Tema 3' Semntica de la lgica proposicional

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Tema 3. Semántica de la lógica proposicional

• 3b. Conceptos clave

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• TAUTOLOGÍA
• CONTRADICCIÓN
• CONTINGENCIA
• SATISFACIBILIDAD

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-Estás triste -le dijo con voz inquieta el
Caballero- para alegrarte voy a cantar una
canción. -Es muy larga? -le preguntó Alicia. -Es
larga -dijo el Caballero- pero muy muy hermosa. A
todo aquel que me la oye cantar o se le saltan
las lágrimas o si no -O si no, qué? -dijo
Alicia, pues el Caballero se había
quedado cortado de golpe. - pues no se le
saltan. Lewis Carroll, A través del espejo
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Tautología, contradicción, contingencia

• Considera las siguientes fórmulas

Este tipo de fórmulas, verdaderas para cualquier
posible asignación de valores de verdad de sus
constituyentes, se denominan TAUTOLOGÍAS
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Tautología, contradicción, contingencia

• Considera las siguientes fórmulas

Este tipo de fórmulas, falsas para cualquier
posible asignación de valores de verdad de sus
constituyentes, se denominan CONTRADICCIONES
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Tautología, contradicción, contingencia

• La negación de una contradicción siempre será una
  tautología, y la negación de una tautología será
  una contradicción

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Tautología, contradicción, contingencia

• Considera estas otras fórmulas

Este tipo de fórmulas, verdaderas en algunas
interpretaciones y falsas en otras, se denominan
CONTINGENCIAS
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Tautología, contradicción, contingencia

• La negación de una contingencia será siempre una
  contingencia, puesto que los valores 1 pasarán a
  0, y los 0 pasarán a 1, y seguirá habiendo tanto
  interpretaciones verdaderas como falsas

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Satisfacibilidad

• Considera estos 2 pares de fórmulas
• p p
• crees que es posible que sean verdaderas a la
  vez?

Obviamente no cuando una es verdadera, la otra
es falsa.
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Satisfacibilidad

• Y estas otras 2, pueden ser verdaderas a la vez?
• p ? q (p ? q)

Tampoco, aunque este caso no es tan obvio como el
anterior. Para verlo habrá que comparar sus
tablas de verdad
En los casos en que una es verda- dera, la otra
resulta ser falsa. No hay ningún caso en que
ambas sean verdaderas a la vez.
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Satisfacibilidad

• Y estas otras 2, pueden ser verdaderas a la vez?
• p ? q (p ? q)

En este caso sí. Comparemos sus tablas de verdad
q
?
p
q)
?
(p

Hay al menos una fila en la que ambas son
verdaderas, la fila 3. Basta con eso para decir
que este par de fórmulas es SATISFACIBLE
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
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Satisfacibilidad

• Una fórmula es satisfacible si y sólo si tiene al
  menos una interpretación verdadera, i.e., al
  menos una fila con un 1 bajo alguna
  interpretación de sus atómicas.
• Por tanto, una fórmula será satisfacible si es
  una tautología o una contingencia.
• Una fórmula insatisfacible es contradictoria

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Satisfacibilidad

• Un conjunto de fórmulas es satisfacible ssi hay
  alguna interpretación en que cada una de ellas es
  satisfacible a la vez. Es decir, cuando
  encontramos al menos una fila con todo 1s bajo la
  conectiva dominante de cada fórmula.
• Esto equivale a decir que un conjunto de fórmulas
  ?1, ?n es satisfacible ssi es satisfacible la
  fórmula que obtenemos al unirlas por conyuntores
  (?1 ? ? ?n)

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Es satisfacible este conjunto de fórmulas?

• p ? q (r ? q) p ? r

Para saberlo, podemos unirlas en una única
fórmula (p ? q) ? (r ? q) ? (p ? r) y a
continuación resolvemos la tabla de verdad de
esta fórmula. Si hay al menos un caso en que esta
conyunción es verdadera, este conjunto de
fórmulas es satisfacible. Esto equivale a decir
que debemos encontrar al menos una fila en que
debajo de la conectiva dominante de cada fórmula
aparezca un 1
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Es satisfacible este conjunto de fórmulas?

