Experimentos com Um Fator: A An

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Universidade Tecnológica Federal do
Paraná Mestrado Profissional em Tecnologia de
Alimentos Análise Estatística de
Experimentos Profª Sheila Regina Oro
EXPERIMENTOS FATORIAIS
Francisco Beltrão Agosto, 2013
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Experimentos Fatoriais

• Projeto experimental em que os ensaios são
  realizados de forma proposital e com causas
  controladas (fatores).
• É necessário o controle das causas para que as
  respostas obtidas nos ensaios sejam devidas
  somente aos efeitos dos tratamentos realizados e
  não a outras causas.
• O pesquisador deve considerar a presença de
  efeitos não controláveis (variação ao acaso).

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3
Experimentos Fatoriais

• Cada nível de um fator é ensaiado com todos os
  níveis dos outros fatores, para testar
  principalmente se há diferença no valor esperado
  da resposta entre os níveis de cada fator e se
  há interação entre os fatores.
• Fator variável independente
• Ex. solventes, aditivos, temperatura
• Níveis
• Ex. ausência ou presença -1, controle, 1
  50ºC , 75ºC , 100ºC

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4
Exemplo 1 Solventes

• Um pesquisador está interessado em estudar a
  extração de pigmentos naturais, com aplicação
  como corante em alimentos. Numa primeira etapa
  tem-se a necessidade de escolher o melhor
  solvente extrator dentre os seguintes E50, EAW,
  MAW, E70, M1M. A escolha do(s) melhor(es)
  solventes foi realizada através da medida da
  absorbância de um pigmento natural do fruto de
  baguaçú.

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5
Exemplo 1 Solventes

• Fator solvente
• Níveis 5 (E50, EAW, MAW, E70, M1M)
• Repetições 5
• Tratamentos 5
• Ensaios 25 (Repetições x Tratamentos)
• Unidade experimental 10 gramas de polpa
• Casualização a partir de 1kg de polpa, foram
  retiradas as amostras de 10g para a aplicação dos
  tratamentos, numa ordem aleatória.

5
6
ANOVA 1 Fator
6
7
Modelo 1 Fator
Efeito de cada nível
Média geral
Erro
Resposta nível i repetição j
Suposições 1) os erros aleatórios são
independentes 2) os erros aleatórios são
normalmente distribuídos 3) os erros aleatórios
tem média 0 (zero) e variância ?2 4) a
variância, ?2, deve ser constante para todos os
níveis do fator. 5) as observações são
adequadamente descritas pelo modelo
8
1 Fator Efeito Fixo

• Níveis do fator selecionados pelo pesquisador
• Hipóteses
• H0 ?1 ?2... ?a
• H1 ?i ? ?j para pelo menos um par (i,j)

1-3.1 Decomposição da soma de quadrados total
Corrigida para a média
8
SSTotal SSTratamentos SSErro
9
1 Fator Efeito Fixo
Decomposição da soma de quadrados total
SSTotal SSTratamentos
SSErro
9
10
1 Fator Efeito Fixo
Variância do tratamento i
Variância combinada dos a tratamentos
10
10
10
10
11
1 Fator Efeito Fixo
Variância entre tratamentos
Graus de liberdade
SSTotal an-1 SSTratamentos a-1 SSerro
a(n-1)
11
11
11
11
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1 Fator Efeito Fixo
Quadrados médios
Esperança dos quadrados médios
12
13
1 Fator Efeito Fixo
Teste
Análise Estatística

• Critério para rejeição de H0
• F0 gt F?,a-1,N-a
• valor p lt 5
• valor-p probabilidade de rejeitar a hipótese
  nula devido a variações aleatórias.

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14
1 Fator Efeito Fixo
Valor p
N an
14
15
1 Fator Efeito Fixo
Teste de Tukey
dms diferença mínima significativa qa r
gl_erro valor tabelado QMerro quadrado médio do
resíduo (ANOVA) r número de repetições de cada
tratamento
16
Exemplo 1 Solventes
Tabela 1.1 Dados de absorbância de cada um dos
solventes
E50 EAW MAW E70 M1M
0,5553 0,5436 0,4748 0,6286 0,1651
0,5623 0,5660 0,4321 0,6143 0,1840
0,5585 0,5860 0,4309 0,5826 0,2144
0,5096 0,5731 0,5010 0,7498 0,2249
0,5110 0,5656 0,4094 0,6060 0,1954
16
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Exemplo 1 Solventes

• Há suspeita de que o tipo de solvente esteja
  afetando a absorbância.
• Distribuições assimétricas.
• Valor discrepante observado para o solvente E70.

