Eliminacin de variables para diagramas de influencia con nodos super valor

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Eliminación de variables para diagramas de
influencia con nodos super valor

• Manuel Luque Gallego
• Proyecto Elvira II
• San Sebastián
• 19-21 de Mayo de 2004

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Índice

• Introducción
• Problema
• Eliminación de variables para DI con nodos SV
• Ejemplo de evaluación
• Conclusiones
• Perspectivas futuras y Elvira

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Introducción

• Diagramas de influencia
• Comunicación entre analistas de decisiones y
  expertos
• Evaluación directa
• Representación compacta de la estructura
  probabilista
• Éxito en ámbitos médicos

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Introducción

• Problema médico Carcinoma pulmonar no microcítico

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Introducción

• Evaluación de DI
• MEU ?C0 maxD1 ?C1 maxD2 ... maxDn ?Cn p(CD)V
• Eliminación Ci ?
• Eliminación Di max
• Secuencia de eliminación legal según lt.
• Separabilidad
• Aplicar operadores a parte de nuestra función de
  valor
• Reducción de la dimensionalidad de las
  operaciones
• Aparición en los DI de los nodos super-valor

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Introducción

• Explotación de la separabilidad de la función de
  utilidad en el problema del carcinoma pulmonar no
  microcítico

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Problema planteado

• Posibilidades de evaluación
• Opción A Algoritmos para DI sin nodos SV
• Opción B Algoritmo de Tatman y Shachter para DI
  con nodos SV
• Opción A (Eliminación de variables para DI)
• Ventaja Eficiencia del algoritmo para DI
• Inconvenientes
• Pérdida de la separabilidad de la función de
  valor
• Determinación de las variables requeridas

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Problema planteado

• Inconvenientes de la opción A
• Pérdida de la separabilidad de la función de
  valor
• Suma (o producto) implícita de los nodos de valor
• Potenciales de utilidad de mayor tamaño

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Problema planteado

• Inconvenientes de la opción A
• Determinación de las variables requeridas
• Eliminación según orden total ? Eliminar A
• Eliminación de A une V1 y V2

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Problema planteado

• Inconvenientes de la opción A
• DI tras la eliminación de A ? Aparecen como
  requeridas variables que no lo eran (en este caso
  B)

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Problema planteado

• Opción B (Algoritmo de Tatman y Shachter)
• Ventaja Conservación de la separabilidad de la
  función de valor
• Inconvenientes
• Ineficiencia de la inversión de arcos
• Pronta destrucción de la estructura de nodos
  super-valor en algunos casos
• Determinación de las variables requeridas

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Problema planteado

• Inconvenientes de la opción B
• Ineficiencia de la inversión de arcos

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Problema planteado

• Inconvenientes de la opción B
• Pronta destrucción de la estructura de nodos
  super-valor

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Problema planteado

• Inconvenientes de la opción B
• Tras eliminar A y proceder a eliminar D ésta
  requerirá B, cuando no debería

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Objetivos
• Eliminar la necesidad de invertir arcos
• Mantener el máximo tiempo posible la
  separabilidad de la función de valor
• Mejora en la determinación de las variables
  requeridas
• Potenciales de utilidad de menor tamaño
• Mejora en la explicación del razonamiento

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Planteamiento del problema Evaluación
• MEU ?C0 maxD1 ?C1 maxD2 ... maxDn ?Cn p(CD)V
• Eliminación Ci ?
• Eliminación Di max
• Secuencia de eliminación legal según lt.
• Matriz p(CD)V
• V puede presentar y anidados

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Ejemplo
• MEU ?B maxD ?A F1(A) F2(B) (U1(A)(U2(A,
  D)U3(B)))
• Matriz F1(A) F2(B) (U1(A)(U2(A, D)U3(B)))
• Eliminar A
• Sacar factor común F2(B)
• Dificultad de análisis con esta representación
• Representación unívoca de la matriz a través de
  un árbol

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Representación en árbol
• Dos tipos de nodos en el árbol
• Operandos Potenciales de probabilidad y de
  utilidad
• Operadores y
• La raíz del árbol inicial siempre es un
• Hijos de la raíz son los potenciales de
  probabilidad y la estructura de nodos de valor

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Evaluación
• Eliminación de variables se traduce en
  transformaciones sobre el árbol
• Dificultad
• Estudio de las transformaciones lícitas a
  realizar sobre el árbol
• Estudio de la aplicación de los operadores ?A y
  maxD al árbol

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Operaciones lícitas a realizar sobre el árbol
• Operaciones de compactación
• Secuencia de operadores del mismo tipo

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Operaciones lícitas a realizar sobre el árbol
• Operaciones de compactación
• Reducción de nodos operadores con hijos operandos
  hoja

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Operaciones lícitas a realizar sobre el árbol
• Aplicación de la propiedad distributiva
• Son transformaciones de equivalencia aplicables
  en cualquier subárbol

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Eliminación de A aleatoria
• Comportamiento de ?Acon el
• ?A F1 F2
• ?A F1 ?A F2
• La aplicación del operador ?A a un árbol supone
  aplicarlo a cada uno de sus hijos

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Eliminación de A aleatoria
• Aplicación del operador ?A a los potenciales hoja
  ? Marginalizar el potencial en A
• Comportamiento de ?Acon el , si F1 no depende de
  A y F2 sí depende de A
• ?A F1 F2 F1 ?A F2

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Problema de la eliminación de A aleatoria con el
  
• Necesidad de que sólo una rama del dependa de A
  para poder aplicar recursivamente el operador ?A

