UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del An

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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de
Fundamentos del Análisis Económico I

• Microeconomía Superior I
• Tema 7
• Rafael Salas
• diciembre de 2004

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Extensiones del modelo básico...

• Problemas de agregación
• restricciones en la estructura de preferencias
  para la consistencia sobre consumidores
• Modelización de problemas económicos específicos
• oferta de trabajo
• ahorro
• Nuevos conceptos
• incertidumbre
• La incertidumbre expande la teoría del consumidor
  de forma interesante

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Esquema...
Consumo incertidumbre
Modelización de la incertidumbre
Axiomas
Utilidad esperada
Prima de riesgo
4
Incertidumbre

• Nuevos conceptos
• Nuevos axiomas sobre el consumidor
• Nuevas restricciones sobre la estructura de las
  functiones de utilidad

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Conceptos
Ejemplo Si existe incertidumbre sobre quién
gobernará en USA en los próximos cuatro años.
Tenemos unos estados de la naturaleza
como WRep, Dem o quizás como WRep, Dem,
Ind

• w Î W

• Estados de la naturaleza

• pw Î P pw?w pw1

• probabilidades

Un vector de consumo sobre el espacio W

• consumo contingente

• xw w Î W

Otro ejemplo Si existe incertidumbre sobre el
tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza
como Wsol, lluvia o quizás como Wsol,
nublado, lluvia, niebla, nieve...

• antes de la realización

• ex ante

• después de la realización

• ex post

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Distinción ex-ante/ex-post

• La línea del tiempo

• En el momento de la verdad

• La visión ex-ante

• La visión ex-post

Las decisiones se realizan aquí
tiempo
Momento en el que se revela el estado de la
naturaleza
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Un enfoque simplificado...

• El espacio de estados es finito
• Se simplifica si los planes de consumos son
  escalares
• El consumo en el estado w es xw (un número real
  consumos o resultados que se obtienen en el
  estado w)
• Un caso especial
• Tomamos el número de estados2
• W ROJO,AZUL
• Representación gráfica...

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Espacio de los estados W2

• El espacio de consumo bajo incertidumbre 2
  estados

xAZUL

• Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados

Consumos con certidumbre perfecta

• Los componentes de un plan de consumo contingente
  en el caso de 2 estados

• Y0

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xROJO
O
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Qué podemos decir sobre las preferencias?

• Hemos expandido el espacio de bienes
• Son bienes contingentes al estado
• Estados finitos
• Si hay un número N de estados posibles
  entonces...
• ...en vez de n bienes tenemos n ? N bienes
• La teoría del consumo se puede aplicar
  automáticamente
• Axiomas estandar sobre las preferencias
  apropiados son necesarios
• Pero requieren una reintrepretación

veamos
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Axiomas sobre preferencias

• Completitud
• Transitividad
• Continuidad
• Monotonía
• Dominancia estocásica
• Convexidad (estricta)
• Diferenciabilidad
• Independencia

Para asegurar la existencia de curvas de
indiferencias y la función de utilidad
Para dar forma a las curvas de indiferencia y a
la función de utilidad
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Preferencias
Se establecen sobre

• xw w Î W

• consumo contingente

• pw Î P

• y sus probabilidades

Si w 1,2 entonces se establecen sobre
(x1,x2p1,p2)
En lo que sigue xw es un número real es como si
fuera una elección sobre loterías
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Completitud
Dados cualesquiera (x1,x2p1,p2) y
(x1,x2p1,p2). Entonces
Dados cualesquiera (x1,x2p1,p2) y
(x1,x2p1,p2). Entonces

• (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2)
• ó (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2)
• ó (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2)

• ?xw, xw w Î W

• ?pw , pw Î P

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Transitividad
Dados (x1,x2p1,p2), (x1,x2p1,p2) y
(x1,x2p1,p2).

