Diapositiva 1

1
La transformada de Fourier
2
De la Serie de Fourier a la Transformada de
Fourier

• La serie de Fourier nos permite obtener una
  representación en el dominio de la frecuencia de
  funciones periódicas f(t).
• Es posible extender de alguna manera las series
  de Fourier para obtener una representación en el
  dominio de la frecuencia de funciones no
  periódicas?
• Consideremos la siguiente función periódica de
  periodo T

3

• Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T

4

• Los coeficientes de la serie compleja de Fourier
  en este caso resultan puramente reales
• El espectro de frecuencia correspondiente lo
  obtenemos (en este caso) graficando cn contra w
  nw0.

5

• Espectro del tren de pulsos para p 1, T 2

6

• Si el periodo del tren de pulsos aumenta...

1.5
p 1, T 2
1
f(t)
0.5
0
-20
-10
0
10
20
t
1.5
p 1, T 5
1
f(t)
0.5
0
t
-20
-10
0
10
20
7
...el espectro se "densifica".
-50
0
50
-50
0
50
8

• En el límite cuando T??, la función deja de ser
  periódica
• Qué pasa con los coeficientes de la serie de
  Fourier?

9

• Si se hace T muy grande (T??), el espectro se
  vuelve "continuo"

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• El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar
  la expresión de una función f(t) no periódica en
  el dominio de la frecuencia, no como una suma de
  armónicos de frecuencia nw0, sino como una
  función continua de la frecuencia w.
• Así, la serie
• al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando
  T??) por la variable continua w, se transforma en
  una integral de la siguiente manera

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• Recordemos
• La serie de Fourier es
• -T/2lt x lt T/2
• O bien

Cuando T? ?, nw0 ? w y w0 ? dw y el sumatorio se
convierte en
12
La transformada de Fourier

• Es decir,
• donde
• Estas expresiones nos permiten calcular la
  expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a
  partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.

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La transformada de Fourier y la transformada
inversa de Fourier
En algunos textos, el factor 1/2? se "reparte"
entre la transformada y la anti-transformada
para obtener simetría en la expresión, como
1/v(2?).
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• Notación A la función F(w) se le llama
  transformada de Fourier de f(t) y se denota por F
  o , es decir
• En forma similar, a la expresión que nos permite
  obtener f(t) a partir de F(?) se le llama
  transformada inversa de Fourier y se denota por F
  1 ,es decir

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Transformadas integrales

• K(?,t) núcleo o kernel.
• Asocia a cada función f(t) en el espacio t,
  directo o real, otra función F(?) en el espacio ?
  o recíproco.
• Ejemplos de Fourier, Wavelet, transformada Z, de
  Laplace, de Hilbert, de Radon, etc

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Un problema que es difícil de resolver en sus
"coordenadas" (espacio t) originales, a menudo,
es más sencillo de resolver al transformarlo a
espacio ?. Después, la transformada inversa nos
devuelve la solución en el espacio original.
Problem in Transform space
Solution in Transform space
Relatively easy solution
Inverse transform
Integral transform
Original problem
Solution of original problem
Difficult solution
17

• Ejemplo. Calcular F(?) para el pulso rectangular
  f(t) siguiente
• Solución. La expresión en el dominio del tiempo
  de la función es

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• Integrando
• Usando la fórmula
• de Euler

19
p 1

• En forma gráfica,
• la transformada es

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La función sinc(x)

• Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una
  función rectángulo.
• Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una
  función triangulo.
• Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una
  ranura.

21
Demostrar que la transformada de Fourier de la
función triángulo, D(t), es sinc2(w/2)
1
1
TF
w
t
0
0
1/2
-1/2
22

• Ejercicio Calcular la Transformada de Fourier de
  la función escalón unitario o función de
  Heaviside, u(t)
• Grafica U(w) Fu(t).
• Qué rango de frecuencias contiene U(w)?
• Cuál es la frecuencia predominante?

23
La función delta de Kronecker y delta de Dirac
24
La función impulso o delta de Dirac

• Recordemos que podemos pensar en la función delta
  como el límite de una serie de funciones como la
  siguiente

fm(t) m exp-(mt)2/vp
f1(t)
t
25
Y recordemos algunas propiedades de la función d
26
Transformada de Fourier de la ?(t)
w
Observa que la transformada de Fourier de f(t)
1/(2?) es
d(w)
Recordemos
w
t
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
Transformada de Fourier de la función coseno
w
w0
-w0
0
30
Transformada de Fourier de la función seno
sen(w0t)
t
w
0
-w0
0
w0
31
La transformada de Fourier de la onda plana
exp(iw0 t)
F exp(iw0t)
w
w0
0
La TF de exp(iw0t) es una frecuencia pura.
32
F exp(iw0t)
TF
w
w0
0
TF
w
0
33
Encontrar la transformada de Fourier de la
función
34
La transformada de Fourier de una Gaussiana,
exp(-at2), es otra Gaussiana.
TF
Más adelante lo demostraremos.
35
La transformada inversa de Fourier
Dada la función en el espacio recíproco G(k),
podemos retornar al espacio directo mediante la
inversa de la transformada de Fourier
36
(No Transcript)
37
(No Transcript)
38
(No Transcript)
39
A partir de la definición, obtener la
transformada inversa de Fourier de la función
Respuesta.
Integrando en el plano complejo
40

• Si x gt 0

Haciendo lim R?8
41
Entonces

• Si x lt 0

42
Haciendo lim R?8
R
-R
Entonces
43
Algunas funciones no poseen transformada de
Fourier

• La condición de suficiencia para que la
  transformada de
• Fourier de f(x), F(w) exista es
•  
•  
• es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable.
  Funciones
• que no vayan asintóticamente a cero cuando x
  tiende a
• y en general no tienen transformadas de
  Fourier.

