Una aproximacin lgica para la resolucin en MaxSAT

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Una aproximación lógica para la resolución en
Max-SAT

• Federico Heras

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Índice

• Motivación.
• Definiciones básicas.
• Max-DPLL.
• Reglas de Inferencia.
• Conclusiones y trabajo futuro.

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Motivación

• SAT Algoritmos simples y elegantes basados en
  reglas de inferencia.

Función DPLL(F) bool FUP(F) si ?? F devuelve
falso si F devuelve cierto lSeleccionaLiter
al(F) devuelve DPLL(Fl) v DPLL(Fl)
z v Az v B
A v B
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Motivación

• Max-SAT Algoritmos difíciles de entender basados
  en procedimientos.

LB3 LB2 for every clause (x ? y) ? S do
if (c(x) gt 0) ? (c(y) gt 0) then LB3
LB3 1 c(x) c(x) - 1 c(y) c(y) - 1
end if end for
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Definiciones Básicas de SAT

• Xx1,, xn variables booleanas t,f
• l literal Es una variable x o su negación x.
• x ? t x instanciada a cierto.
• x ? f x instanciada a falso.
• Asignación Instanciación de un conjunto de
  variables.
• Asignación completa Instanciación de todas las
  variables en X.

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Definiciones Básicas de SAT

• C es una cláusula (disyunción de literales).
• Ejemplo C x1 v x2 v x3, C3.
• Una asignación satisface una cláusula C si
  satisface uno o más literales de C.
• F es el conjunto de cláusulas.
• Una asignación completa que satisface todas las
  cláusulas se llama modelo.
• ? es la cláusula vacía. Si ? ? F, es una
  contradicción explícita, y es imposible de
  satisfacer.

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Def. Básicas de Max-SAT

• Si no existe un modelo para F, podemos estar
  interesados en encontrar una asignación completa
  con el mínimo número de cláusulas violadas. Este
  es el problema de Max-SAT.

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Def. Básicas de Max-SAT

• Weighted Max-SAT considera las cláusulas como
  pares (C,w). C es una cláusula y w ? N es un peso
  / coste asociado.
• Asumimos la existencia de T, un upper bound de la
  solución óptima. Un modelo es una asignación
  completa de coste menor a T.
• (C,T) es una cláusula dura. (C,u) con ultT es una
  cláusula blanda. Si T1 tenemos SAT.
• Max-SAT es el problema de encontrar el modelo de
  coste mínimo.
• Max-SAT y Weighted Max-SAT son problemas
  equivalentes.

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Def. Básicas de Max-SAT

• La suma de costes/pesos se definea ? b
  minab,T.
• La cláusula vacía es un lower bound (?,w). Si
  (?,T) ? F, es una contradicción explícita.
• Fl (Asignación de l) genera una nueva F Todas
  las cláusulas que contienen l son eliminadas
  (satisfechas) y l es eliminada de todas las
  cláusulas que la contienen.

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Def. Básicas de Max-SAT

• Ejemplo de modelo óptimo T5.

(?,1), (x,3), (x,1),(x,1),(y,3),(y,2), (x v y
v z,1)
Fx
(?,2), (y,3),(y,2), (y v z,1)
Fy
(?,4), (z,1)
Fz
(?,4)
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Max-DPLL

• Función Max-DPLL(F,T) nat
• FUP(F)si (?,T) ? F devuelve Tsi F
  devuelve 0si F(?,w)devuelve
  wlSeleccionaLiteral(F)vDPLL(Fl,T)vDP
  LL(Fl,v)devuelve v

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Max-DPLL

• UP Reglas básicas UCR.
• Reglas básicas de simplificación de Max-SAT
• BR1(A,T),(A v B,w) ? (A,T)
• BR2(A,w),(A,u) ? (A,w ? u)
• BR3 si (w ? u T) entonces (A,w),(Av B,u)?
  (A,w), (Av B,T)
• BR4 (A,0) ?

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Max-DPLL

• UCR (Unit clause Reduction) Selecciona una
  cláusula (l,T) e instancia la correspondiente
  variable en concordancia con el literal de esa
  cláusula.
• UP (Unit propagation) Es el algoritmo que aplica
  UCR y las reglas básicas BR1-4 hasta (a)
  encontrar una contradicción o (b) hasta que no es
  posible hacer más simplificaciones.

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Max-DPLL

• Aplicando UP. Ejemplo con T5.

(?,1), (x,3), (x,1),(x,1),(y,3),(y,2), (x v y
v z,1)
BR2 Suma de pesos
(?,1), (x,4),(x,1),(y,3),(y,2), (x v y v z,1)
BR3 Endurecimiento
(?,1), (x,T),(x,1),(y,3),(y,2), (x v y v z,1)
UCR x
(?,2),(y,3)(y,2),(y v z,1)
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Max-DPLL
(?,2),(y,3)(y,2),(y v z,1)
Recordar T5
BR3 Endurecimiento
(?,2),(y,T)(y,2),(y v z,1)
UCR y
(?,4),(z,1)
BR3 Endurecimiento
(?,4),(z,T)
UCR z
(?,4)
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Reglas de Inferencia

• Regla de Resolución genérica. Resolution for
  Max-SAT (RES)

(A v B,m),(x v A,u-m), (x v B, w-m), (x v A v
B,m), (x v A v B,m)
(x v A,u), (x v B,w)
Donde mminu,w y
a b a ? T T a T
a b
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Reglas de Inferencia

• RES Prueba.

(A v B,m),(x v A,u-m),(x v B, w-m), (x v A v
B,m),(x v A v B,m)
(x v A,u), (x v B,w)
x A B
??? ? ? ? ? ?
uu00w0w0
m00 0 m000
u-mu-m0 0 0 0 00
0000w-m0w-m0
??? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
0m000000
??? ? ? ? ? ?
000000m0
f f ff f tf t ff t tt f ft f tt t ft t t
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Reglas de Inferencia

• Neighborhood Resolution (NRES) En RES, suponer
  que AB.

(A,m),(x v A,u-m), (x v A, w-m)
(x v A,u), (x v A,w)

• Si A0 (NRES0)

(?,m),(x,u-m), (x,w-m)
(x,u), (x,w)
(donde mminu,w)
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Reglas de Inferencia

• Aplicando NRES. Ejemplo T5.

(x,1),(x v y,2),(x v y v z,1), (x v y v z,1)
NRES2
(x,1),(x v y,2),(x v y,1)
NRES1
(x,1),(x v y,1),(x,1)
NRES0
(?,1),(x v y,1)
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Conclusiones y trabajo futuro

• Se ha adaptado el DPLL a Max-SAT.
• Se han adaptado algunas reglas de inferencia que
  nos permiten simplificar el problema, reduciendo
  la aridad de cláusulas y obteniendo nuevas cotas
  inferiores.
• En breve adaptaremos la regla de Modus Ponens a
  Max-SAT y se harán experimentos.

Referencia Resolution in Max-SAT and its
relation to local consistency in weighted CSPs,
Javier Larrosa and Federico Heras (IJCAI 2005
Edinburgh).