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Exemplo 1 Solventes

• Minitab
• Stat Basic Statistics Display Descriptive
  Statistics

Total Variable Count Mean
StDev CoefVar Minimum Median Maximum
Range E50 5 0,5393 0,0266
4,94 0,5096 0,5553 0,5623 0,0527 EAW 5 0,5669 0,0
154 2,72 0,5436 0,5660 0,5860 0,0424 MAW 5 0,449
6 0,0372 8,28 0,4094 0,4321 0,5010 0,0916 E70 5
0,6363 0,0656 10,31 0,5826 0,6143 0,7498 0,1672 M
1M 5 0,1968 0,0238 12,11 0,1651 0,1954 0,2249 0,05
98
18
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Exemplo 1 Solventes

• Minitab
• Stat ANOVA One-Way (Unstacked) Comparisons
  Tukeys
• O teste da ANOVA confirma que o tipo de solvente
  afeta a absorbância.
• F5420 2,87
• Valor-p lt 5
• 95,29 da variância total é explicada pela reta
  obtida do modelo de regressão linear

Fonte de Variação Graus de liberdade Soma de Quadrados Quadrados Médios F Valor-p
Solvente 4 0,583024 0,145756 101,11 0,0000
Erro 20 0,028832 0,001442
Total 24 0,611856
CV 7,95 R² 95,29
19
20
Exemplo 1 Solventes
Solvente Média Grupos Homogêneos
M1M 0,19676 a
MAW 0,44964 b
E50 0,53934 c
EAW 0,56686 c d
E70 0,63626 d

• O teste de Tukey apontou que os solventes que não
  diferem entre si quanto aos valores esperados de
  absorbância são
• E50 e EAW
• E70 e EAW
• Todos os demais diferem significativamente entre
  si.
• A diferença mínima significativa (dms) calculada
  foi de 0,0718783.

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21
1 Fator Efeito Fixo
Qual teste de comparações múltiplas usar?
O LSD é eficiente para detectar diferenças
verdadeiras nas médias se ele for aplicado apenas
depois do teste F da ANOVA, se significativo a
5. Idem para o Duncan. Estes métodos não contém
o erro tipo I (erro geral ou experimentwise
error). Como o teste de Tukey controla este erro,
ele é o preferido pelos estatísticos. Se a
comparação for com um grupo controle, utiliza-se
Dunnett.
21
22
1 Fator Efeito Fixo
Estimação dos parâmetros do modelo
Estimativas da média geral e dos efeitos dos
tratamentos
Estimativa pontual de ?i dado ?i ? ?i, temos
22
23
1 Fator Efeito Fixo
Um intervalo de confiança para ?i é dado por
Intervalo de confiança para a diferença entre
quaisquer duas médias ?i-?j
23
24
Exemplo 1 Solventes
Estimativas da média geral e dos efeitos dos
tratamentos
24
25
Exemplo 1 Solventes
Um intervalo de confiança para ?4 é dado por
Intervalo de confiança para a diferença entre as
médias ?3 e ?4
25
26
1 Fator Efeito Fixo
Dados desbalanceados O número de observações
dentro de cada tratamento é diferente.
26
27
1 Fator Efeito Fixo
Diagnóstico do Modelo
Verificar se as pressuposições básicas do modelo
são válidas fazendo a análise de resíduos.
Define-se o resíduo da ij-ésima observação como
A suposição de normalidade
Vamos usar o gráfico normal de probabilidades
sob normalidade dos erros, estes devem seguir uma
reta de 45o.
27
28
Exemplo 1 Solventes

• Alguns valores negativos dos resíduos (mais
  extremos) deveriam ser maiores alguns valores
  positivos dos resíduos deveriam ser menores, com
  exceção do último valor que deveria ser maior.
• O gráfico indica que os resíduos (erros) podem
  ter distribuição normal.

• Existe um resíduo que é muito maior que os
  demais, este valor é denominado outlier. Deve-se
  fazer uma investigação sobre esse valor. Só
  eliminar um outlier se tiver uma justificativa
  não estatística, caso contrário, fazer duas
  análises uma com e outra sem o outlier. Usar
  métodos não paramétricos. Transformação.
• Se algum resíduo padronizado (dij) for maior do
  que 3 ele é um outlier.