• p ? q (r ? q) p ? r

Observando la 5ª fila comprobamos que este
conjunto de fórmulas sí es satisfacible
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Es satisfacible este otro conjunto?

• p ? q (q ? r) r ? p

No es satisfacible no hay ninguna fila en que
bajo cada conectiva dominante (?, , ?,
respectivamente) encontremos un 1
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Satisfacibilidad

• Lo que buscamos al comprobar si un conjunto de
  fórmulas es satisfacible o no, es poder
  determinar si las condiciones establecidas por
  las fórmulas pueden cumplirse conjuntamente o no.
• Si el conjunto de fórmulas es satisfacible,
  plantea condiciones consistentes, y si no es
  satisfacible, plantea condiciones inconsistentes
  o contradictorias.

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Satisfacibilidad

• Fefa Quiero un marido rico y guapo.
• Fufa Preferirías uno que fuese guapo y fiel?
• Fefa Ni hablar. Y si es infiel, que no sea rico.
• habrá marido para Fefa?
• p ? es rico q ? es guapo r ? es fiel
• Condiciones del marido
• p ? q (q ? r) r ? p

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(No Transcript)
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• CONSECUENCIA LÓGICA
• VERDAD LÓGICA
• EQUIVALENCIA

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• -Sé lo que estás pensando -dijo Tweedledum- pero
  no es eso, de ninguna manera.
• -Por el contrario -continuó Tweedledee-, si lo
  hubiera sido, lo habría sido y si lo fuera, lo
  sería pero como no lo es, no lo es. Eso es
  lógica.
• Lewis Carroll, A través del espejo

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Consecuencia lógica

• En un argumento válido, la conclusión se sigue de
  las premisas.
• Esto ocurre cuando no es posible que las premisas
  sean verdaderas y la conclusión falsa.
• Diremos entonces que la conclusión es
  consecuencia lógica de las premisas.
• Por tanto, también una fórmula ß será
  consecuencia lógica de una fórmula ?, cuando no
  pueda ocurrir que ? es verdadera y ß falsa

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Consecuencia lógica

• Cómo saber cuándo una fórmula ß es consecuencia
  lógica de una fórmula ? ?
• Habrá que disponerlas de tal manera que podamos
  observar si ocurre que ? sea verdadera y ß falsa
• Hay una conectiva cuya tabla de verdad se
  corresponde con esta situación

EL CONDICIONAL ?
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Consecuencia lógica

• Una fórmula ß es consecuencia lógica de una
  fórmula ? cuando el condicional (? ? ß) no es
  falso en ningún caso, i.e., cuando (? ? ß) es una
  tautología.
• Cuando ß es consecuencia lógica de ?, escribimos
• ? ß
• y cuando no lo es
• ? ß

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Consecuencia lógica

• Sean ? ? p ? q ß ? p ? q
• es ß consecuencia lógica de ? ?

Efectivamente, no hay ningún caso en que ocurra
que ? sea verdadera y ß sea falsa. Es decir, no
hay ningún caso en el que el condicional que
hemos construido sea falso.
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Consecuencia lógica

• La idea de consecuencia lógica se puede
  generalizar a conjuntos de fórmulas Una fórmula
  ß es consecuencia lógica de un conjunto de
  fórmulas ?1 ?n ssi no puede ocurrir que ?1 ?n
  sean verdaderas y ß sea falsa, es decir, cuando
  el condicional (?1 ? ? ?n) ? ß sea una
  tautología.
• Cuando ß es consecuencia lógica de ?, escribimos
• ?1 ?n ß
• y cuando no lo es
• ?1 ?n ß

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Consecuencia lógica

• Sean ?1 ? (p ? q) ?2 ? (r ? p) ß ? r ? q
• es ß consecuencia lógica de ?1 y ?2?

