Mtodos Iterativos para la ecuacin fx0

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Métodos Iterativos para la resolución de
ecuaciones en una variable
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Métodos Iterativos para la ecuación f(x)0

• Estimación inicialx0 tal que f(x0) _at_ 0
• Proceso iterativo
• x1, x2,..., xk,? x f(x)0
• Criterio de parada
• f(xk) lt tol ó
• dk xk1 - xk lt tol

• Tipos de convergencia
• Error del paso kek xk - x ? xk - xk-1
• Convergencia linealek1 / ek cte
• Convergencia cuadrática ek1 / ek2
  cte

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Método de Bisección

• Determinar un intervalo a,b tal que f(a) tiene
  signo distinto de f(b) y f continua en a,b.
• Hallar el punto medio c del intervalo.
• Elegir, entre a,c y c,b, un intervalo en el
  que la función cambie de signo.
• Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir un
  intervalo con la precisión deseada (f(c) lttol)
• (Clave Teorema de Bolzano)

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Teorema de Bolzano

• Sea fA???? continua
• y sean a,b?A
• con f(a)f(b) lt 0.
• Entonces, existe
• c ?a,b con f(c) 0.

f(a)
b
a
f(b)
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Algoritmo de Bisección

• c (ab)/2
• if f(a)f(c)lt0 elige a,c
• bc
• end
• if f(c)f(b)lt0 elige c,b
• ac
• end

Teorema El método de la bisección genera una
sucesión xn que converge a una raíz ? de f
con ?xn- ? ?? (b-a)/2n.
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Método de Regula-Falsi

• Determinar un intervalo a,b tal que f(a) tiene
  signo distinto de f(b).
• Hallar el punto c que divide el intervalo a,b
  en partes proporcionales a f(a) y f(b). Sea

• Elegir, entre a,c y c,b, un intervalo en el
  que la función cambie de signo.
• Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la
  precisión deseada.

a
b
c
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Bisección Regula Falsi

• Convergencia lineal de razón 1/2.
• Cota de la raíz (b-a)/2n.
• La aproximación obtenida puede ser peor que la
  del paso anterior.

• Más rápido al principio.
• Convergencia lineal.
• Error estimado por xn-xn-1
• Se aproxima a la raíz por un lado.

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Método del Punto Fijo

• Transformar la ecuación f(x) 0 en una
  ecuación equivalente de punto fijo x g(x).
• Tomar una estimación inicial x0 del punto fijo x
  de g x punto fijo de g si g(x) x.
• Para k1, 2, 3, hasta que converja, iterar
  xn1 g(xn).

• Teorema del punto fijo Sea ga,b ? a,b
  continua, entonces a) g posee almenos un punto
  fijo.
• b) Si además ?g(x)?? klt1, ?x ?a,b,
  entonces el punto fijo es único y si tomamos x0
  ?a,b, la sucesión xn1 g(xn) converge al
  punto fijo de g(x).

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Convergencia del Método del Punto Fijo

• Aplicar el método del punto fijo a
• g(x) cos x, x0
• g(x) 2/x2, x01
• g(x) sqrt(2/x) , x01
• y analizar los resultados.
• Sugerencia Usar la orden
• ITERATES(g(x), x, x0, n)
• de DERIVE y comparar los dos últimos con 2(1/3).

• Tomando x0 cercano al punto fijo x
• si g(x) lt 1 los iterados convergen
  linealmente a x.
• si g(x) gt 1 los iterados no convergen a x.
• si g(x) 0 los iterados convergen
  cuadráticamente a x.

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Algoritmo de Punto Fijo

• Datos
• Estimación inicial x0
• Precisión deseada tol
• Tope de iteraciones maxiter
• Proceso mientras no converja repetir
• Nueva estimación x g(x0)
• Incremento incr x - x0
• Actualización x0 x
• Resultado
• Estimación final x

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Método de Newton

• Ecuación de la tangente
• Intersección con OX
• Paso genérico

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Convergencia del método de Newton

• Newton como iteración de punto fijo
• Derivada de la función de iteración
• Convergencia cuadrática

• Ventaja converge cuadráticamente si
• la estimación inicial es buena
• no se anula la derivada
• Inconveniente usa la derivada
• coste de la evaluación
• disponibilidad

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Algoritmo de Newton

• Datos
• Estimación inicial x
• Precisión deseada tol
• Tope de iteraciones maxiter
• Proceso mientras no converja repetir
• Incremento incr - f(x)/f(x)
• Nueva estimación x x incr
• Resultado
• Estimación final x

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Método de la secante

• Ecuación de la secante
• Intersección con OX
• Pendiente

(x0,f(x0))
f(x)
x1
x0
x2
(x1,f(x1))
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Algoritmo de la secante

• Datos x0, x1, y0
• Calcular y1 f(x1)
• Calcular incr -y1(x1-x0)/(y1-y0)
• Nueva estimación x2 x1 incr
• Actualizar para el paso siguiente x0x1
  y0y1 x1x2

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Newton versus Secante

• El método de Newton, cuando converge, lo hace
  cuadráticamente, a costa de evaluar la derivada
  en cada paso.
• Sin usar la derivada, el método de la secante
  proporciona convergencia superlineal.
• Las ecuaciones polinómicas pueden resolverse por
  el método de Newton, puesto que la derivada se
  obtiene fácilmente.