28
29
Exemplo 1 Solventes
Gráfico de resíduos no tempo
Usado para verificar se existe correlação entre
os resíduos. Uma tendência de ter resíduos
positivos e negativos indica uma correlação
positiva. Isto implica que a suposição de
independência dos erros foi violada. Isto é um
problema sério, e até difícil de resolver. Se
possível evitar este problema. A casualização
adequada pode garantir a independência.
29
30
Exemplo 1 Solventes
Gráfico dos resíduos versos valores preditos
A distribuição dos pontos é aleatória. Útil para
verificar se as variâncias são heterogêneas
(forma de megafone). Devido à presença de um
outlier as variâncias podem não ser homogêneas.
Na presença de heterogeneidade de variâncias é
usual aplicar uma transformação nos dados
(Box-Cox). Pode-se usar os testes
não-paramétricos (Kruskal-Wallis).
30
31
Exemplo 1 Solventes
Transformação Box-Cox
Usada para homogeneizar as variâncias. As
conclusões são realizadas para os dados
transformados.
31
32
Exemplo 1 Solventes
Teste de Levene
1) Calcular os resíduos da análise de
variância 2) Fazer uma análise de variância dos
valores absolutos desses resíduos 3) Se as
variâncias são homogêneas, o resultado do teste F
será não significativo.
FV GL SQ QM
F P Solventes 4 0,003576
0,000894 2,00 0,134 Error 20
0,008944 0,000447 Total 24 0,012519
Conclusão Aceita-se a hipótese de que as
variâncias são homogêneas, pois valor-p gt 5.
32
33
ANOVA 2 Fatores

• Fator A com i níveis e fator B com j níveis.
• ij diferentes combinações de níveis dos dois
  fatores (tratamentos).
• kij número de observações do tratamento.
• Fatores A e B podem influir na variável
  dependente de forma isolada, denominados efeitos
  principais, e de forma combinada, efeito de uma
  combinação específica dos fatores A e B.

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ANOVA 2 Fatores

• O teste de hipóteses para dois fatores A e B tem
  três hipóteses nulas
• H0 Não há efeito principal do fator A
• H0 Não há efeito principal do fator B.
• H0 Não há combinação de efeitos.
• H1 Há efeito em cada um dos três casos.

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ANOVA 2 Fatores
Efeito de cada nível do fator A
Efeito de cada nível do fator B
Modelo
Média geral
Efeito de cada nível da interação
Cada observação da variável resposta
Erro
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ANOVA 2 Fatores
Suposições do modelo

• Observações de cada célula ab amostra aleatória
  de tamanho r
• Cada uma das ab populações é normalmente
  distribuída
• Todas as populações têm a mesma variância
• Os parâmetros , e satisfazem
  as condições
• e
  

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ANOVA 2 Fatores
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Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• Considere o experimento que visa estudar o efeito
  simultâneo do uso (ou não) de antibióticos e de
  vitamina B12 (ou não) no aumento de peso (kg)
  diário em suínos. Faça uma análise estatística do
  experimento com a finalidade de verificar se
  existe diferença estatisticamente significativa
  entre os tratamentos, adotando um nível de
  confiança de 95.
• Experimento 2 fatores, 2 níveis e 3 repetições.
• Tratamentos 4
• Unidades experimentais 12

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Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• A tabela a seguir indica os valores observados na
  amostragem.
• - sem antibiótico (a0)
• - com 40?g de antibiótico (a1)
• - sem vitamina B12 (b0)
• - com 5mg de vitamina B12 (b1)

Nível do Fator b0 b1
a0 1,30 1,26
a0 1,19 1,21
a0 1,08 1,19
a1 1,05 1,52
a1 1,00 1,56
a1 1,05 1,55
40
Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• Nesse experimento vamos verificar os efeitos
  individuais do uso de antibiótico ou da vitamina
  B12 no aumento de peso dos suínos, além de
  estudar a interação desses dois fatores.
• Fatores Antibiótico (A) e Vitamina B12 (B)
• Níveis a0 (sem antibiótico) e a1 (com
  antibiótico) b0 (sem Vitamina B12) e b1 (com
  vitamina B12), respectivamente, adicionados a uma
  dieta básica de suínos.

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Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• Há suspeita de que os níveis de antibiótico e/ou
  vitamina influenciam o peso dos suínos.
• Distribuições simétricas.

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Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina
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Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina
MINITAB/Stat/ANOVA/Two-way
Fonte de Variação Graus de liberdade Soma de Quadrados Quadrados Médios F Valor-p
Antibiótico 1 0,020833 0,020833 5,68 0,044
Vitamina 1 0,218700 0,218700 59,65 0,000
Interação 1 0,172800 0,172800 47,13 0,000
Erro 8 0,029333 0,003667
Total 11 0,441667
CV 4,86 R² 93,36
Conclusão pelo menos duas médias de tratamentos
diferem significativamente entre si quanto ao
ganho de peso diário de suínos. Como a interação
é significativa (valor-p lt 5), os fatores
antibiótico e vitamina não atuam
independentemente na variável resposta (peso).
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Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina
O que fazer agora?