Efectivamente, no hay ningún caso en el que el
condicional que hemos construido sea falso
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Consecuencia lógica cómo evaluar argumentos

• Tenemos, por tanto, un método para determinar
  cuándo un argumento es válido.
• 1º) Identificamos las premisas y conclusión, y
  las traducimos a fórmulas de L0
• 2º) Construimos un condicional, cuyo antecedente
  es una conyunción de todas las fórmulas de las
  premisas, y su consecuente es la fórmula de la
  conclusión
• 3º) Evaluamos si el condicional es tautológico
• si lo es, el argumento es válido
• si no lo es, el argumento no es válido hay al
  menos un caso en que las premisas son verdaderas
  y la conclusión falsa

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Consecuencia lógica cómo evaluar argumentos

• EJEMPLO 1 Una condición necesaria para que la
  humanidad sea libre es que los seres humanos no
  estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los
  humanos, entonces estamos ligados a una esencia.
  Claramente, los humanos somos libres. Por tanto,
  Dios no creó a los humanos.

1º) Identificar y traducir p ? humanos son
libres q ? humanos ligados a esencia r ? D crea
humanos Premisas (p ? q) (r ? q)
p Conclusión ? r
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Consecuencia lógica cómo evaluar argumentos

• EJEMPLO 1 Una condición necesaria para que la
  humanidad sea libre es que los seres humanos no
  estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los
  humanos, entonces estamos ligados a una esencia.
  Claramente, los humanos somos libres. Por tanto,
  Dios no creó a los humanos.

2º) Construir condicional (p ? q) ? (r ? q) ?
p ? r
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Consecuencia lógica cómo evaluar argumentos

• EJEMPLO 1 Una condición necesaria para que la
  humanidad sea libre es que los seres humanos no
  estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los
  humanos, entonces estamos ligados a una esencia.
  Claramente, los humanos somos libres. Por tanto,
  Dios no creó a los humanos.

3º) Evaluar condicional
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Consecuencia lógica cómo evaluar argumentos

• EJEMPLO 1 Una condición necesaria para que la
  humanidad sea libre es que los seres humanos no
  estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los
  humanos, entonces estamos ligados a una esencia.
  Claramente, los humanos somos libres. Por tanto,
  Dios no creó a los humanos.
• La fórmula (p ? q) ? (r ? q) ? p ? r ,
  correspondiente a dicho argumento, es
  tautológica. Por tanto, el argumento es VÁLIDO.

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Consecuencia lógica cómo evaluar argumentos

• EJEMPLO 2 Si la señora White lo hizo, lo hizo
  con la llave inglesa o con la cuerda. Pero lo
  hizo con la cuerda si y sólo si el asesinato se
  cometió en el vestíbulo. El asesinato se cometió
  en la cocina. Por lo tanto, si la señora White lo
  hizo, lo hizo con la llave inglesa.
• p ? W lo hizo q ? W lo hizo con llave r ? W lo
  hizo con cuerda
• s ? asesinato en vestíbulo t ? asesinato en
  cocina
• La fórmula a evaluar es
• (p ? (q ? r) ? (r ? s) ? t) ? (p ? q)
• cuya tabla de verdad necesitaría 32 filas

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El método abreviado

• Para evaluar fórmulas con más de 3 constantes, la
  tabla de verdad resulta un método demasiado
  engorroso.
• Podemos explotar las propiedades de las
  conectivas lógicas para obtener métodos
  abreviados de evaluación de fórmulas.
• La idea general es podemos determinar que una
  fórmula NO es tautológica, si encontramos al
  menos una fila en la que la fórmula es falsa y
  podemos determinar que NO es contradictoria, si
  encontramos al menos una fila en la que la
  fórmula es verdadera.

35
El método abreviado

• 1º Determinamos qué queremos saber de la fórmula,
  si es tautológica o contradictoria
• 2º Asignamos como valor inicial el contrario al
  que queremos obtener. A partir de éste vamos
  llenando aquellos otros valores obligados por
  las tablas de las conectivas lógicas
• 3º Comprobamos si por el camino topamos con una
  contradicción.

