Econometra de Datos de Panel

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Econometría de Datos de Panel
Martín Gonzalez Rozada

• Lecture 2 Segundo Trimestre de 2009

Maestría en Economía Maestría en Econometría
2
Modelos de Panel Lineales

• Hasta ahora, hemos supuesto, como mínimo que no
  existía correlación entre el error del período y
  las variables explicativas del modelo.
• Para ciertos datos de panel este supuesto es
  demasiado fuerte. Hay varios casos en los que uno
  debiera esperar una correlación entre variables
  observables y no observables.

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Modelos de Panel Lineales

• Un ejemplo clásico de este problema es el del
  error de medición. Si la variable explicativa que
  observamos no se mide correctamente el disturbio
  de la ecuación contendrá este error de medición y
  por lo tanto estará correlacionado con la
  variable explicativa mal medida.
• Otro ejemplo posible es el de variable omitida.

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Modelos de Panel Lineales

• Justamente, uno de los usos más frecuentes de los
  datos de panel, es el de resolver los problemas
  de variables omitidas.
• Es fácil ver como los datos de panel nos pueden
  ayudar a resolver el problema de variables
  omitidas.
• Sean x(x1, x2,..., xk) e y variables aleatorias
  observables y c una variable aleatoria no
  observable.

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Modelos de Panel Lineales

• Usualmente, estamos interesados en estimar los
  efectos parciales de las variables explicativas
  observables sobre la variable dependiente.
• El Problema Asumiendo un modelo lineal,
• E(y x, c) ?0 x? c
• Estamos interesados en el vector ?. Si
  Cov(xj,c)?0 para algún j, no podemos estimar
  consistentemente el vector ?.

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Modelos de Panel Lineales

• En el contexto de datos de panel c recibe el
  nombre de componente no observable, efecto no
  observable o heterogeneidad no observable.
• Vamos a estudiar modelos que incluyan
  específicamente efectos no observables constantes
  en el tiempo.
• La solución al problema de variables omitidas en
  panel consiste simplemente en transformar el
  modelo para eliminar c y luego estimar.

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Modelos de Panel Lineales

• El modelo básico de efectos no observables puede
  escribirse como
• Yjt xjt ? cj ujt t1, 2,..., T
  (UEM)
• Donde xjt es 1xK, cj es el efecto individual o
  heterogeneidad individual y ujt es el error
  idiosincrático.
• Tradicionalmente, existen dos modelos basados en
  la discusión acerca de si cj puede tratarse como
  un efecto aleatorio o como un efecto fijo.

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Modelos de Panel Lineales

• Estas discusiones se centraban en si el efecto
  individual era una variable aleatoria o podía
  considerarse como un parámetro a ser estimado.
• Por lo tanto, en el análisis de panel tradicional
  cj se llama un efecto aleatorio cuando se lo
  trata como variable aleatoria y un efecto fijo
  cuando se lo trata como parámetro a ser estimado.

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Modelos de Panel Lineales

• Modernamente, la discusión ha cambiado y lo que
  se discute es básicamente si el efecto no
  observable está o no correlacionado con las
  variables explicativas observables.
• Ahora, efecto aleatorio es sinónimo de ausencia
  de correlación entre las variables explicativas
  observables y el efecto no observable
  Cov(xjt,cj)0, t1, 2, , T.

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Modelos de Panel Lineales

• En los trabajos empíricos cuando se dice que el
  modelo tiene un efecto aleatorio individual es
  porque se está asumiendo que no existe
  correlación entre las variables explicativas
  observables y el efecto no observable.
• Similarmente, el término efecto fijo, no quiere
  decir que cj se trate como no aleatorio, sino que
  implica que se permite la correlación entre cj y
  xjt.

