Transpocicin Didctica de la nocin de Probabilidad

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Transpocición Didáctica de la noción de
Probabilidad

• Universidad Nacional de Cuyo
• Elsa Rey Tudela
• Adriana DAmelio
• Graciela Nardecchia
• 2002

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Del saber sabio al saber enseñar

• Transpocición Didáctica es el conjunto de las
  transformaciones que sufre un saber con el fin de
  ser enseñado
• 
  Yves Chevallard
• Los cinco actos de la Transpocición Didáctica
• El saber sabio
• Los objetos a enseñar
• El saber a enseñar y los objetos de enseñanza
• El saber escolar
• El saber enseñado

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Introducción

• El cálculo de probabilidades ocupa una situación
  muy particular, ya que a pesar de contar con una
  axiomática satisfactoria, prosiguen las
  controversias sobre la interpretación de
  conceptos básicos como los de probabilidad e
  independencia. Estas controversias no son de tipo
  técnico, ya que el cálculo de probabilidades,
  como tal, no plantea contradicciones ni
  paradojas, como ocurriera en el caso de la teoría
  de conjuntos, ni se han propuesto otras
  axiomáticas que compitan con éxito con la de
  Kolmogorov.
• Desde una perspectiva didáctica la idea de
  probabilidad y la noción de aleatoriedad es el
  punto de partida del cálculo de probabilidades.

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GÉNESIS DEL CONCEPTO

• Sófocles atribuye la invención a Palamades
  quién lo habría enseñado durante el sitio de
  Troya (siglo X u XI a.C.)
• A comienzos del siglo XVI los matemáticos
  italianos
• En la Edad Media y el Renacimiento las loterías.
• Alrededor del año 1500 se trató de resolver el
  problema de la división.
• A Cardano se le debe una importante contribución
  en este campo.
• Pascal y Fermat alrededor de 1654 (manteniendo
  correspondencia sobre el tema) quienes ya
  contaban con un importante desarrollo.

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Primeros Problemas

• El primer científico que se ocupó de un problema
  de probabilidades fue el mismo Galileo ( 1564
  1642). Se trataba de un juego de dados llamado el
  pasadiez.
• Más complicado es otro problema de dados que
  motivó una célebre correspondencia entre dos
  grandes matemáticos franceses Pascal (1623-1662)
  y Fermat (1601-1665) mantenida en 1654, a raíz
  de un problema propuesto a Pascal por un tal
  Caballero de Merè,

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Surgimiento de la Teoría de Probabilidades

• 1713 aparece la famosa Ars Conjectandi de Jacobo
  Bernoulli
• Un siglo después la monumental Theorie Analytique
  des Probabilités de P.S. Laplace (1812).Fue un
  extraordinario continuador de las teorías
  iniciadas por otros por ejemplo las
  probabilidades de Bernoulli y De Moivre, pero no
  se detiene a analizar con demasiado cuidado los
  fundamentos.
• Muchos autores han contribuido al desarrollo de
  la teoría desde el tiempo de Laplace entre los
  más importantes están Chebyshev, Markov, Von
  Mises y Kolmogorov
• Por otra parte la definición conjuntista de
  Kolmogorov (1933), actualmente la más aceptada no
  es más que la abstracción y axiomatización de tal
  definición intuitiva.

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Concepciones Filosóficas de la noción

• Enfoque clásico La teoría del azar consiste en
  reducir todos los acontecimientos del mismo tipo
  a un cierto número de casos igualmente posibles,
  es decir, que estos sean tales que nos dejen
  igualmente indecisos acerca de su existencia.
  
• 
  
  Laplace
• Enfoque frecuencial La probabilidad según Von
  Mises 
•  
• Enfoque Bayesiano  J.M. Keynes, Jeffreys,
  Savage (1961) y en particular el italiano De
  Finetti establecen una probabilidad como grado de
  creencia, o subjetiva, o bayesiana.