• si (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2)
• y (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2)
• Entonces (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2)

• ?xw, xw , xw w Î W

• ?pw , pw , pw Î P

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Continuidad implicaciones

• Preferencias no cotínuas

xAZUL

• Imponemos continuidad

• Un plan de consumo contingente Y0

• Buscamos el punto E dada la continuidad

• La renta x se conoce como el equivalente de
  certeza de Y0

no huecos

• E

• Y0

xROJO
O
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Monotonía (débil)
Dados cualesquiera (x1,x2p1,p2) y
(x1,x2p1,p2). Con x1gt x1 y x2 ? x2 .
Entonces

• (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2)

• ?xw , xw w Î W

• ?pw Î P

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Monotonía

• El plan de consumo contingente Y1 es preferido
  a Y0

xAZUL

• Y1

• Y0

xROJO
O
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Monotonía (estricta)
Dados cualesquiera (x1,x2p1,p2) y
(x1,x2p1,p2). Con x1gt x1 y x2 ? x2 .
Entonces

• (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2)

• ?xw , xw w Î W

• ?pw Î P

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Dominancia estocástica
Dados cualesquiera (x1,x2p1,p2) y
(x1,x2p1,p2). Si x1gtx2 y si p1gtp1 y p2 ? p2
. Entonces

• (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2)

• ?xw w Î W

• ?pw, pw Î P

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Dominancia estocástica ejemplo

• (100,10 0.7,0.3) ? (100,10 0.5,0.5)

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Convexidad (estricta)
Dados dos arbitrarios (x1,x2p1,p2) ?
(x1,x2p1,p2). Para todo (x1, x2) (t
x1(1-t) x1, t x2(1-t) x2)

• (x1,x2p1,p2) ? (x1,x2p1,p2) ?
  (x1,x2p1,p2)

• ?xw, xw w Î W

• ?pwÎ P

• ?tÎ (0,1)

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Convexidad

• Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 yY1

xAZUL

• Puntos en el interior de la línea Y0Y1 como Y2
  representa una combinación de Y0 y Y1

• Y1

• Y2 representa un menor riesgo
• Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido
  estrictamente a Y0

• Y2

• Y0

xROJO
O
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Independencia
La utilidad sobre una lotería compuesta depende
sólo de las probabilidades netas sobre los
resultados últimos.
Dada una lotería L (x1, Lp1,p2), donde L
(x1,x2p1,p2). Entonces (x1, Lp1,p2) ?
(x1,x2 p1p2p1, p2p2).

• ?xw w Î W

• ?pwÎ P

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Independencia ejemplo

• Dada (100,L0.5,0.5) donde L (100,500.5,0.5)

• Es indiferente a (100,500.75,0.25)

• Implica estructura lineal y aditiva en
  probabilidades

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Un resultado clave

• Dados los axiomas anteriores
• ...las preferencias tienen que pertenecer a la
  clase de la utilidad esperada de von
  Neumann-Morgenstern
• UE(xw, pw) å pw u(xw)
• w ÎW

• donde u(xw) es una función cuasi-cóncava,
  independiente del estado w

• Herstein y Milnorm (1953), Econometrica

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Implicaciones de la función de utilidad esperada
de vNM

• Una típica C.I.

• Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º?

xAZUL

• Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de
  45º

xROJO
O
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Implicaciones de la función de utilidad esperada
de vNM(2)

• Dado un consumo contingente

xAZUL

• Resultado (renta) media

• Prolongamos la línea desde Y0 a Y hasta Y1

• Y1

• Y

• Por convexidad de las preferencias UE(Y) ?
  UE(Y0)

• Y0

un resultado útil
xROJO
O
Ex
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La prima de riesgo...

• De nuevo trazamos la línea desde el consumo
  contingente A...

• La pendiente es el ratio de probabilidades

• Y corta a la diagonal en...

• ...la renta media

• Nos sirve para definir...

• M

• La prima de riesgo

• E

• A

PR Ex - x la cantidad que estamos dispuesto a
sacrificar para eliminar el riesgo
Ex
x
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La prima de riesgo de nuevo

• dada la utilidad de dos resultados posibles

• El resultado esperado y la utilidad del
  resultado esperado

u

• La utilidad esperada y el equivalente de certeza

u(x)
u(x2)

• La prima de riesgo de nuevo

u(Ex)
Eu(x )
la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar
para eliminar el riesgo
u( x1 )
x
x1
x
x2
Ex
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La prima de riesgo depende de...