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Exogeneidad Estricta de las Variables Explicativas

• E(yjt xj1, xj2, ...,xjT, cj) E(yjt xjt, cj)
  xjt? cj
• Con t1, 2, , T.
• Cuando la ecuación anterior se satisface, se dice
  que las variables explicativas son estríctamente
  exógenas condicionando en el efecto no
  observable.
• La condición de exogeneidad estricta puede
  establecerse en términos de los errores
  idiosincráticos usando el modelo (UEM).

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Modelos de Panel Lineales

• E(ujt xj1, xj2, ...,xjT, cj) 0, t1,2,...,
  T. (2)
• La ecuación (2) implica que las variables
  explicativas en cada período de tiempo no están
  correlacionadas con el error idiosincrático en
  cada período de tiempo
• E(xjs ujt) 0, s,t 1, 2, ..., T
  (3)
• Este supuesto es mucho más fuerte que el de
  ausencia de correlación contemporánea
• E(xjt ujt) 0, t 1, 2, ..., T.

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Modelos de Panel Lineales

• No obstante, note que (3) permite correlación
  arbitraria entre las variables explicativas
  observables y el efecto individual.
• Estimación del UEM con POLS
• Re-escribamos el modelo (UEM) como
• Yjt xjt ? vjt t1, 2,..., T (UEM.1)
• donde vjt ? cj ujt, t1, 2,..., T son los
  errores compuestos.

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Modelos de Panel Lineales

• De acuerdo a lo que hemos visto, sabemos que la
  ecuación anterior puede estimarse por OLS y
  obtener estimadores consistentes si E(xjtvjt)0,
  t1, 2, ,T.
• Esta última condición implica que estamos
  asumiendo que
• E(xjtujt) 0 y E(xjtcj) 0, t1, 2, ,T.
• Note que el supuesto restrictivo aqui es la
  segunda condición.

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Modelos de Panel Lineales

• En modelos de panel dinámicos la segunda
  condición no puede cumplirse porque la variable
  dependiente rezagada (i.e. yjt-1) y cj están
  necesariamente correlacionadas.
• Note que aún cuando las condiciones anteriores se
  satisfagan los errores compuestos estarán
  correlacionados debido a la presencia de cj en
  cada período temporal.

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Modelos de Panel Lineales

• Una consecuencia del punto anterior es que para
  realizar inferencia usando POLS se deben calcular
  los desvíos estándar de los coeficientes usando
  la ecuación (7).
• Otra consecuencia que afectará nuestro análisis
  más adelante es que como vjt depende de cj para
  todo t, la correlación entre vjt y vjt-s, sgt0 no
  decrece con s.
• En el lenguaje de las series temporales vjt no
  tiene dependencia débil a través del tiempo.

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Modelos de Panel Lineales

• Métodos de Efectos Aleatorios
• Como en el caso de POLS, los métodos de efectos
  aleatorios ponen a cj en el término de error.
• En general el análisis de efectos aleatorios
  necesita supuestos más fuertes que POLS
  exogeneidad estricta más ortogonalidad entre cj y
  xjt.

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Modelos de Panel Lineales

• Supuesto RE.1
• (a) E(ujt Xj, cj) 0, t 1, 2, T
• (b) E(cj Xj) 0, donde Xj(xj1, xj2,, xjT).
• Necesitamos (a) porque RE estima por GLS, debido
  a la correlación serial y como vimos antes GLS
  necesita exogeneidad estricta para conseguir
  estimadores consistentes.
• Bajo RE.1 podemos escribir el modelo como
• Yjt xjt ? vjt (RE1)

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Modelos de Panel Lineales

• Donde E(vjt Xj) 0, t 1, 2, T
• Note que esta última ecuación implica que xjt, t
  1, 2, T satisface el supuesto de exogeneidad
  estricta 1 en SGLS.
• Por lo tanto podemos aplicar GLS tomando en
  cuenta la estructura de la matriz de varianzas y
  covarianzas del error.
• Escribamos el modelo stacking sobre T.

