O Notation

1
???? ??????

• ????? 2

????? ?????
2
O Notation

• ??? ??????? ??????? ????

3
O Notation

• ??? ??????? ??????? ????

4
???? 3 (????? 1)

• ???? ?' - ??????? ?1/3- ?? ??? ?? ?????
• ?????? ????? ???? ????? "????" ???? 2 ??????, ???
  ?? ???? ???? ???? ?? ??? ????
• ????? "????" ?????? ??????? ??????? ???? ???? ??
  ????
• ?? ??????
• ?? ????? ???? ??? ?????? ?? ????? ?-3/4k ?-k
  ????? ????? ?-k ?-4/3k ??? ?????? ?? ?? ¼ k
  ?????? ?????
• ?? ??? ?????? ???? ???? ??? ??????
• 4
• ???? ???????? ????? O(1) ?????? (amortized)

5
???? 3 (????? 1)

• ???? ?' ??????? 10 ???? ?????? ?????
• ?? ????????? ?-m ?????? ????? ???

O(m2)
6
??? ????? ????????

• ??? ?????? 4 ????
• ????? ??? ????? left
• ????? ??? ???? right
• ????? ??? p
• ???? - key

8
9
4
10
2
5
6
?? ??????? ??? ?? ???? gt v.key gt ?? ??????? ???
?? ?????
7
?????

• ?????? ?? ????? ?????? (??? n ?????), ?????? ??
  ?? ??????? ??, ???? ?????, ???? O(n)

In-order(v) If (vnull) return Else In-order(v.le
ft) Print v.key In-order(v.right) Return End if
?
???? ?? ?? ?????
?
??? ???? (1)
?
???? ?? ?? ????
8
?????

• ?????? ?? ????? ?????? (??? n ?????), ?????? ??
  ?? ??????? ??, ???? ?????, ???? O(n)

In-order(v) If (vnull) return Else In-order(v.le
ft) Print v.key In-order(v.right) Return End if
8
9
4
?
???? ?? ?? ?????
?
??? ???? (1)
10
2
5
?
???? ?? ?? ????
6
?????? ??????????, ?????? ?? ?? ???? ??? ???
???? O(n)
9
????? Amortized

• ???? ???? ???? ADT ?? ?????? (?? ??????)?????
  ????, ?? ??? ????? ???? Amortized O(1) ?????
  ????? ???? ???? O(n) ???? n ??' ?????? ???????
• ??? ???? ????? ?? ???? ????? ??? ???? ?-4 ?????
  ??' ???? ???????
• ??????
• ???? ???? ????? ? ????? ?? 2
• ????? ½ ??????? ? ????? ?? 2
• ????? ???
• ?????? ????? ????? ?? 2
• ??????? ??? ?? ?? ??? ¼ ????? ?? 2

10
????? ??????

• Size ??' ?????? ???????
• Max-size ???? ?????
• A ???? ????? Max-size

Initialization Size ? 0 Max-size ? 2 A ? array of
size 2
Push(S,x) If (sizeltmax-size) Asize1 ? x Size ?
size 1 Else A ? new array of size 2max-size A
? A (copy) max-size ? max-size2 Asize1 ?
x Size ? size 1 End if
Pop(S) Return-value Asize Size ? size-1 If
(size lt max-size/4) A ? array of size
max-size/2 A ? A (copy) Max-size ?
max-size/2 End if
11
???? ??????...

• ???? ???? ?-Amortized ??? O(1)
• ????? ????? ???? ? ????? ½ ???
• ????? ????? ???? ? ????? ½ ???
• ??? 1 ???? ???? ????? "????" ????? ½ ???
• ??? 2 ???? op1 ????? ????, ?-op2 ?????? ?????
  ?????. ???? ????? op1 ???? ????? k ??? ??? op1
  ?-op2 ?? ????? k/4 ??????
• ?????
• ???? Op1 ???? ??????? ??? m/2
• ???, ?? op2 ????? ?????, ?? ?? ???? ???? m/2
  ??????
• ?? op2 ????? ?????, ?? ?? ???? ???? m/4 ??????.
  ?.?.?

12
????? ????? (???? ????)

• ??????
• amortized(op) cost(op) withdrawal deposit
• ???? ?????? ??? ????? amortized(op) O(1)
• ????? ????
• ?? ????? ????? 4 ??????
• ????? ???? ????? ?????? ????? ????? ???? ????
• ???? ?????? ???????? ?????? ?????? ?? ??????
  ????? ???? ??????
• ????? ????? ????
• ???? m (????? ?? m)
• ????? ??? ????? m/4 ?????? ??????? 4, ?????
• ???, ???? ???? ?????, ????? ?? ????? ?????

???? ?? ??? ?????? (????? ?????)
13
????? ????? (???? ?????????)

• ???? ?????? ????' ???????? F ?? ?
• F(start)0
• F(end)0
• ??????
• ???? ?????? ???? ?????
• ????? ?? F

??????
??????
????? F ???? ????? ????? "??????" ???? ????? ????