Presentacin de PowerPoint

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INTERNATIONAL CONGRESS OF MATHEMATICIANS Madrid
2006
From the Riemann Integral to the Fundamental
Theorem of Calculus an approach with Applet
Descartes
Autor Eduardo Tellechea Armenta Departamento de
Matemáticas Universidad de Sonora
Universidad de Sonora
24/08/06
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Objetivo General Potenciar el uso de la
tecnología, particularmente del APPLET DESCARTES,
en la enseñanza del concepto de Integral,
mediante el diseño de ambientes computacionales
interactivos que permitan ir más allá de la
graficación tradicional y pasar al campo de la
visualización dinámica, donde las
representaciones gráficas adquieran nuevos
significados. Objetivo particular Presentar un
enfoque gráfico para el estudio de la Integral
como función del extremo superior, transitando
gradualmente desde las sumas de Riemann hasta el
Teorema Fundamental del Cálculo. El trazo de la
Función Integral y la interacción que se
establece entre el estudiante y el software, es
aprovechado para extraer, de la representación
dinámica, la relación entre la función y su
integral.
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Sumas de Riemann Iniciamos nuestro estudio
presentando al estudiante un Applet que grafica y
calcula Sumas de Riemann. Es posible modificar
libremente la función, los extremos del intervalo
de integración y el número de subdivisiones de la
partición. En todo el trabajo, con el fin de
facilitar la comprensión del concepto, se hará
uso de las más sencillas funciones integrables
que aparecen en el Cálculo.
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Sumas de Riemann para funciones Discontinuas
Sumas de Riemann para una función continua nunca
derivable.
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La Integral como función del extremo superior
El objetivo de estas actividades es que el
estudiante se familiarice con la integral como
una función del extremo superior e
interactuando con la computadora, pueda
descubrir de manera visual las condiciones bajo
las cuales la integral resulta una función
continua o derivable, teniendo así un primer
acercamiento gráfico al Teorema Fundamental del
Cálculo.
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La Integral de funciones lineales
El objetivo de esta actividad es que el
estudiante explore, el comportamiento de la
integral de una función lineal y conjeture sobre
la relación entre ambas funciones.
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La Integral de funciones escalonadas
El objetivo de esta actividad es que el
estudiante explore, la integral de funciones
escalonadas y descubra que su función integral es
continua, así como que la pendiente de cada
segmento lineal, de la integral, es la altura del
escalón
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La Integral de funciones seccionalmente lineales
El objetivo de esta actividad es que el
estudiante explore, en casos sencillos, funciones
continuas y discontinuas con el fin de conjeturar
sobre el comportamiento de la función integral en
cada uno de estos casos.
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Un Trazador de la Función Integral En la gráfica
se muestra la construcción de un trazador de la
función Integral. A medida que la función
escalonada se aproxima a la función, la
correspondiente integral de la función
escalonada, se aproxima a la Integral de la
función f.
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Observe que cuando N es muy grande, la integral
de la función escalonada es aproximadamente igual
a la FUNCIÓN INTEGRAL de f.
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La Función Integral de funciones discontinuas
Construcción de la Integral de una función con
discontinuidades de salto
Construcción de la Integral de una función con
discontinuidad removible
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La Función Integral de una función continua en R
y diferenciable en ninguna parte .
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Construcción gráfica de la RECTA TANGENTE a la
función Integral
Visualmente podemos considerar a esta recta como
la tangente a la gráfica de la Integral, si N
toma un valor muy grande. En la figura N100
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Demostración Visual del Teorema Fundamental del
Cálculo
f(x)
x
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Visualización de la Regla de Barrow
Observe que en general, si g(x) satisface g(x)
f(x), entonces

es decir, obtenemos LA REGLA DE BARROW

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Algunas generalizaciones del T.F.C.
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(No Transcript)
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f(x) sgn(x)
g(x) x gs(x) sgn(x)
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Referencias ABREU, J.L. OLIVERÓ, M. (2003)
Applet Descartes (software), Ministerio de
Educación Cultura y Deporte de España. PROYECTO
DESCARTES, Página web http//descartes.cnice.mec.
es/ TELLECHEA, A.E. (2004), El Applet Descartes
en el diseño de actividades interactivas de
Matemáticas Notas de curso para profesores.
Departamento de Matemáticas de la Universidad de
Sonora. BOTSKO M., GROSSER R. (1986) Stronger
versions of The Fundamental Theorem of
Calculus American Mathematical Monthly, Vol. 93,
Issue4, pag 294-296