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Modelos de Panel Lineales

• Yj Xj ? vj, donde vj cj jT uj y jT es un
  vector Tx1 de unos.
• Definamos la matriz de varianzas y covarianzas de
  los errores del modelo como
• ? ? E(vj vj), una matriz TxT positiva definida.
• Recuerde que esta matriz es la misma para todo j
  por el supuesto de muestra aleatoria.

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Modelos de Panel Lineales

• Para obtener estimadores consistentes por GLS
  necesitamos
• Supuesto RE.2 rango E(Xj ?-1Xj) K.
• Aplicando los resultados vistos antes para FGLS
  sabemos que podemos obtener estimadores
  consistentes y asintóticamente normales con N?? y
  usando una matriz ? general.
• Pero podemos hacerlo mejor porque conocemos la
  estructura de los errores.

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Modelos de Panel Lineales

• Los supuestos tradicionales de RE son
• (i) E(ujt2)?u2, t 1, 2, ...T
• (ii) E(ujt ujs) 0, para todo t?s.
• En este caso

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Modelos de Panel Lineales

• De la ecuación anterior tenemos
• Cuando ? tiene la forma (RE2) se dice que tiene
  la estructura de efectos aleatorios.
• Note que en este caso ? depende solo de dos
  parámetros ?c2 y ?u2, independientemente del
  tamaño de T.

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Modelos de Panel Lineales

• Para obtener estimadores eficientes necesitamos
  que
• (iii) E(vj vj Xj) E(vj vj)
• El siguiente supuesto implica (i), (ii) e (iii)
• Supuesto RE.3 (a) E(uj uj Xj, cj) ?u2 IT
• (b) E(cj2 Xj) ?c2.
• Bajo RE.3, ? tiene la forma (RE2).

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Modelos de Panel Lineales

• Implementación Necesitamos un estimador
  consistente de ?.
• Asumamos que tenemos estimadores consistentes de
  ?c2 y ?u2 entonces
• El estimador FGLS que usa (RE3) se conoce como
  estimador de efectos aleatorios.

26
Modelos de Panel Lineales

• El estimador anterior es consistente bajo RE.1 y
  RE.2.

27
Modelos de Panel Lineales

• Bajo el supuesto RE.3, el estimador de efectos
  aleatorios es eficiente.
• La matriz usual de varianzas-covarianzas de FGLS
  (9) es válida pero con dada por (RE3).
• Para poder implementar FGLS necesitamos las
  estimaciones consistentes de ?c2 y ?u2.
• Para esto definamos .

28
Modelos de Panel Lineales

• Bajo el supuesto RE.3(a),
  para todo j.
• Por lo tanto, un estimador consistente de de ?v2
  es
• Donde son los residuos de POLS.

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Modelos de Panel Lineales

• Para encontrar un estimador consistente de ?c2,
  recuerde que ?c2 E(vjtvjs), para todo t ? s.
• Un estimador consistente es entonces
• Con estos resultados podemos estimar
  consistentemente

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Modelos de Panel Lineales

• En la práctica, la ecuación para estimar ?c2 no
  garantiza una estimación POSITIVA.
• Si la estimación da negativa entonces eso es un
  signo de que existe correlación negativa en ujt
  lo que implica que RE.3 no se cumple.
• En este caso debieramos estimar FGLS sin
  restricciones.

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Modelos de Panel Lineales

• Si el supuesto RE.3 no se cumple es importante
  poder realizar inferencia estadística sin ese
  supuesto.
• Para ello, simplemente utilizamos la estimación
  robusta de la matriz de varianzas y covarianzas
  dada por la ecuación (8), reemplazando por

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Modelos de Panel Lineales

• Los errores estándar robustos se obtienen de la
  raíz cuadrada de la diagonal principal de (8), y
  el test de Wald robusto se obtiene con la
  fórmula
• Donde es la matriz de varianzas y
  covarianzas estimada en forma robusta.
• Bajo H0,

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Modelos de Panel Lineales

• Si los errores idiosincráticos ujt t1,2,...,T
  son heterocedásticos y/o tienen correlación
  serial, se debe utilizar un estimador de ? más
  general
• Donde son los residuos de POLS.
• Con N grande el estimador de FGLS más general es
  tan eficiente como RE.