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La TF y su inversa son simétricas.
Si la TF de f(t) es F(w), entonces la TF de F(t)
es
Que podemos escribir
Renombrando la variable de integración de t a w,
podemos ver que llegamos a la TF inversa
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice
que son un "par transformado."
45
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función
original f(x) son ambas en general
complejas. De modo que la transformada de
Fourier puede escribirse como
46
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x)
es real
47
Propiedades de las transformadas de Fourier
1. Linealidad
48
La transformada de Fourier de la combinación
lineal de dos funciones.
f(t)
F(w)
w
t
g(t)
G(w)
w
t
F(w) G(w)
f(t) g(t)
w
t
49
Calcular la transformada de Fourier de la
siguiente función
La función f(t) se puede escribir también del
siguiente modo
50
Luego
51
Calcular la transformada de Fourier de la
siguiente función
52
Tenemos que calcular la transformada de Fourier
de la siguiente función
53
(No Transcript)
54
2. Escalado
55
Efecto de la propiedad de escalado
f(t)
F(w)
Pulso corto
Mientras más corto es el pulso, más ancho es el
espectro.
Pulso medio
Esta es la esencia del principio de incertidumbre
en mecánica cuántica.
Pulso largo
56
La transformada de Fourier respecto al espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia espacial. Todo lo
expuesto sobre la transformada de Fourier entre
los dominios t y ? se aplica los dominios x y k.
57
3. Traslación en el dominio de tiempos
58
4.
5.
59
5. Identidad de Parseval
En particular
60
Toda función puede escribirse como la suma de una
función par y una función impar
Sea f(x) una función cualquiera.
E(-x) E(x)
E(x)
O(x)
O(-x) -O(x)
f(x)
61
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t)
f(-t)
62
Transformadas de Fourier de funciones impares,
f(t) -f(-t)
63
6. Transformada de la derivada
Y en general
7. Transformada xf(x)
Y en general
Ejercicio demostrar las propiedades anteriores.
64
1. Encontrar la transformada de Fourier de la
función 2. A partir del resultado anterior y
una conocida propiedad de la transformada de
Fourier, determina la transformada de Fourier de
la función
65
(No Transcript)
66
Veamos otra aplicación de estas dos últimas
propiedades
Encontrar la transformada de Fourier de la
función
siendo agt0 constante.
Derivando tenemos
Transformando a ambos lados de la ecuación y
usando las siguientes propiedades de la TF
67
u2 ax2/2
u2 t
68
Convolución
Se define la integral de convolución de dos
funciones f(t) y g(t) del siguiente modo
69
(No Transcript)
70
Ejemplo visual

• rect(x) rect(x) D(x)

71
Convolución con la función delta

• Convolucionar una función con una delta,
  simplemente centra la función sobre la delta.

72
Propiedades de la convolución
Commutativa Asociativa Distributiva
73
El teorema de convolución oteorema de
Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a
multiplicación en el espacio recíproco.
74
Ejemplo del teorema de convolución
75
Demostremos el teorema de convolución.
76
Aplicando la TF a ambos lados
77
Ejemplo de aplicación del teorema de convolución
Calcular la transformada de Fourier de la
siguiente función
Podemos hacerlo aplicando la definición
78
(No Transcript)
79
Pero, también podemos usar
TF
TF
80
(No Transcript)
81
Calcular la transformada de Fourier del
producto de convolución de las siguientes
funciones
82
El producto de convolución de las funciones
f(t) y g(t) es
es decir que el producto de convolución de f(t) y
g(t) son dos funciones pulso de anchura a-b
centradas en (ab)/2 y -(ab)/2 cuya gráfica es
la siguiente
83
y cuya transformada de Fourier calculamos en el
ejercicio anterior
84
Una forma alternativa para calcular la
transformada de Fourier del producto de
convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de
convolución, según el cuál, la transformada de
Fourier del producto de convolución de f(t) y
g(t) es igual al producto de las transformadas de
Fourier respectivas de f(t) y g(t)
85
Calculamos la transformada de Fourier de
g(t)
86
que coincide con la transformada que habíamos
calculado del otro modo.
87
Utilizar el teorema de convolución para
calcular la antitransformada de Fourier de la
siguiente función
Tenemos que calcular la antitransformada
88
y, llamando
nos queda que
89
Por tanto, la integral de convolución de g(t)
consigo misma queda
donde
90
Luego