KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS

1
KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS
2
Kaedah Penghapusan Gauss

• Sistem persamaan linear -? matriks ? matriks
  imbuhan
• Gunakan operasi baris permulaan ? matriks
  segitiga atas

a
a
a
d
ù
é
13
12
11
1
ú
ê
a
a
0
d
ú
ê
23
22
2
ú
ê
û
ë
a
0
0
d
33
3
3
Operasi baris permulaan
a
a
a
d
ù
é
13
12
11
1
ú
ê
a
a
a
d
ú
ê
23
22
21
2
ú
ê
û
ë
a
a
a
d
33
32
31
3

• Pastikan a11 ? 0
• Jadikan a21 dan a31 0 dengan menggunakan
  pekali berikut
• m21 - a21/ a11 dan m31 - a31/ a11
• B2 m21 B1 B2 dan B3 m31 B1 B3
• diperolehi

a
a
a
d
ù
é
13
12
11
1
ú
ê
a
a
0
d
ú
ê
23
22
2
ú
ê
û
ë
a
0
d
a
33
3
32
4
Operasi baris permulaan

• jadikan a22 ? 0 sebagai pangsi
• Jadikan a32 0 dengan menggunakan pekali
  berikut
• m32 - a32/ a221
• B3 m32 B2 B3 diperolehi
• Tukarkan ke bentuk sistem persamaan linear
• Selesaikan utk mendapatkan nilai pembolehubah

a
a
a
d
ù
é
13
12
11
1
ú
ê
a
a
0
d
ú
ê
23
22
2
ú
ê
û
ë
a
0
0
d
33
3
5
contoh
Kira pekali m21 - a21/ a11 ? m21 -(-1)/3
1/3 Kira pekali m31 - a31/ a11 ? m31 -1/3 B2
m21 B1 B2 B3 m31 B1 B3
6

• Kira pekali m32 - a32/ a22 ? m32 4/7
• B3 m32 B2 B3

3
ù
é
3
1
-2
ú
ê
2
7/3
0
4/3
ú
ê
ú
ê
-13/7
31/7
0
0
û
ë
31/7 x3 -13/7 x3 -13/31 x2
34/31 x1 58/31
7
Kaedah penghapusan Gauss-Jordan
a
a
a
a
d
0
0
d
ù
é
ù
é
13
12
11
11
1
1
ú
ê
ú
ê
a
a
a
0
a
0
d
d
ú
ê
ú
ê
23
22
21
22
2
2
ú
ê
ú
ê
û
ë
û
ë
a
a
a
d
a
0
0
d
33
32
31
33
3
3

• Jadi kan a12 0 dgn menggunakan pekali m12
  -a12/a22
• B1 m12B2B1
• Jadi kan a23 0 dgn menggunakan pekali m23
  -a23/a33
• B2 m23B3B2
• Jadi kan a13 0 dgn menggunakan pekali m13
  -a13/a33
• B1 m13B3B1

8
Kaedah penghapusan Gauss-Jordan
3
ù
é
3
1
-2
ú
ê
2
7/3
0
4/3
ú
ê
ú
ê
-13/7
31/7
0
0
û
ë

• m12 -a12/a22 -(-2)/(7/3) 6/7, m23 -a23/a33
  -(4/3)/(31/7)
• -28/93
• B1 m12B2B1 B2 m23B3B2

33/7
ù
é
3
15/7
0
33/7
ù
é
3
15/7
0
ú
ê
ú
ê
2
7/3
0
4/3
238/93
7/3
0
0
ú
ê
ú
ê
ú
ê
-13/7
31/7
0
0
ú
ê
û
ë
-13/7
31/7
0
0
û
ë
9
Kaedah penghapusan Gauss-Jordan

• m13 -a13/a33 -(15/7)/(31/7) -15/31
• B1 m13B3B1
• Selesaikan
• 3x1 174/31? x1 58/31
• 7/3x2 238/93 ? x2 34/31
• 31/7x3 -13/7 ? x3 13/31

174/31
ù
é
3
0
0
ú
ê
238/93
7/3
0
0
ú
ê
ú
ê
-13/7
31/7
0
0
û
ë
10
Kaedah pangsian separa



-2
x
2
x
2
x
6
3
2
1



1
x
1/3
x
2/3
x
2
3
2
1

-

0
x
x
2
x
3
2
1
Nilai sebenar x1 2.6, x2 -3.8 z -5.0 Jika
diselesaikan menggunakan kaedah penghapusan gauss
m21 -0.33333 m31 -0.1667
E2 m21 E1 E2 E3 m31 E1 E3
11
Kaedah pangsian separa
m32 1.6667/0.001 16670 E3 m32E2 E3
Dengan menggunakan gantian kebelakang nilai bagi
x1 1.335, x2 0.000, x3 -5.003 Ini berbeza
dengan nilai sebenar!!! Kenapa ???
12
Kaedah pangsian separa
Ini disebabkan ralat pembundaran. Oleh kerana
nombor yg terlibat adalah dlm bentuk pecahan,
komputer akan menukarkan ke bentuk nombor
perpuluhan dan membundarkannya kpd titik
perpuluhan tertentu. Bagaimana nak mengatasi
masalah ini ? Pastikan unsur paksi merupakan
unsur yang paling maksima secara mutlak bagi
setiap lajur yang terlibat. Ini supaya nilai
pekali m adalah tidak melebihi 1. Kaedah ini
dipanggil ? kaedah pangsian separa
13
Kaedah pangsian separa
Bagi contoh sebelum ini
Tukarkan baris 3 dengan baris 2
m32 -0.0001/1.6667 -0.00006 E3 m32E2 E3
Diperolehi
x1 2.602, x2 -3.801, x3 -5.003