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Modelos de Panel Lineales

• El estimador de FGLS más general es más eficiente
  que RE si E(vj vj Xj) ?, pero ? no tiene la
  estructura de efectos aleatorios.
• Por qué entonces no se usa siempre el modelo más
  general?
• Históricamente, la estructura de la matriz de
  varianzas y covarianzas de RE se consideró
  sinónimo de efectos no observables.

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Modelos de Panel Lineales

• Contraste por la presencia de un efecto no
  observable.
• Si los supuestos RE.1-RE.3 se cumplen pero no
  existe un efecto no observable, entonces POLS es
  eficiente y todos los estadísticos asociados a
  POLS son asintóticamente válidos.
• La ausencia de un efecto no observable es
  estadísticamente equivalente a H0 ?c2 0.

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Modelos de Panel Lineales

• El estadístico de contraste se basa en (RE4) y en
  la distribución asintótica de
• Que es esencialmente el estimador de ?c2 escalado
  por N1/2.
• Por el supuesto de exogeneidad estricta la
  distribución de (RE5) es la misma con los
  residuos de POLS que con los errores verdaderos.

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Modelos de Panel Lineales

• tiene distribución
  normal
• con varianza .
• Haciendo el cociente entre (RE5) y su error
  estándar tenemos un estadístico de contraste con
  distribución normal estandarizada.

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Modelos de Panel Lineales

• El estadístico (RE6) tiene la capacidad de
  detectar muchas formas de correlación serial en
  el error compuesto.

39
Modelos de Panel Lineales

• Tradicionalmente, el estadístico de contraste
  utilizado para detectar la presencia de efectos
  no observables es el estadístico del
  multiplicador de Lagrange (Breusch-Pagan, 1980).

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Modelos de Panel Lineales

• La hipótesis nula del test de Breusch-Pagan es la
  misma H0 ?c2 0. Y el estadístico es
• Bajo la hipótesis nula (BP) se distribuye como
  una ?12 siempre y cuando los errores tengan
  DISTRIBUCION NORMAL.

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Modelos de Panel Lineales

• Como (RE6) no hace ningún supuesto sobre la
  distribución de los errores compuestos es
  preferible a (BP).
• Métodos de Efectos Fijos
• Consideremos nuevamente el modelo (UEM)
• Yjt xjt ? cj ujt t1, 2,..., T (UEM)

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Modelos de Panel Lineales

• Como vimos, el procedimiento de RE para estimar ?
  es poner a cj en el término de error bajo el
  supuesto de que cj es ortogonal a Xj y luego
  tomar en cuenta la correlación serial del error
  compuesto usando GLS.
• En muchas aplicaciones, todo el punto de trabajar
  con datos de panel es permitir que cj y Xj estén
  arbitrariamente correlacionados.

43
Modelos de Panel Lineales

• Re-escribamos el modelo (UEM) como
• Yj Xj ? cj JT uj (FE1)
• Como siempre (FE1) representa a una muestra
  aleatoria obtenida del corte transversal.
• El modelo de efectos fijos asume exogeneidad
  estricta de las variables explicativas
  condicionadas en cj.

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Modelos de Panel Lineales

• Supuesto FE.1 E(ujt Xj, cj) 0, t 1, 2, T
• Note que este supuesto es exactamente el mismo
  que RE.1(a).
• La diferencia fundamental con RE es que no
  asumimos RE.1(b). Esto es, el análisis de efectos
  fijos permite que E(cj Xj) sea una función de
  Xj.
• Relajando el supuesto RE.1(b) podemos estimar en
  forma consistente efectos parciales en presencia
  de variables omitidas constantes en el tiempo.

