GRUPO DE INVESTIGACIN EN PLANEAMIENTO DE SISTEMAS ELCTRICOS DE POTENCIA

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GRUPO DE INVESTIGACIÓN EN PLANEAMIENTO DE
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
APLICACIÓN DEL SIMULATED ANNEALING AL PROBLEMA
DE LAS N REINAS
JOHN FREDY FRANCO POMPILIO TABARES RAMÓN ALFONSO
GALLEGO
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Simulated Annealing

• El Simulated Annealing es una técnica de
  optimización combinatorial que se usa para
  afrontar problemas de gran complejidad
  matemática, de modo que se obtengan soluciones
  cercanas a la óptima.

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Simulated Annealing

• Se fundamenta en el proceso físico de
  calentamiento de un sólido, seguido por un
  enfriamiento hasta lograr un estado cristalino
  con una estructura perfecta.

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Simulated Annealing

• TRANSICIÓN DE ESTADOS
• ESTADO i ? ENERGÍA Ei
• ESTADO j ? ENERGÍA Ej
• CONFIGURACIÓN i ? Función de Costo fi
• CONFIGURACIÓN j ? Función de Costo fj

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Simulated Annealing
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Simulated Annealing

• Cuando la temperatura es grande, se permiten
  nuevas configuraciones que deterioren la función
  objetivo.
• A medida que disminuye la temperatura, la
  probabilidad de aceptar soluciones peores es cada
  vez menor.

Con esta estrategia se evita el quedar atrapado
en mínimos locales.
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Manejo del SA

• Parámetros del proceso
• Temperatura.
• Longitud de la cadena.

T0 gt T1 gt T2 gt gt Tk
N0 lt N1 lt N2 lt lt Nk
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Manejo del SA

• Temperatura
• Temperatura inicial
• Ensayos sobre una cadena.
• Disminución de la temperatura
• Tk1 ß Tk , ß 0.8 - 0.99

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Manejo del SA

• Longitud de la cadena
• Longitud inicial
• Proporcional al tamaño del problema.
• Aumento de la longitud
• Nk1 p Nk , con p 1

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Manejo del SA

• Criterios de parada
• Se fija un número determinado de niveles de
  temperatura, usualmente entre 6 y 50.
• Si la función objetivo no mejora para varios
  niveles consecutivos.
• Si no se cumple con un número mínimo de
  aceptaciones en el nivel de temperatura.

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Problema de las N Reinas

• Consiste en ubicar N reinas en un tablero de
  ajedrez de tamaño NxN, de tal forma que no se
  presenten colisiones.

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Problema de las N Reinas
Una forma de ubicar las reinas en un tablero de
8X8
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Problema de las N Reinas
Una solución para el tablero de 8X8
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Consideraciones

• El problema se puede plantear de dos maneras
• Ubicar n reinas minimizando las colisiones.
• Maximizar el número de reinas en el tablero,
  sujeto a la restricción de que no existan
  colisiones.

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Consideraciones
El número de alternativas corresponde a n!, pero
existen múltiples soluciones, incluyendo las
simétricas. Para N8 hay 92 soluciones posibles,
dentro de las 40.320 diferentes alternativas. Se
ha solucionado el problema con técnicas como
Búsqueda Tabú y Backtracking.
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Consideraciones
Se pueden encontrar soluciones construidas
siguiendo cierta formación pero son limitadas.
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Representación del Problema
Debe haber solo una reina en cada fila y en cada
columna. Por facilidad se asocia la reina 1 a la
fila 1, en general la reina i se ubica en la fila
i. Luego el problema es definir en que columna
se ubica cada reina.
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Representación del Problema
Como a cada reina se le asigna una fila y una
columna que no comparte con otra, no existen
colisiones entre reinas por filas o columnas.
Entonces debe analizarse la configuración para
revisar colisiones en las diagonales.
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Representación del Problema
Las diagonales se clasifican como positivas y
negativas. Cada diagonal se identifica con un
índice. Luego, dos reinas están en colisión si
uno de sus índices es igual para ambas.
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Representación del Problema
La información de la ubicación de las reinas en
las columnas, se representa en el vector de
configuración R. Así, el elemento R(i) indica la
columna en la que se ubica la reina i.
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Problema de las N Reinas
Para el tablero de 8X8, el vector R es 2 , 5
, 1 , 3 , 7 , 6 , 4 , 8
Reina 2 columna 5 diag. () 7 diag. (-) -3
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Modelo Matemático
Se minimiza el número de colisiones,
representadas por los elementos del conjunto A.
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Aplicación Computacional

• Se desarrolló una aplicación computacional, con
  las funciones
• Generación de la configuración inicial.
• Cálculo del número de colisiones
• (sin revisar todo el tablero).
• Evaluación del criterio de SA.
• Generación de una nueva configuración.

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Aplicación Computacional
Parámetros B 0.9 p 1.1 No 1n
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Aplicación Computacional

• Generación de una nueva configuración
• Intercambio de columnas entre dos reinas
  escogidas
• Aleatoriamente.
• Que pertenezcan a la lista de reinas en
  colisión.

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Resultados
Se muestra el promedio del número de iteraciones
para tableros hasta de 20.000.
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Resultados
Usando la aplicación se solucionó el problema
para tableros con 100.000 reinas. La solución se
encontraba en el nivel de temperatura 6.
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Conclusiones

• Se ilustró la aplicación del Simulated Annealing
  en un problema de optimización combinatorial
  clásico.
• Se solucionó el problema de las N Reinas para
  grandes tableros.
• Tableros mayores se pueden alcanzar con
  algoritmos especializados.