Probabilidad, Funciones de onda y la interpretacion de Copenague

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Probabilidad, Funciones de onda y la
interpretacion de Copenague

• Si las partículas son ondas qué es lo que
  ondula ?
• 
  Probabilidad
• La funcion de onda permite establecer la
  probabilidad de encontrar una partícula en un
  dado momento y un dado lugar del espacio.
• La probabilidad de encontrar la particula en
  alguna parte tiene que ser 1. La función de
  onda debe ser normalizada.

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La ecuación de Schrödinger

• La ecuacion de onda de Schrödinger para una
  particula de masa m en un entorno de energía
  potencial V en una dimension es
• i es la unidad imaginaria.
• La ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo
  es la ecuación fundamental de la Mecánica
  Cuántica.

Donde V V(x,t)
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La ecuación de autovalores de Schrödinger

• El potencial a veces no depende del tiempo, y la
  dependencia de y en el tiempo y el espacio se
  puede separar. Entonces queda
• ahora dividimos por la función y(x) f(t)

El lado izquierdo depende solo de t, y el derecho
solo de x. Por lo tanto, cada lado tiene que ser
constante !!
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La ecuación de autovalores de Schrödinger
Integramos en ambos lados donde C es la
constante de integracion (ponemos cero). Por lo
tanto
Si recordamos la solución de la partícula
libre en que f(t) e -iw t, asi que w B /
h, lo que significa que B E ! Entonces,
multiplicando por y(x), la ecuación de
Schrödinger solo dependiente del espacio (no del
tiempo) queda
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La ecuación de autovalores de Schrödinger
Esta ecuacion se llama de autovalores o la
ecuacion de Schrödinger independiente del
tiempo Es tan fundamental como la otra, pero ha
generado errores en muchos cursos de cuántica
Esta ecuación solo aplica en casos
estacionarios. Para simplificar, se escribe
asi donde
Es el operador Hamiltoniano.
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H Es el operador Hamiltoniano.
que es un operador ?
Un operador opera sobre una funcion y da como
resultado otra funcion. Los operadores útiles son
cosas que uno puede medir, observables. Ejemplo
Este operador, deriva una funcion respecto de
t, divide por la misma funcion y multiplica por
ih
Este es el operador hamiltoniano.
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Valor medio

• Si medimos una magnitud repetidas veces, o
  medimos un conjunto grande de partículas,
  obtenemos el promedio de esa magnitud. Llamado
  valor medio o expectation value en ingles.
  El valor medio de la posición x es

Eso era para x discreto, si x es continua, hay
que integrar
Y esto da
Para cualquier funcion de x, por ejemplo g(x)
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La partícula en la caja

• La particula en la caja consiste en un electron o
• algo así que está encerrado en una caja de
• paredes indestructibles y durísimas. La energía
• potencial dentro de la caja es cero, y en la
  pared
• sube a infinito punto rojo
• La función y debe caer a cero donde el potencial
  es ?.
• Dentro de la caja V0 y la funcion de Schrödinger
  vale
• La solución general es
  pero ...

x
0
L
donde
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hay ciertas restricciones

• Las condiciones de borde del potencial V
• hacen que y tiene que ser cero a x 0 y a x
  L. Esto hace que solo valgan las
• soluciones con n entero, como kL np.
• La funcion de onda es
• La normalizamos
• y la y normalizada es

x
0
L
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La Energía esta cuantizada

• Los valores de k válidos en estado estacionario
  son
• Si se calcula la Energía da
• La energía depende del valor de n y no puede ser
  cero.
• El caso especial de n 1 recibe el nombre
• de estado basal.

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De la partícula cuántica a la partícula clásica
que se mueve de un lado al otro
Se debe usar la ecuacion de Schrödinger completa,
la que depende del tiempo (ya que queremos que
la partícula se mueva de un lado a otro). La
resolución da una superposi ción de ondas, que se
vuelve las grande donde hay mayor probabilidad de
encontrar la partícula a un determinado t.
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El principio de incertidumbre de Heisemberg
Dx es la indeterminación en la posición x
Dp es la indeterminación en el momento pmv
No se puede conocer la posición y el momento de
una partícula simultáneamente y con la máxima
precisión en ambas magnitudes.
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De nuevo la paradoja EPR
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Caja con paredes fragiles.

• El pozo de potencial finito es

La ecuacion de Schrödinger fuera del pozo, en las
regiones I y III es
Da
haciendo
Considerando que la funcion debe ser cero en el
infinito, las soluciones son
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Pozo de potencial finito (caja fragil)

• Adentro del pozo, donde el potencial V0, la
  funcion vale
• donde
• La solución aca es
• Las condiciones de borde
• requieren que
• asi la funcion es suave
• donde las regiones se
• encuentran.
• Fijarse que la funcion
• no es cero fuera de
• la caja !!!

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Profundidad de penetración

• Es la distancia fuera del
• pozo de potencial a la
• cual la probabilidad de encontrar la partícula y2
• se hace muy pequeña.
• Esto viola lo conocido
• por la mecánica clásica !
• No hay forma de encerrar completamente ninguna
  cosa.

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Efecto tunel

• Supongamos una partícula que no tiene energía
  suficiente para penetrar una barrera de potencial
  como la de la figura, E lt V0.

La mecánica clásica dice que no pasa. La
cuántica dice que puede pasar con probabilidad no
nula !! La función de onda en la región II
vale La probabilidad de que la partícula pase
del otro lado de la barrera es
donde
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Tuneleo e incertidumbre
Se puede considerar que el tuneleo es una
manifestación mas del principio de incertidumbre.
DE. Dt gt h La partícula puede violar la
conservación de energía en una cantidad DE por un
tiempito del orden de Dt h / DE.
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Oscilador armónico
Para un potencial cuadrático Lo ponemos en
la ecuacion de autovalores de Schrödinger
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Oscilador armónico
Las soluciones son de la forma donde
Hn(x) son los Polinomios de Hermite de orden n.
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Mas extrañezas

• En un movimiento armónico clasico (pendulo), la
  probabilidad de encontrar la partícula en los
  bordes es mayor que en el centro (pasa mas tiempo
  cerca del borde, donde se mueve despacito).
• Es todo lo contrario en la resolución cuántica, a
  bajas energías.

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La extraña probabilidad se va !!
A medida que aumenta el número cuántico, la cosa
se va pareciendo al límite clásico.
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Colapso de la funcion de onda. Superposicion de
estados y decoherencia cuántica. Entangling Gatos
Muertos vs. Gatos vivos Trucos con la doble
rendija de siempre.
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(No Transcript)