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Modelos de Panel Lineales

• En este último sentido, el análisis de FE es más
  robusto que el de RE.
• Sin embargo, esta mayor robustez tiene un precio.
• No podemos incluir en xjt factores constantes en
  el tiempo.
• La idea detrás de la estimación de ? bajo el
  supuesto FE.1 es transformar (FE1) para eliminar
  el efecto no observable cj.

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Modelos de Panel Lineales

• Cuando tenemos por lo menos dos períodos
  temporales disponibles, existen varias
  transformaciones que logran eliminar cj.
• Nosotros trabajaremos con tres transformaciones
• (a) Efectos fijos (FE ó within transformation)
• (b) Diferencias finitas
• (c) Desviaciones ortogonales (forward
  orthogonal deviations)

47
Modelos de Panel Lineales

• Within Transformation
• La transformación de FE se obtiene promediando la
  ecuación (UEM) sobre t1,2,,T para obtener la
  ecuación de corte transversal

48
Modelos de Panel Lineales

• Restando (FE2) de (UEM) se obtiene

49
Modelos de Panel Lineales

• Con cj fuera de la ecuación es lógico pensar en
  estimar (FE3) por POLS.
• Recordemos que para obtener estimadores
  consistentes por POLS necesitamos que se cumplan
  los supuestos 1 y 2. Esto es
• Para cada t, (FE4) puede escribirse como

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Modelos de Panel Lineales

• Bajo el supuesto FE.1 de exogeneidad estricta
  (FE4) se cumple.
• Por lo tanto, POLS puede aplicarse.
• Note que el supuesto de exogeneidad estricta no
  puede relajarse a algo como exogeneidad
  contemporánea porque este último supuesto no
  garantiza que se cumpla (FE4).

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Modelos de Panel Lineales

• El estimador de efectos fijos, denotado por
  es el estimador POLS de la regresión de
• stacking sobre el tiempo (FE3) tenemos
• (FE5) puede obtenerse desde (FE1) utilizando la
  matriz time-demeaning QT.

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Modelos de Panel Lineales

• Definamos QT ? IT JT(JTJT)-1JT que es una
  matriz simétrica e idempotente de rango T-1.
• Note que QT x JT 0 QT x yj ÿj QT x Xj
• Para que el estimador de FE se comporte bien
  asintóticamente necesitamos la condición de rango
  estándar
• Supuesto FE.2

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Modelos de Panel Lineales

• Note que si xjt contiene algún elemento que no
  varía en el tiempo para cualquier j, entonces el
  elemento correspondiente en es idénticamente
  igual a cero. Como contendría una columna de
  ceros, el supuesto FE.2 no podría ser verdadero.
• Esto muestra explícitamente porque las variables
  constantes en el tiempo no están permitidas en el
  análisis.

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Modelos de Panel Lineales

• El estimador de FE puede expresarse como
• Este estimador recibe usualmente el nombre de
  within estimator porque utiliza la variación
  temporal dentro de cada corte transversal.

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Modelos de Panel Lineales

• Existe un segundo estimador de ? conocido como el
  between estimator.
• El between estimator consiste en aplicar OLS a la
  ecuación promediada en el tiempo (FE2)
• Este estimador NO es consistente bajo el supuesto
  FE.1 porque
• Para obtener un estimador consistente en (FE2)
  necesitamos asumir RE.1 y la condición de rango
  estándar.

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Modelos de Panel Lineales

• Inferencia Asintótica en FE
• El siguiente supuesto asegura que el estimador de
  FE es el más eficiente
• Supuesto FE.3 E(uj uj Xj, cj) ?u2 IT.
• El supuesto FE.3 es idéntico a RE.3(a).
• Como E(uj Xj, cj) 0 por FE.1, el supuesto
  FE.3 es igual a decir que Var(uj Xj, cj) ?u2
  IT.