36
El método abreviado

• 1º Determinamos qué queremos saber de la fórmula
• A) queremos saber si es tautológica intentamos
  que la fórmula sea falsa si lo conseguimos,
  entonces no es tautológica si no lo conseguimos,
  entonces es tautológica.
• Esto es lo que nos interesa cuando queremos
  saber si un argumento es válido.
• B) queremos saber si es contradictoria
  intentamos que la fórmula sea verdadera si lo
  conseguimos, entonces no es contradictoria si no
  lo conseguimos, entonces es contradictoria.
• Esto es lo que nos interesa cuando queremos
  saber si una o más fórmulas son satisfacibles.

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El método abreviado

• 2º Fijamos los valores de verdad de la fórmula
• queremos saber si el argumento del ejemplo 2 es
  válido, i.e., si su fórmula es tautológica

• Intentamos conseguir un caso en la fórmula es
  falsa, así que ponemos 0 bajo el condicional

ii) Para que el condicional sea 0, el antecedente
debe ser 1 y el consecuente 0. Estos valores van
bajo las respectivas dominantes
iii) Una vez fijados estos valores, nos obligan a
fijar otros valores de las fórmulas, de acuerdo a
la tabla de cada conectiva
38
El método abreviado
Fijémonos en (p ? q) como es un condicional que
debe tener valor 0, ello obliga a fijar los
valores de su antecedente y consecuente en 1 y 0,
respectivamente. Fijémonos en t como es una
fórmula unida por un conyuntor con valor 1, debe
tener valor 1.
iv) Trasladamos los valores obtenidos para esas
constantes a sus otras ocurrencias dentro de la
fórmula
Fijémonos en p ? (q ? r) es un condicional que
debe tener valor 1 y cuyo antecedente es 1, por
tanto su consecuente (q ? r) debe ser 1 también.
Dado que q tiene valor 1, el único modo posible
es que r tenga valor 1. Fijamos este nuevo valor.
v) Comprobamos si es posible rellenar el último
valor de verdad sin contradicción. En nuestro
ejemplo sí lo es s puede tener valor 1
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El método abreviado
3º Comprobamos si por el camino topamos con una
contradicción.

• No hemos encontrado contradicción. Eso quiere
  decir que hay al
• menos un caso en que la fórmula es falsa.
• Nuestra fórmula NO ES UNA TAUTOLOGÍA y, por
  tanto, el
• argumento al que corresponde NO ES VÁLIDO
• La fórmula sería tautológica y, en consecuencia,
  el argumento válido,
• SI NO HUBIÉSEMOS CONSEGUIDO HACERLA FALSA.
• Es decir, si a lo largo del proceso nos
  hubiésemos encontrado con que
• nos vemos obligados a hacer asignaciones
  contradictorias

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Tautología, contradicción y consecuencia lógica

• Supongamos que tenemos una fórmula ? que es
  tautología y otra ß que es contradicción.
  Considera estas fórmulas
• ? ß ? ? ß ? ? ß ? ? ß
• podemos saber qué tipo de fórmulas son?

• ? ß es una contradicción
• ? ß es una contradicción
• ? ß es tautológica
• ? ? ß es una contradicción

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Tautología, contradicción y consecuencia lógica

• Supongamos que tenemos una fórmula ? que es
  tautología y otra ß que es contingencia.
  Considera estas fórmulas
• ? ß ? ? ß ? ? ß ? ? ß
• podemos saber qué tipo de fórmulas son?

• ? ß es una contingencia
• ? ß es una contingencia
• ? ß es tautológica
• ? ? ß es una contingencia

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Tautología, contradicción y consecuencia lógica

• El caso del condicional es particularmente
  interesante ? ? ß
• -si ß es una tautología, el condicional ? ? ß es
  tautológico, independientemente de lo que sea ?
• -si ? es una contradicción, el condicional ? ? ß
  también es una tautología, independientemente de
  lo que sea ß

Esto significa que una tautología es consecuencia
lógica de cualquier cosa y que cualquier cosa es
consecuencia lógica de una contradicción
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Verdad lógica