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Saber Sabio

• Desde la Teoría de la medida .Borel (1898)
• Función de conjunto ?-aditiva
• Una función se dice ?-aditiva
  sí y sólo sí
• a)
• b)      Para todo sucesión tal que
•   con es
• Medida Una función se dice ?-aditiva sí y sólo
  sí
• a)  ? es ?-aditiva
• b)       
• En este sentido la probabilidad es una medida tal
  que la medida del espacio total es uno.
•  

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Saber Sabio

• Axiomática de Kolmogorov (1933)
•  Al par (?, A), donde A ? P(?) es una ?-álgebra
  de subconjuntos de A se le denomina espacio
  medible o probabilizable. A los elementos de A se
  les denomima conjuntos medibles.
• Sea (?, A) un espacio medible Definimos una
  función P que va a ser una medida normada sobre A
  , mediante una aplicación de A en R que cumple
  con los siguientes axiomas
• 1.     P(?) 1
• 2.
• 3.      Para toda sucesión tal
  que es

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Hábitad de la noción

• Para permitir a los alumnos el paso de la
  percepción empírica, conceptos paramatemáticos,
  al enfoque científico, conceptos matemáticos, se
  debe tener en cuenta el concepto de azar y los
  obstáculos epistemológicos con los que está
  ligado.
• Estos aparecen a través de las dudas históricas
  de Pascal , Bernoulli, DAlembert , Laplace,
  Cournot , Poincaré .
• Es muy importante que los profesores de
  matemática hayan evaluado sus propias
  concepciones, y las hayan confrontado con las de
  los matemáticos del pasado, para que no sean
  tomados por sorpresa ante tal o cual
  comportamiento del alumno que se enfrenta en esta
  etapa a las dificultades de comprensión.

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Algunas definiciones del azar

• Jacques Bernoulli (publicado 1713)
• Si todo lo que es futuro no sucediera con
  certitud, no veo cómo el Creador Supremo podría
  conservar intacta la gloria de su omnipotencia.
  
• Laplace (publicado en 1814)
• Hemos de pensar el estado presente del universo
  como el efecto de su estado anterior y como la
  causa del que va a seguirle.........
• La idea contemporánea es la de un desorden
  complejo que estructura el orden mediante unas
  regulaciones cuya resultante es previsible dentro
  de un marco probabilístico.

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El saber a enseñar
Cómo se introduce la noción de Probabilidad en
la enseñanza? Siglo XX Actualidad
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Textos Universitarios

• Fundamentos de Estadística para negocios y
  Economía (1962)
• de J. Neter W. Wasserman, G. A. Whitmore,
  da el concepto de
• probabilidad, basándose en tres postulados
• 1) 0 ? P (Oi) ? 1
• 2) Las probabilidades de todos los resultados
  básicos deben sumar uno.
• 3) P (Oi o Oj) P (Oi) P (Oj).
• Calculus (1967) Tom Apóstol
• Para los espacios muestrales finitos la
  probabilidad es simplemente una medida que asigna
  el valor 1 al espacio completo.

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Textos del Tercer Ciclo

• La noción aparece recién en los textos de este
  nivel desde la implementación de la Ley Federal
  de Educación (1994) se observan tres opciones
• Introducen la noción con situaciones adidácticas
  llevando al alumno a construir el concepto
  clásico de probabilidad.
• A partir de la experimentación llevando a la idea
  frecuencial del concepto sin tener en cuenta las
  condiciones bajo las cuales se debe realizar.
• Se presenta la noción desde la teoría de conteo
  presentando previamente los distintos arreglos
  que pueden darse en un conjunto finito numerable
  de datos.

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Contenidos Educativos y Renovación
Curricular

• En el nivel inicial
• Hay que introducir nuevos tópicos
• En EGB 1 y 2
• noción de suceso
• se le asignan números, en determinadas
  condiciones , que miden su probabilidad.
• Se aborda la noción clásica de probabilidad.
• En EGB 3
• Conceptos de azar, posibilidad, imposibilidad,
  grados de probabilidad.
• Los alumnos podrán explorar las relaciones entre
  la probabilidad empírica y teórica, mediante
  situaciones de juego, experimentales o usando
  modelos de simulación.

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Desde el Ministerio de Cultura y
Educación de la Nación
Materiales de Apoyo para la capacitación
docente, Educación General Básica(
EGB) Contenidos Básicos para la Educación
Polimodal
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Conclusiones

• La inclusión de esta noción en los CBC de
  matemática es una de las novedades más
  importantes de las propuestas del Ministerio de
  Cultura y Educación de la Nación Argentina (1995
  y rectificada en 1997). Por lo que hay poca
  experiencia para abordar las situaciones de
  enseñanza aprendizaje.
• Reconocemos que los alumnos y las alumnas
  enfrentan el aprendizaje a partir de los
  conocimientos previos y deben sortear el
  obstáculo, el nuevo contenido, para poder
  avanzar.

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Conclusiones

• También reconocemos que el error, que puede
  producirse, es una muestra de concepciones no
  aclaradas e incompletas que debe servir para
  construir los nuevos saberes.
• Se sugiere la experimentación, la anotación y la
  comprobación de resultados, como así también el
  contraste entre éstos y los valores anticipados.