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Modelos de Panel Lineales

• El supuesto FE.3 junto con el supuesto FE.1
  aseguran que la matriz de varianzas y covarianzas
  marginal del error compuesto tiene la estructura
  que vimos para RE, pero sin el supuesto RE.3(b).
• Este resultado que es importante para RE no tiene
  ninguna importancia para hacer inferencia bajo
  FE.

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Modelos de Panel Lineales

• Considere la ecuación (FE5)
• Para que POLS aplicado a esta ecuación resulte
  eficiente necesitamos que los errores sean
  homocedásticos y que no estén serialmente
  correlacionados en el tiempo.

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Modelos de Panel Lineales

• La varianza de üjt puede calcularse como
• Lo que verifica la homocedasticidad.

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Modelos de Panel Lineales

• Combinando las dos expresiones anteriores
  tenemos
• Corr(üjt, üjs) -1/(T-1)
• Lo que muestra que los errores transformados
  tienen correlación serial negativa.
• Para encontrar la varianza asintótica del
  estimador de FE escribamos (WE) de la siguiente
  manera

61
Modelos de Panel Lineales

• Donde se utilizó la siguiente relación
• Por el supuesto FE.3 E(uj uj Xj,cj) ?u2 IT.
• Por lo tanto

62
Modelos de Panel Lineales

• Y además
• Dado un estimador consistente de ?u2, la varianza
  asintótica puede ser estimada reemplazando la
  esperanza por su análogo muestral.

63
Modelos de Panel Lineales

• Los errores estándar asintóticos se obtienen con
  la raíz cuadrada de los elementos de la diagonal
  principal de (FE6).
• El único punto a tener en cuenta es la estimación
  de ?u2.

64
Modelos de Panel Lineales

• Note que sumando sobre t E(üjt2) obtenemos
  (T-1)?u2. Por lo tanto
• Definamos los residuos de FE como

65
Modelos de Panel Lineales

• Un estimador consistente de ?u2 es entonces
• Piense que uno podría haber conseguido un
  estimador para ?u2 aplicando el principio de
  analogía en (FE7) y reemplazar la esperanza por
  su análogo muestral.

66
Modelos de Panel Lineales

• Un punto a tener en cuenta es que el denominador
  de (FE8) NO son los grados de libertad que uno
  obtendría de aplicar POLS a la ecuación
  transformada por FE (FE5).
• La estimación de la varianza de los errores en
  (FE5) sería RSS/(NT-K).
• La diferencia entre esta útima estimación y (FE8)
  puede ser grande si T es chico.
• En general los errores estándar reportados
  directamente de (FE5) tienden a ser pequeños
  comparados con los verdaderos.

67
Modelos de Panel Lineales

• Bajo los supuestos FE.1-FE.3 restricciones
  múltiples en los coeficientes pueden ser
  contrastadas utilizando la fórmula estándar del
  test de Wald

68
Modelos de Panel Lineales

• El Modelo de Variables Binarias (LSDV)
• El enfoque tradicional de FE es ver a cj como
  parámetros a ser estimados.
• Si cambiamos el supuesto FE.2 a su versión de
  muestra finita el
  modelo satisface todos los supuestos de
  Gauss-Markov.
• Para estimar el modelo se definen N variables
  binarias, una para cada observación de corte
  transversal.

69
Modelos de Panel Lineales

• Luego se corre una regresión POLS de yjt sobre
  d1j, d2j, .., dNj, xjt,t1,2...,T j1,2,...N
• Los coeficientes que acompañan a las variables
  binarias son las estimaciones de los cj.
• El estimador obtenido de esta última regresión es
  exactamente igual al estimador de FE.
• Debido a esto, el estimador de FE recibe el
  nombre de estimador de variables binarias.

