Pure mathematicians do it in theory'

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7. Teoría de Residuos
Pure mathematicians do it in theory.
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Puntos singulares
Un punto singular z0 de una función f (z) es un
punto donde f (z) no es analítica.
Singularidad no aislada
Singularidad aislada
aisladas
no aislada
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Parte principal (Recordatorio)

• Supongamos que z z0 es una singularidad
  aislada de f(z) y que su serie de Laurent válida
  para 0 lt z z0 lt R es

Parte principal
Nota Observa que el desarrollo tiene como centro
al punto singular (por eso es válido en 0 lt z
z0 lt R).
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Singularidades aisladas
Hay dos tipos de singularidades aisladas polos
de orden m y esenciales. En ambos casos podemos
desarrollar la función f(z) en serie de Laurent
con centro en la singularidad z0 y la serie
convergerá para 0 lt z-z0 lt R.
Si z0 es un polo de orden m
La serie de Laurent se para en la m-ésima
potencia negativa
Si z0 es un singularidad esencial
La serie de Laurent es infinita en potencias
negativas
El centro z0 es un punto singular.
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Clasificación de las singularidades aisladas

• (i) Si la parte principal es cero, z z0 se
  denomina singularidad evitable.
• (ii) Si la parte principal contiene un número
  finito de términos, entonces z z0 se denomina
  polo. Si el último coeficiente es bm, m ? 1,
  entonces decimos que es un polo de orden m. Un
  polo de orden 1 se llama polo simple.
• (iii) Si la parte principal contiene infinitos
  términos, z z0 se denomina singularidad
  esencial.

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Ejemplos
Clasificar la singularidad de la función
La serie de Laurent con centro z0 0 es
simplemente el término 1/z , válida para 0 lt
zlt ? . z0 0 es un polo simple.
Clasificar la singularidad de la función
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Ejemplos
Clasificar la singularidad de la función
z0 0 es un polo de orden 3.
0ltzlt ?
Clasificar la singularidad de la función
z0 -i es una singularidad esencial.
0ltzilt ?
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Ejemplos

• z 0 es una singularidad evitable.

z 0 es un polo simple.
z 1 es un polo de orden 2.
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El punto z 0 es una singularidad aislada de f y
la serie de Laurent contiene infinitos términos.
Viendo el desarrollo, podemos decir que z 0 es
una singularidad esencial?
Dónde es válido el desarrollo anterior?
Es válido en para 1 lt z lt ??. Y necesitamos el
desarrollo para 0 lt z lt 1
Donde vemos que se trata de un polo simple.
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Ceros

• Decimos que z0 es un cero de f(z) si f(z0)
  0. Una función analítica tiene un cero de orden n
  en z z0 si