• La curvatura de la función de utilidad (aversión
  al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado p

• Una aproximación de PR

• El primer término es el coefficiente de
  Arrow-Pratt de aversión al riesgo

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Práctica

• (1) Un consumidor posee una casa valorada en 25
  millones de u.m.. La probabilidad de que ésta sea
  totalmente destruida por un incendio (en cuyo
  caso perdería todo su valor) es de 0,01.
• (a) Si las preferencias están representadas por
  la función de urilidad esperada u(x)x1/2, donde
  x es la riqueza del consumidor al final del año,
  aceptaría el consumidor asegurar completamente
  la casa por 300.000 u.m.?
• (b) Suponiendo que el riesgo del incendio es el
  mismo para todos los consumidores,sería ésta una
  cuota de seguro aceptable para una compañía de
  seguros? (suponga que la compañía es neutral con
  respecto al riesgo).Cuál es la cuota máxima de
  seguro que está dispuesto a pagar el
  consumidor?y la cuota mínima que está dispuesto
  a ofrecer la compañía?qué relación hay entre
  estas cuotas, el equivalente de certeza y la
  prima de riesgo de la lotería que representa la
  propiedad de la casa sin seguro?

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Práctica
(2) Un individuo tiene unas preferencias por la
función de utilidad esperada u(x) x1/2, donde x
es su riqueza. Se le ofrece una lotería
L(4,90.2,0.8), donde las ganancias están
expresadas en millones de u.m.. Determine el
equivalente de certeza y la prima de riesgo para
ese individuo si su riqueza inicial es 0
millones, 50 millones y 100 millones de u.m.Y si
su función de utilidad esperada fuera u(x)ln x?
Compara y comenta los resultados. Cuál es la
relación entre la riqueza y el grado de aversión
al riesgo?
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Práctica
(3) El propietario de un comercio valorado en 64
millones de ptas. Se enfrenta a la probabilidad
del 1 de que en un año cualquiera un incendio
destruya totalmente el local. Las preferencias
del individuo vienen dadas por la función de
utilidad U(X)X1/2, donde X es la riqueza al
final del año. (a)Calcula la utilidad esperada
del individuo y el equivalente de certeza.
Estaría dispuesto a vender el comercio por 60
millones de ptas.? Y por 63 millones? (b)Una
compañía de seguros ofrece una póliza anual que
cubre todo el riesgo a una cuota de 1 millón de
ptas. Aceptaría la oferta? (c)Considera ahora
que el individuo dispone, además del comercio, de
1 millón de ptas. en efectivo. Una empresa le
ofrece un equipo de prevención de incendios que
reduciría al 0,5 la probabilidad del incendio.
Determine si estaría dispuesto a pagar 50.000
ptas. por el alquiler. Cuál es la cantidad
máxima que el individuo está dispuesto a pagar
por el alquiler de dicho equipo?
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Práctica

• (4) En el mercado de seguros de accidentes de
  automóviles hay dos clases de conductores, los
  buenos conductores (que causan un accidente al
  año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con
  probabilidad 0,9) y los malos conductores (que
  causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún
  accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de
  reparación de vehículos involucrados en los
  accidentes (en media) es de 200.000 ptas. La
  proporción de buenos y malos conductores es de 2
  a 1. La utilidad de los conductores, que
  maximizan la utilidad esperada, es igual a
  U(W)W1/2 y sus riquezas iniciales son de
  500.000 ptas.
• (a)Calcula la cuota mínima que las compañías de
  seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo
  que son neutrales con respecto al riesgo y que no
  pueden distinguir entre los dos tipos de
  conductores.
• (b)Qué tipo de conductores subscribiría una
  póliza de seguros a la cuota del apartado
  (a)?Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo
  de conductor está dispuesto a pagar? Represente
  los árboles de decisión.
• (c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo,
  suponiendo que las compañías ofrecen seguros a
  las cuotas mínimas (y no hay gastos
  administrativos ni otros gastos extras) y conocen
  qué tipo de conductores contratan las pólizas,
  aunque no puedan distinguir entre los dos tipos
  de conductores. Qué tipo de conductores
  contratarán pólizas en equilibrio?

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Práctica
(5) Un consumidor se plantea invertir toda su
riqueza W100 en cada uno de los dos activos
disponibles. Uno de renta fija, que proporciona
un rendimiento seguro del 10. El otro, de renta
variable, proporciona un rendimiento del 20 con
una probabilidad del 50 y un rendimiento del 5
con una probabilidad del 50. El consumidor
maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad
de la riqueza al final del periodo igual a
U(W)W1/3. (a) determine en qué activo invertirá
toda su riqueza. Cuál es el equivalente de
certeza y la prima de riesgo de la inversión en
el activo de renta variable? (b) le beneficiaría
invertir la mitad de su riqueza en cada activo.
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