70
Modelos de Panel Lineales

• Los residuos del modelo LSDV son exactamente
  iguales a los de (FE5).
• Una ventaja del modelo LSDV es que produce el
  estimador correcto de la varianza de los errores
  porque usa como grados de libertad NT N K
  N(T-1) K.
• Un problema con el enfoque LSDV es que los
  estimadores de cj son insesgados pero no son
  consistentes.

71
Modelos de Panel Lineales

• El estimador de FE es consistente y
  asintóticamente normal si se cumplen FE.1 y FE.2.
• Si no se cumple FE.3, entonces (FE6) nos dará un
  estimador incorrecto de la matriz de varianzas y
  covarianzas de los estimadores.
• Si no se cumple FE.3, entonces debemos reemplazar
  (FE6) por una estimación robusta.

72
Modelos de Panel Lineales

• Aplicando los resultados ya vistos, podemos
  utilizar la ecuación (7) reemplazando los
  residuos por los estimados por FE.
• Los errores estándar de los estimadores de FE se
  obtienen de la raíz cuadrada de los elementos de
  la diagonal principal de (FE9).

73
Modelos de Panel Lineales

• En lugar de calcular una matriz de varianzas y
  covarianzas robusta para el estimador FE, se
  podría relajar el supuesto FE.3 para permitir una
  matriz no restringida general y aplicar GLS.
• Supuesto FEGLS.3 E(uj uj Xj, cj) ?, una
  matriz TxT definida positiva.
• Bajo FEGLS.3, E(üj üj ) E(üj üj) y
  usando el hecho de que üj QT uj, tenemos,

74
Modelos de Panel Lineales

• E(üj üj) QT?QT, que tiene rango T-1.
• Esto es un problema porque no podemos invertir
  esta matriz para obtener los estimadores GLS.
• Dos soluciones (i) trabajar con la inversa
  generalizada. (ii) eliminar un período temporal.
• Supongamos que eliminamos el período T. Entonces
  tenemos las siguientes ecuaciones

75
Modelos de Panel Lineales

• Podemos reescribir este sistema como si fuera
  (FE5) con la única diferencia que ahora los
  vectores y matrices tienen dimensión (T-1).

76
Modelos de Panel Lineales

• Definamos la matriz (T-1)x(T-1) ? ? E(üj üj)
• Para estimar ?, tenemos que estimar ? por FE en
  un primer paso. Después hay que eliminar el
  período T y construir los (T-1)x1 residuos
• Un estimador consistente de ? es

77
Modelos de Panel Lineales

• El estimador de FE por GLS se define como
• Donde las variables están definidas sin el último
  período temporal.
• Para obtener consistencia necesitamos una nueva
  condición de rango

78
Modelos de Panel Lineales

• Supuesto FEGLS.2
• Bajo FE.1 y FEGLS.2 el estimador de FEGLS es
  consistente.
• Adicionando el supuesto FEGLS.3, la matriz de
  varianzas y covarianzas asintótica se estima por

79
Supuestos

• Supuesto 1 E(Xj uj) 0.
• Supuesto 2. A ? E (XjXj) es una matriz no
  aleatoria y no singular. Es decir,
• RangoE (XjXj)K.
• 
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80
Supuestos

• Supuesto 3 (a) E(ujt2 xjt xjt) ?2 E(xjt
  xjt), t 1, 2, , T y ?2 E(ujt2) para todo t.
• (b) E(ujt ujs
  xjt xjs) 0, t?s, t,s 1, 2, , T.

81
Supuestos

• Supuesto 1. E(Xj ? uj) 0. Esto es, cada
  elemento de uj no está correlacionado con cada
  elemento de Xj.
• Supuesto 2. ? es positiva definida y
• E(Xj ?-1 Xj) no es singular. GO
  BACK

82
Supuestos

• Supuesto 3. E(Xj?-1ujuj?-1Xj) E(Xj?-1Xj),
  con ? ? E(ujuj).
• 
  GO BACK

83
Fixed Effects

• Transformación de FE
• 
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