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Resolución del problema de la eliminación de A
  aleatoria con el
• Suposición de árbol factorizado ? Hijos de son
  o bien potenciales hoja gracias a la
  aplicacación de las propiedades de compactación
• Objetivo Reducción del número de ramas
  dependientes de A en los
• Reducción del número de ramas dependientes de A a
  través de la compactación de potenciales hoja
  hijos de dependientes de A

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Resolución del problema de la eliminación de A
  aleatoria con el
• Reducción del número de ramas dependientes de A a
  través de la aplicación de la propiedad
  distributiva entre ellas

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Árbol obtenido tras aplicar la propiedad
  distributiva

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Propiedad distributiva en la resolución del
  problema de la eliminación de A aleatoria con el
  
• Decidir qué distribuir y respecto a qué dos
  ramas
• Optimizaciones
• Distribuir siempre los de mayor profundidad en
  el árbol
• Realizar todas las compactaciones posibles antes
  de distribuir y tras distribuir
• Justificación de las optimizaciones
• Son cálculos que aunque se pospongan siempre
  habrá que realizarlos
• Posponerlos puede llevar a tener que repetirlos
  en varias partes del árbol

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Ejemplo de por qué no se ha de posponer la
  compactación
• Desarrollamos sólo un sumando en producto de
  sumas para preservar al máximo la estructura

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Ejemplo tras aplicar distributiva

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Eliminación de D decisión
• Aplicación del operador maxD a los potenciales
  hoja ? Marginalizar el potencial en D
• Comportamiento del maxD con un operador ( ó )
• maxDF1op F2 F1 op maxDF2
• si F1 no depende de A y F2 sí depende de A
• Sólo se puede aplicar recursivamente el operador
  maxD si hay una sola rama dependiente de D
• Unir todas las ramas dependientes de D en una
  sola, reducirla en un potencial hoja y aplicar el
  operador maxD

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Ejemplo de eliminación de decisión (I)

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Ejemplo de eliminación de decisión (II)

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Ejemplo de eliminación de decisión (III)

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Ejemplo de eliminación de decisión cuando más de
  una rama depende de la decisión

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Ejemplo de eliminación de decisión cuando más de
  una rama depende de la decisión
• Necesidad de reducir las ramas dependientes a una
  sola

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Eliminación de variables para DI con nodos SV

• Procedimiento general
• Determinar el orden de eliminación de variables
• Construir el árbol equivalente a la matriz y
  factorizarlo
• MIENTRAS queden variables por eliminar
• Sea X la variable a eliminar
• SI X es variable aleatoria
• Aplicar sucesivamente el proceso de compactar
  hojas y distribuir en relación a X hasta que no
  queden nodos que distribuir
• Marginalizar en A en las hojas del árbol
  dependientes de A
• Si X es decisión
• Determinar el menor subárbol que abarque todas
  las ramas dependientes de D
• Reducir a una hoja dicho subárbol
• Maximizar en D dicho potencial hoja
• FIN MIENTRAS
• Corrección y terminación del algoritmo

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Ejemplo de evaluación

• MEU ?B maxD ?A F1(A) F2(B) (U1(A)(U2(A,
  D)U3(B)))
• Matriz F1(A) F2(B) (U1(A)(U2(A, D)U3(B)))

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Ejemplo de evaluación

• Eliminar A
• Aplicar distributiva en el nodo raíz (único a
  distribuir)

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Ejemplo de evaluación

• Eliminar A
• Compactar tras distribuir
• Marginalizar en las hojas

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Ejemplo de evaluación

• Eliminar D
• Reducir subárbol con más de una rama

43
Ejemplo de evaluación

• Eliminar D
• No ha sido necesario reducir ningún subárbol
• La estrategia óptima para D no ha dependido de B

44
Ejemplo de evaluación

• Eliminar B
• Aplicar distributiva en el único nodo a
  distribuir (raíz)

45
Ejemplo de evaluación

• Eliminar B
• Compactar tras distribuir
• Marginalizar en las hojas

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Conclusiones

• Se ha evitado la carga computacional de la
  inversión de arcos
• La separabilidad de la función de valor se
  preserva el máximo tiempo posible
• Realiza una menor destrucción de la estructura de
  nodos de valor que el algoritmo de Tatman y
  Shachter
• Sólo aplica la distributividad cuando es
  necesario y a las ramas imprescindibles
• Potenciales de un tamaño menor durante la
  evaluación
• Mejora en la determinación de las variables
  requeridas
• No es necesario eliminar redundancia antes de
  comenzar la evaluación
• Variables requeridas para cada decisión son en el
  peor caso las mismas que con el algoritmo de
  Tatman y Shachter y un subconjunto en otros casos
  (ver ejemplo)
• Lo mismo le sucede respecto al algoritmo de
  eliminación de variables de Jensen tradicional

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Perspectivas futuras y Elvira

• Situación actual de la eliminación de
  redundancia en Elvira
• Realizada antes de la evaluación a través del
  algoritmo de Faguiouli y Zaffalon
• Método de eliminación de variables de Jensen
  tradicional con unión de los nodos de utilidad
• En este momento DI con nodos SV son evaluados con
  algoritmos para DI sin nodos SV
  (ReductionAndEvalID)
• Incorporación del algoritmo propuesto a Elvira
  (VariableEliminationSV)
• Estudio de mejoras en la aplicación de la
  distributividad
• Selección de las ramas a distribuir
• Reestructuración previa de las ramas antes de
  distribuir para conseguir mayor factorización
  tras ella (agrupar ramas no dependientes de la
  variable a eliminar)
• En la implementación el árbol se transforma en
  grafo dirigido para conseguir un ahorro en
  memoria tras distribuir (el ahorro en tiempo ya
  lo daba la compactación) al compartir subárboles