Ejemplo la función f(z) z sin z2 tiene un cero
de orden 3 en z 0.
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Observa que si las funciones f y g son analíticas
en z z0 y f tiene un cero de orden n en z
z0 y g(z0) ? 0, entonces la función F(z)
g(z)/f(z) tiene un polo de orden n en z z0. Por
ejemplo
El denominador tiene ceros de orden 1 en z 1 y
z -5, y un cero de orden 4 en z 2. Puesto que
el numerador no se hace cero en ninguno de estos
puntos, F(z) tiene un polo simple en z 1 y z
-5 y un polo de orden 4 en z 2.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Residuos
El residuo de una función f(z) en z z0 es el
coeficiente del término 1/(z-z0) en la expansión
en serie de Laurent de f(z) el coeficiente
b1.
Ejemplo
El residuo de f(z) en z z0 se denota como
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Porqué es importante el residuo?
Para f (z) analítica dentro de un anillo, tenemos
n 1
Así
Nos permite calcular integrales ...
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Ejemplo
Integrar la función en sentido positivo
para z 2.
punto singular z 1
centro
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Tomemos como centro z01
centro z01 punto singular
La serie de Laurent posee un sólo término.
como antes.
Why did the mathematician name his dog "Cauchy?"
Because he left a residue at every pole.
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Ejemplo Integrar la función en
sentido positivo para z3/2.
Por la Fórmula Integral de Cauchy
0
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Otro ejemplo Calcular
C is positively oriented circle z 2
1. Integrand is analytic everywhere except z 2
and z 0. Find Laurent series of f(z) in the
disk 0 lt z 2 lt 2 Residue of f at the
isolated singular point z0
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ALTERNATIVE METHOD Residue of f at the isolated
singular point 2 is the coefficient of 1/(z2).
Solve for A, B, C, D, E by setting coefficients
of z, z2, z3, z4 equal to 0. A E 0 (A(z 2)
Az)(z 2)3 2A(z 2)3 D 2A 0 ( 2A (z
2) 2A z)(z 2)2 4A (z 2)2 4A C 0 (
4A z 4A (z 2)) (z 2) 8A(z 2) B 8A
0 8A z 8A (z 2) 16 A 1 A 1/16, E
1/16
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Partial Fraction Expansion Review
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C is
positively oriented circle z 2
1. Integrand is analytic everywhere except z 2
and z 0. Find Laurent series of f(z) in the
disk 0 lt z 2 lt 2 Residue of f at the
isolated singular point z0
b1
All terms have positive exponents
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Observemos que el residuo nos permite calcular
integrales de funciones analíticas f (z) sobre
una curva cerrada C cuando f (z) tiene un punto
singular dentro de C.
donde b1 es el residuo de la serie de Laurent que
representa a f (z) alrededor de z0 en un anillo
que contiene a C.
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Ejemplo
Con C z 2 1.
La serie de Laurent de f(z) en 0 lt z 2 lt 2
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De dónde viene el nombre de residuo?
para todo n, excepto para n 1, que vale De
aquí el nombre de residuo.
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Es preciso hallar la serie de Laurent de f(z)
para calcular la integral?
No, si los puntos singulares z0 son polos. En
esos casos hay formas rápidas y simples de hallar
el residuo.

• Veremos
• Cómo hallar el residuo para un polo simple, z01,
  como en el caso
• 2. Cómo hallar el residuo para un polo de orden
  2, z01, como en el caso
• 3. Cómo hallar el residuo para un polo de
  cualquier orden ...

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Fórmula para hallar el residuo para un polo simple
Si f (z) tiene un polo simple en z0, la serie de
Laurent es
Situamos el centro en el punto singular
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Ejemplo
Hallar el residuo de
en zi
Comprobémoslo mediante la serie de Laurent
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Ejemplo
Hallar el residuo en los polos de
Comprobarlo a través de la de Laurent
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Fórmula para hallar el residuo para un polo de
orden 2
Si f (z) tiene un polo de orden 2 en z0, la serie
de Laurent es
derivando obtenemos
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Ejemplo
Hallar el residuo de
en z1
Comprobarlo a través de la serie de Laurent
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• Ejemplo f(z) 1/(z 1)2(z 3) tiene un polo
  simple en z 3 y un polo de orden 2 en z 1.
  Encontrar los residuos

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• Calcular con C z i 2.

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• Evaluar donde el contorno C
• es el círculo z 2.

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Fórmula para el residuo para un polo de cualquier
orden
Si f (z) tiene un polo de orden m en z0, la serie
de Laurent es
Derivamos m-1 veces. Cuando z?z0 obtenemos
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De otra manera...
Un punto singular aislado z0 de una función f es
un polo de orden m si y solo si f(z) puede ser
escrito en la forma donde f(z) es
analítica y no cero en z0. Entonces

y
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Demostración
f(z) tiene un polo de orden m en zz0
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Si f(z) tiene un polo de orden m en zz0 entonces
tiene una representación en serie de Laurent en
la región z-z0ltR
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Hemos visto que la integral de una función
analítica f (z) sobre una curva cerrada C cuando
f (z) tiene un punto singular z0 dentro de C es
donde b1 es el residuo de f (z) en z0
C
El teorema del residuo generaliza este resultado
Sea f (z) una función analítica dentro y sobre
un camino cerrado C, excepto para k puntos
singulares dentro de C. Entonces
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• Evalúa donde(a) El contorno C
  es el rectángulo definido por x 0, x 4, y
  -1, y 1.(b) El contorno C es el círculo z
  2.

