1)

• D où l idée de moyenner l estimateur du
  périodogramme sur plusieurs  tranches  du
  signal. (Moyenne d ensemble) -WELCH-

N points par tranche
M
1
2
m
SM
S1
S2
Sm
(? Sm)/M
S
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Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme
effet du moyennage
Bruit blanc filtré passe-bas moyenne de 2 FFT²
calculées
Moyennage de 20 FFT²
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Analyse Spectrale de Fourierpropriétés du
périodogramme moyenné

• Le moyennage permet de diminuer la variance. Le
  biais ne change pas puisqu il ne dépend que de N
  (longueur chaque tranche).
• Propriétés de l estimateur
• biais ?E Sxx/per/moy(k) Sxx(k) quand
  Ngtgt??
• sans biais asymtotiquement
• variance ESxx/per/moy(k)- ?² ? S²xx(k)/M
• la variance diminue en 1/M !!
• Écart-type ?S(k)/?M
• ps les résultats sont obtenus en supposant une
  distribution gaussienne ainsi qu une
  indépendance des tranches.

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Analyse Spectrale de FourierPériodogramme
Moyenné par recouvrement

• il faut augmenter M pour diminuer la variance
• le TEMPS d ANALYSE Tmax gtN.M.?T peut être
  prohibitif

N points par tranche
1
2
m
M
S1
S2
Sm
SM
(? Sm)/M
S
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Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme
moyenné recouvrement(2)

• Une méthode pour diminuer Tmax . On fait
  recouvrir les tranches . Mais Les tranches ne
  sont plus  indépendantes 
• la variance décroît moins vite avec N
• les fenêtres contribuent à rendre  
  indépendantes  les tranches

Fenêtre rectangulaire
Fenêtre type Hanning
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Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme
contrôle du biais

• Estimateur asymtotiquement non biaisé
• il faut augmenter N (c est-à-dire augmenter la
  résolution fréquentielle) pour diminuer le biais
• ?si ?f 1/N?T trop grand
• sous estimation des maximum (pics)
• sur-estimation des minimum
• en général ?T fixé par l analyse ? N?
• une régle pratique pour un  pic  de largeur
  ?f0
• il faut choisir N tel que ?f 1/N?T lt ?f0/4
• pour un système à 1ddl avec amortissement
  visqueux .
• ?f02 fr ?r fr f résonance ?r amortissement
  réduit

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Analyse Spectrale de Fouriereffet des fenêtres
exemple

• Démo  fuites  (voir DFT)
• 1 sinusoïde dont la fréquence correspond à une
  raie FFT
• 1 sinusoïde dont la fréquence se situe entre 2
  raies
• - comparaison des fenêtres de Hanning et
  rectangulaire
• l effet des raies latérales dues à une fenêtre
  font augmenter la puissance .
• Ceci est corrigé en divisant par  la puissance
  équivalente de la fenêtre . Voir tableau
  chapitre  DFT . La correction est faite sur les
  analyseurs.

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Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros
zeros padding

• Objectifs
• augmenter la taille de la tranche pour avoir N
  puissance de 2
• augmenter la résolution ???
• Intérêts les transitoires, signaux courts
• résultats
• interpolation entre les points DFT calculés sans
  l ajout de zéros
• la fonction d interpolation est liée à la
  fenêtre de pondération l

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Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros
exemple

• démo fouzéros

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Analyse Spectrale de FourierUnités signaux
continus

• Signaux périodiques
• Signaux non-périodiques

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Analyse Spectrale de FourierUnités signaux
discrets

• Discret
• T ? N.?T
• dt ? ?T
• df ? ? f1/N ?T
• ? ? ?
• l ENERGIE totale T N.?T
• V².sec
• or à cause de la division par N dans la DFT
  inverse, Parseval s écrit
• rem on introduit un facteur 2 pour tenir compte
  des fréquences négatives

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Analyse Spectrale de FourierUnités résumé

• x( ) en Volts
• Puissance DS Puissance Energie DS Energie
• V² V²/Hz V².sec V².sec/HzV².sec²
• amplitude
• V V/?Hz V. ? sec V.sec

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Analyse Spectrale de FourierUnités signaux
discrets, exemple