Matemticas para la Computacin

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Matemáticas para la ComputaciónLógica
Curso 2006/2007
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Lógica de proposiciones Razonamientos

• Recordad que una proposición es una sentencia
  (frase) que puede ser verdadera o falsa.
• Si es verdadera, le asociamos un VALOR DE VERDAD
  V.
• Si es falsa, le asociamos un VALOR DE VERDAD F.
• Normalmente, V1
• F0
• El valor de verdad de una proposición básica lo
  decidimos nosotros.
• El valor de verdad de una proposición compuesta
  depende del valor de verdad de las proposiciones
  básicas.
• Una TABLA DE VERDAD es una tabla donde aparece el
  valor de verdad de una proposición (compuesta) en
  función de valor de verdad de las básicas que la
  componen.

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Lógica de proposiciones Razonamientos Tabla
de verdad de conectivos lógicos
1.- El conectivo ? viene dado por ? P es
cierta si y sólo si P es falsa La tabla de
verdad de ? es
P ?P 1 0 0 1
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Lógica de proposiciones Razonamientos Tabla
de verdad de conectivos lógicos
2.- El conectivo ? viene dado por P ? Q es
cierta si y sólo si lo son a la vez P y Q La
tabla de verdad de ? viene dada por
P Q P ? Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
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Lógica de proposiciones Razonamientos Tabla
de verdad de conectivos lógicos
3.- El conectivo ? viene dado por P ? Q es
cierta si y sólo si lo es al menos una entre P y
Q. La tabla de verdad de ? viene dada por
P Q P ? Q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
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Lógica de proposiciones Razonamientos Tabla
de verdad de conectivos lógicos
4.- El conectivo ? viene dado por (P ? Q es
cierta ) si y sólo (si P es falsa o bien si P y Q
son ciertas a la vez) La tabla de verdad de ?
viene dada por
P Q P ? Q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
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Lógica de proposiciones Razonamientos Tabla
de verdad de conectivos lógicos
5.- El conectivo ? viene dado por (P?Q es
cierta ) si y sólo (si P y Q son ciertas o falsas
a la vez) La tabla de verdad de ? viene dada por

P Q P?Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
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Lógica de proposiciones Tabla de verdad -
Razonamientos
Tabla de verdad de una proposición Dice si es
V o F en función del valor de las proposiciones
básicas nº de columnas al menos tantas como
proposiciones básicas haya la última
columna indicando el valor de la proposición
nº de filas tantas como posibles valores puedan
tener las proposiciones básicas ( 2n filas, n
número de proposiciones básicas)
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Lógica de proposiciones Tabla de verdad -
Razonamientos
Ejemplo Tabla de verdad de la proposición p ?
(q ? ( p? ?r) ) Para saber el valor de p ? (q ?
( p? ?r) ) los valores de verdad de p, los
valores de verdad de q ? ( p? ?r) , la tabla
del conectivo ? ya tenemos 3 columnas!
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Lógica de proposiciones Tabla de verdad -
Razonamientos
Ejemplo Tabla de verdad de la proposición p ? (q
? ( p? ?r) )
Para saber el valor de verdad de q ? ( p? ?r)
los valores de q de p ? ?r saber tabla
del conectivo ? ya tenemos 3 1 1 5
columnas!
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Lógica de proposiciones Tabla de verdad -
Razonamientos
Ejemplo Tabla de verdad de la proposición p ? (q
? ( p? ?r) )
Para saber el valor de p ? ?r los valores
de p, de ?r saber tabla del conectivo ?
ya tenemos 5 1 columnas!
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Lógica de proposiciones Tabla de verdad -
Razonamientos
Ejemplo Tabla de verdad de la proposición p ? (q
? ( p? ?r) )
Para saber el valor de ?r valor de r, la
tabla del conectivo ? ya tenemos 311117
columnas!
RESULTADO 7 columnas, 3 propiedades básicas
p, q , r. 23 filas
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Lógica de proposiciones Tabla de verdad -
Razonamientos
Las tres primeras columnas valores de p, q , r.
Una forma ordenada de hacer esto es escribir los
números del 0 al 7 en base 2 0022 02 0
(0,0,0) 1022 02 1 (0,0,1) 2022
12 0 (0,1,0) 3022 12 1
(0,1,1) 4122 02 0 (1,0,0) 5122 02
1 (1,0,1) 6122 12 0 (1,1,0) 7122 12
1 (1,1,1)
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Lógica de proposiciones Tabla de verdad -
Razonamientos
Ejemplo Tabla de verdad de p ? (q ? ( p ? ?r) )
p q r ?r p ? ?r q ?(p ? ?r) p ? (q?(p ? ?r))
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
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Lógica de proposiciones Razonamientos
Definición Una proposición (compuesta) es una
tautología cuando para cualquier valor de verdad
de las proposiciones básicas que la forman,
siempre es cierta. Es decir, en su tabla de
verdad tan sólo salen 1s.
Ejemplos de tautología p ? ?p
Definición Una proposición (compuesta) es una
contradicción cuando para cualquier valor de
verdad de las proposiciones básicas que la
forman, siempre es falsa. Es decir, en su tabla
de verdad tan sólo salen 0s.
Ejemplos de contradicción p ? ?p
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Lógica de proposiciones Equivalencia -
Razonamientos
Definición Dos proposiciones P y Q son
equivalentes lógicamente cuando P?Q es una
tautología. Es decir, P y Q tienen la misma tabla
de verdad. Se escribe P ? Q
Principales equivalencias en lógica de
proposiciones

• Leyes de Morgan
• ?(P ? Q) ? (?P ? ?Q) (no P o no Q)
• ?(P ? Q) ? (?P ? ?Q) (ni P ni Q)

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Lógica de proposiciones Principales
equivalencias - Razonamientos
Veamos por ejemplo que ?(P ? Q) ? (?P ? ?Q)
(ni P ni Q)
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Lógica de proposiciones Principales
equivalencias - Razonamientos

• Leyes distributivas del ? y ?
• P? (Q?R) ? (P?Q) ? (P?R)
• P? (Q?R) ? (P?Q) ? (P?R)

• Equivalencias que nos permiten evitar el ? y el ?
  
• P ? Q ? ?P ? Q
• P ? Q ? (P ? Q) ? (? P ? ? Q)
• ? (P ? Q ) ? P ? ? Q
• ? (P ? Q ) ? (P ? ? Q) ?(? P ? Q)

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Lógica de proposiciones Principales
equivalencias - Razonamientos
Veamos por ejemplo que P ? Q ? ?P ? Q
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Lógica de proposiciones Principales
equivalencias - Razonamientos

• OTRAS EQUIVALENCIAS
• P ? Q ? ?Q ? ?P
• (P ? ?P?...) ? Q ? Q
• (P ? ?P ?...) ? Q ? Q
• (P?Q) ? P ? P
• (P?Q) ? P ? P