IL%20CALCOLO%20COMBINATORIO - PowerPoint PPT Presentation

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IL%20CALCOLO%20COMBINATORIO

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IL CALCOLO COMBINATORIO Il calcolo combinatorio ha come obiettivo il calcolo dei vari modi con i quali possono essere associati gli elementi di due o pi insiemi o ... – PowerPoint PPT presentation

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1
IL CALCOLO COMBINATORIO
  • Il calcolo combinatorio ha come obiettivo il
    calcolo dei vari modi con i quali possono essere
    associati gli elementi di due o più insiemi o di
    uno stesso insieme, dopo aver prefissato delle
    regole precise.
  • I raggruppamenti possono essere fatti in diversi
    modi a volte bisogna tener conto dellordine con
    il quale gli elementi vengono scelti, a volte
    bisogna tener conto della natura degli elementi,
    altre volte invece interessa sia la natura che
    lordine degli elementi.
  • GLI ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO

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ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO
  • DISPOSIZIONI
  • PERMUTAZIONI
  • COMBINAZIONI
  • PROPRIETA DEI COEFFICIENTI BINOMIALI
  • SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO
  • CRITERIO DI SCELTA TRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL
    CALCOLO COMBINATORIO

3
DISPOSIZIONI
  • Dato un insieme A di n elementi,si definiscono
    disposizioni di classe k quei raggruppamenti di k
    elementi che vengono scelti fra gli elementi
    dellinsieme A. n rappresenta il numero totale
    degli elementi, mentre k rappresenta la classe,
    cioè il numero di elementi di ciascun
    raggruppamento. Ogni raggruppamento differisce
    dagli altri o per natura (A diverso B) o per
    lordine (AB diverso da BA) degli elementi. Le
    disposizioni possono essere semplici o con
    ripetizione Per avere la visione dei
    raggruppamenti si utilizza il diagramma ad
    albero. Con esso i raggruppamenti si leggono da
    sinistra verso destra, o dallalto verso il
    basso. Nei diagrammi ad albero ci sono dei nodi
    ogni nodo si può diramare. I risultati si leggono
    sui rami.

home
4
DISPOSIZIONI SEMPLICI
  • Si dicono disposizioni semplici quei
    raggruppamenti di elementi distinti tra di loro.
    Si indicano con D n,k
  • D n,k è uguale al prodotto di k fattori interi
    decrescenti a partire da n.Esempio D 4,2
    4312. Si usano solo due fattori perché k è
    uguale a 2. Se k fosse stato 3 si sarebbe fatto
    432.
  • Se si hanno quattro elementi A,B,C,D, quante
    sigle di due elementi si possono formare?
  • A B C
    D

b
c
d
a
c
d
a
b
d
a
b
c
ab
ac
ad
ba
bc
bd
ca
cb
cd
da
db
dc
home
Torna allargomento
5
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
  • Si dicono disposizioni con ripetizioni quei
    raggruppamenti di elementi che compaiono più di
    una volta. E si indicano con Dn,k .
  • Dn,k è la potenza di n elementi elevati a k.
    Esempio D4,2 4216
  • Se si hanno quattro elementiA,B,C,D quante sigle
    di due elementi si possono formare?(ricordandosi
    che si ripetono)
  • A B C
    D

a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
aa
ab
ac
ad
ba
bb
bc
bd
ca
cb
cc
cd
da
db
dc
dd
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home
6
PERMUTAZIONI
  • Dato un insieme A di n elementi, si definiscono
    permutazioni di n elementi (diversi fra loro) i
    raggruppamenti formati dagli n elementi presi in
    un ordine qualsiasi. I raggruppamenti contengono
    tutti gli elementi dellinsieme e ogni
    raggruppamento differisce dagli altri soltanto
    per lordine degli elementi.
  • Le permutazioni possono essere semplici o con
    ripetizione.
  • Anche questi raggruppamenti possono essere
    rappresentati con i diagrammi ad albero.
  • La permutazione si può pensare come una
    disposizione di n elementi di classe n.

home
7
PERMUTAZIONI SEMPLICI
  • Le permutazioni semplici si indicano con Pn n!,
    dove il ! rappresenta il fattoriale, cioè si
    pone
  • Un semplice esempio sulle permutazioni è dato
    dagli anagrammi,anche senza significato, che si
    possono ottenere partendo da una parola
    qualsiasi. Ad esempio gli anagrammi della parola
    ROMA sono dati dalle permutazioni di 4
    elementi, quindi si avrà

home
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8
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE
  • Data una parola di n lettere nella quale una
    lettera è ripetuta a
  • volte, unaltra b volte il numero delle
    permutazioni distinte
  • con elementi ripetuti si possono ottenere
    risulta

Ad esempio gli anagrammi distinti della parola
MAMMA sono
home
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9
COMBINAZIONI

Dato un insieme A di n elementi, si definiscono
combinazioni degli n elementi di classe k i
raggruppamenti di k elementi tali che ogni
raggruppamento differisca dagli altri solo per la
natura degli elementi ( senza considerare quindi
lordine degli elementi). Le combinazioni possono
essere semplici o con ripetizione. I
raggruppamenti si possono indicare anche con
. Questo simbolo è detto coefficiente
binomiale per il suo uso nello sviluppo delle
potenze di un binomio
home
10
COMBINAZIONI SEMPLICI
Le combinazioni semplici si indicano con
Esempio
Le combinazioni semplici si usano quando gli
elementi dei raggruppamenti non si ripetono e
sono distinti fra di loro
home
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11
COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE
Le combinazioni con ripetizione si indicano con
k
Le combinazioni con ripetizione si usano quando
gli elementi dei raggruppamenti si ripetono.
Esempio
home
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12
PROPRIETA DEI COEFFICIENTI BINOMIALI
1) La legge dei tre fattoriali
Si utilizza quando si ha a disposizione la
calcolatrice
n
2) Proprietà simmetrica
n
3)
Queste due proprietà rappresentano due
sottoproprietà della prima
home
13
SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO
Come applicazione dei coefficienti binomiali,
calcoliamo La prima lettera
decresce, la seconda cresce . I coefficienti dei
monomi rappresentano i numeri che si ottengono
dal triangolo di tartaglia del numero 5.
1
5
10
10
5
1
home
avanti
14
Sviluppo della potenza di un binomio parte 2
Alla fine si ottiene
Polinomi di questo tipo hanno varie proprietà1)
sono ordinati secondo le potenze decrescenti in a
e crescenti in b. 2) Sono composti da n1
termini. 3) Sono omogenei, cioè ogni monomio è
dello stesso grado. 4) Sono completi, cioè ogni
polinomio è presente con ogni grado.
Lo sviluppo della potenza di un binomio si
esprime in generale con la formula di Newton
indietro
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CRITERIO DI SCELTA FRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL
CALCOLO COMBINATORIO
DISPOSIZIONI Ogni raggruppamento differisce
dagli altri o per natura (A diverso da B) o per
lordine (AB diverso da BA) degli elementi.
PERMUTAZIONI Ogni raggruppamento differisce
dagli altri soltanto per lordine degli elementi
(AB diverso da BA).
COMBINAZIONI Ogni raggruppamento differisce
dagli altri soltanto per la natura degli elementi
(A diverso da B).
home
16
A CURA DI
BAGGI MARCO PALLOTTA
VALENTINA CLASSE 4Ai
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