• Como a interação é significativa deve-se fazer o
  desdobramento da interação.
• Além disso, como os dois efeitos principais são
  significativos deve-se estudar o comportamento de
  um fator dentro dos níveis do outro
• Caso apenas um dos efeitos principais fosse
  significativo, seria necessário estudar apenas o
  comportamento do fator não significativo dentro
  dos níveis do outro fator.

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EFEITO SIMPLES DE UM FATORMedida da variação que
ocorre com a característica em estudo (peso,
neste caso) correspondente às variações nos
níveis desse fator, em cada um dos níveis do
outro fator.
Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina
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EFEITO SIMPLES DE UM FATOR
Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• Na ausência da vitamina existe uma diferença no
  peso diário dos suínos. A estimativa desta
  diferença é dada por
• Somente o efeito do antibiótico prejudica o peso
  diário dos suínos.

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EFEITO SIMPLES DE UM FATOR
Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• Quando se utiliza a dose de vitamina B12, também
  existe uma diferença no peso diário dos suínos.
• A combinação do uso de antibiótico e vitamina
  favorece o peso diário dos suínos.

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EFEITO PRINCIPAL DE UM FATOR
Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• Quanto mudou a variável resposta devido à mudança
  no nível do fator.

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Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• Efeito principal de A
• A presença de antibiótico proporciona um aumento
  de 0,005kg no peso dos suínos
• Efeito principal de B
• A presença de vitamina B12 proporciona um aumento
  de 0,215kg no peso dos suínos

50
Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina
51
EFEITO DA INTERAÇÃO ENTRE OS FATORESMedida da
variação que ocorre com a característica em
estudo, correspondente às variações nos níveis de
um fator, ao passar de um nível a outro do outro
fator.
Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• Efeito da interação A x B B x A

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Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina
53
Interações
Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina
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Conclusão
Exemplo 2 Antibiótico e Vitamina

• O teste para a interação AxB foi significativo (p
  lt 0,05)
• Como nas fontes de variação do desdobramento A
  (dentro de b0) e A(dentro de b1) o teste F foi
  significativo e o fator Antibiótico possui dois
  níveis, não é necessário realizar um teste de
  comparação de médias.
• Interpretações dos testes dos efeitos simples de
  antibiótico (A) e de vitamina (B) perdem
  significado.

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Experimento 2k fatorial

• Há apenas 2 níveis para cada fator
• Ex. Um experimento com 3 fatores e 2 níveis, em
  duplicata, corresponde a 23 x 2, ou seja, ou 2 x
  2 x 2 8 experimentos
• Por que realizar experimento fatorial com dois
  níveis?
• ?Facilidade de realização e de análise gráfica
• Número reduzido de experimentos.
• Pode ser aplicado na maioria das situações e na
  resolução de problemas.
• Possibilidade de uso numa sequência de estudos,
  inclusive em casos multivariados.
• Mesmo com um número elevado de fatores, este tipo
  de planejamento mantém os experimentos em uma
  quantidade e complexidade razoável.

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Exemplo 3 - Hipotético

• Fatores
• A B C valor observado
• 1 -1 -1 352,761
• 1 -1 -1 347,335
• -1 -1 1 353,872
• 1 1 -1 351,813
• -1 1 1 339,947
• -1 1 1 347,432
• -1 1 -1 353,754
• 1 -1 1 350,932
• 1 1 -1 351,716
• 1 1 1 345,387
• -1 -1 -1 348,340
• -1 -1 1 359,257
• -1 1 -1 350,073
• 1 -1 1 352,454
• -1 -1 -1 353,298
• 1 1 1 348,374

Experimento fatorial 3 fatores (A, B, C) 2
níveis (-1, 1) Duplicata 2³ x 2 16 observações
57
Exemplo 3 - Hipotético
Apenas a interação entre 2 fatores foi
significativa, com 10 de significância.
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Exemplo 3 - Hipotético
Com um nível de confiança de 90 conclui-se
que Os efeitos do fator B foram
significativos Os efeitos da interação BC foram
significativos.
59
Exemplo 3 - Hipotético
Podemos assumir que os erros são normalmente
distribuídos.
60
Exemplo 3 - Hipotético
A distribuição dos pontos é aleatória, indicando
variâncias homogêneas.
61
Exemplo 3 - Hipotético
Os pontos dispostos ao acaso, indicando erros
independentes.
62
Exemplo 3 - Hipotético
Os efeitos do fator B e da interação entre os
fatores B e C são significativo (5).
63
Exemplo 3 - Hipotético
64
Exemplo 3 - Hipotético
65
Exemplo 3 - Hipotético