• Cuando una fórmula es verdadera en todas las
  interpretaciones posibles de sus conectivas, se
  trata de una verdad lógica
• Por tanto, una fórmula es verdad lógica ssi es
  tautológica
• Y dado que una tautología es consecuencia lógica
  de cualquier cosa, podemos expresar una verdad
  lógica con el símbolo de la consecuencia
  ß para toda ß que sea tautología

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Equivalencia lógica

• Consideremos las siguientes fórmulas
• p ? q (p ? q) (p ? q) (q ? p)
• Si hacemos sus tablas de verdad, veremos que
  obtenemos columnas idénticas
• Decimos en ese caso que las fórmulas son
  lógicamente equivalentes, es decir, para
  cualquier interpretación (cualquier fila) de la
  fórmula obtenemos el mismo valor de verdad en las
  demás

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Equivalencia lógica

• Eso significa que todas las tautologías son
  lógicamente equivalentes entre sí y que lo mismo
  ocurre entre las contradicciones
• Y supongamos que ? y ß sean dos fórmulas
  lógicamente equivalentes qué podemos decir de
  la fórmula ? ? ß ?

• Se trata de una tautología, dado que, en cada
  fila, a cada valor de ? le corresponderá
  exactamente el mismo valor de ß, con lo que se
  cumplen las condiciones de verdad del ?

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Equivalencia lógica

• Así mismo, podemos decir que cuando dos fórmulas
  ? y ß son lógicamente equivalentes, ? es
  consecuencia lógica de ß, y ß a su vez es
  consecuencia lógica de ?
• Por tanto, toda tautología tiene como
  consecuencia lógica a cualquier otra tautología

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Cuántas conectivas hay?
Esta tabla recoge todas las posibles conectivas.
Comencemos por identificar las 5 que ya
conocemos , ?, ?, ?, ? A qué columnas
corresponden?
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Cuántas conectivas hay?
Las columnas 11 y 12 se limitan a negar los
valores de p y q, respec- tivamente. Qué
conectivas se esconden en las demás
columnas? Centrémonos en 1, 4, 5 y 6
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Cuántas conectivas hay?
4 y 6 se limitan a reproducir los valores de q y
p, respectivamente. 1 es la columna de una
tautología y 5 hace lo mismo que el
condi- cional, pero en sentido inverso, o sea,
equivale a q ? p
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Cuántas conectivas hay?
De modo que podemos prescindir de todas esas
columnas podemos realizar sus funciones
mediante nuestras conectivas. Si miramos las
columnas 9-16, vemos que son una imagen espejo
de 1-8.
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Cuántas conectivas hay?
Por tanto, para expresar las conectivas 9-16 nos
basta con tener las conectivas 1-8, más el
negador
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Cuántas conectivas hay?
Resumiendo, podemos establecer las siguientes
equivalencias p ? q equivale a q ? p p?q ?
(p ? q) p gtlt q ? (p ? q) p gt q ? (q ? p) p
lt q ? (p ? p) p ? q ? (p ? q) De ahí que
podamos prescindir de todas esas conectivas
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Cuántas conectivas hay?
Es posible reducir aún más el número de
conectivas?
Recordemos estas equivalencias lógicas p ? q
(p ? q) (p ? q) (q ? p) Esto indica
que la función del conyuntor puede realizarse por
medio del disyuntor el negador, o del
condicional el negador. En realidad, cualquiera
de estos pares de conectivas , ?, , ?,
, ? es suficiente para cubrir todas las
combinaciones de nuestro cuadro general de
conectivas
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Cuántas conectivas hay?
De hecho, podríamos reducir nuestras conectivas a
una sola p?q (o también p ? q) p ? p?p (p ? q)
? (p?q)?( p?p) (p ? q) ? (p?p)?(q?q) (p ? q) ?
p?(q?q) o también p?(p?q)
Pero reducir demasiado el número de conectivas
resulta engorroso. Lo que se intenta es encontrar
un número equilibrado que (a) capte nuestras
intuiciones más típicas del lenguaje natural y
(b) resulte en fórmulas manejables