(a)
(b)
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• Ídem con C z 2.

Observa que z 0 es un polo de orden 3
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Demostración del teorema del residuo
Rodeemos todos los puntos singulares con los
círculos C1, C2, ? Ck.
C1
Ck
C2
f (z) es analítica en C y aquí dentro excepto en
los k puntos singulares.
Por el teorema integral de Cauchy para regiones
múltiplemente conexas
Las integrales a lo largo de cada uno de esos
pequeños círculos son el residuo en cada punto
singular dentro del círculo, por tanto
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Ejemplo
Integrar la función sobre
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C z 1.
Calcular

• z 0 es una singularidad esencial, así que no
  nos queda más remedio que calcular la serie de
  Laurent alrededor de z 0, que nos proporciona
  como residuo Res(f, 0) 3.

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Otra fórmula útil para calcular el residuo en un
polo simple cuando f (z) es una función racional
f(z) p(z)/q(z) es
Demostración
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Examen JUNIO 02/03 P-1
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(No Transcript)
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• C z 2.

tan z sin z / cos z tiene polos simples en los
puntos donde cos z 0 z (2n
1)?/2, n 0, ?1, ?2, Pero solamente -?/2 y ?/2
están dentro del círculo
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2. Calcular la integral
siendo C z i 3/2, simple y orientado
positivamente.
Respuesta.
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z1 es un polo simple
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z3 es un punto singular esencial
f(z) se representa por potencias pares positivas
y negativas de z. El coeficiente c-1 es cero.
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(No Transcript)
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f analítica dentro y sobre C, excepto en el punto
singular aislado z0i
Examen JUNIO 04/05 P-1
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Examen JUNIO 04/05 P-1
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Luego es
Y entonces
Examen SEPTIEMBRE 02/03 P-1
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Examen SEPTIEMBRE 02/03 P-1
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c) Calcular el valor de la integral
siendo G la curva z 1/5 con orientación
positiva.
Respuesta.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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c) Calcular la integral
siendo C z 4, orientado en sentido positivo.
Respuesta.
C z 4 ? Circunferencia de centro z 0 y
radio 4 orientada positivamente.
analítica sobre C y su exterior (apartado b)
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g(z) analítica en z 0
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z 0 es un polo de orden 2
z 0 singularidad evitable de F(z)
ResF(z), z 0 0
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b) (3 puntos) Calcular el valor de la integral
siendo C z 2, orientado positivamente.
Respuesta.
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Por el teorema del residuo en el infinito
C
C2
C1
z4
Re(z)
z-1
z3
z-3
C3
Por el teorema de Cauchy-Goursat en dominios
múltiplemente conexos
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Residuo logarítmico
Sea una función f(z) analítica dentro y sobre un
contorno cerrado simple C, orientado
positivamente, tal que no tenga ceros sobre él,
pero con posiblemente un número finito de ceros
en su interior. Si z0 es uno de ellos, entonces
es un punto singular aislado del cociente
f'(z)/f(z). El residuo de este cociente en z0 se
denomina residuo logarítmico de f(z) en z0, ya
que
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Supongamos que z0 es un cero de f(z) de orden m0,
entonces en algún entorno de z0 podemos escribir
con g(z) analítica en dicho entorno y g(z0) ? 0.
Derivando y dividiendo entre f(z)
Analítico en z0
Tiene un polo simple en en z0 con residuo m0
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Denotemos por Nf la suma de las multiplicidades
de todos los ceros de f(z) dentro de C
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Polos de f(z)
Examen SEPTIEMBRE 02/03 P-1
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(No Transcript)
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(No Transcript)