Mtodos Estadsticos Aplicados a los Negocios

1
Métodos Estadísticos Aplicados a los Negocios
Martín Gonzalez Rozada

• Lecture 9

Lic. en Economía Empresarial
2
Proyección

• En el campo de los negocios las empresas muchas
  veces necesitan proyectar algunas de las
  variables fundamentales, como ser ventas,
  producto, egresos etc.
• En esta última parte del curso desarrollaremos
  las técnicas más utilizadas para realizar
  proyecciones.
• Estas técnicas se agrupan dentro de lo que se
  conoce como modelos para series temporales.

3
(No Transcript)
4
(No Transcript)
5
(No Transcript)
6
(No Transcript)
7
(No Transcript)
8
(No Transcript)
9
(No Transcript)
10
(No Transcript)
11
(No Transcript)
12
(No Transcript)
13
(No Transcript)
14
(No Transcript)
15
(No Transcript)
16
(No Transcript)
17
(No Transcript)
18
(No Transcript)
19
(No Transcript)
20
(No Transcript)
21
(No Transcript)
22
(No Transcript)
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
(No Transcript)
31
(No Transcript)
32
(No Transcript)
33
(No Transcript)
34
(No Transcript)
35
(No Transcript)
36
(No Transcript)
37
(No Transcript)
38
(No Transcript)
39
(No Transcript)
40
(No Transcript)
41
(No Transcript)
42
(No Transcript)
43
(No Transcript)
44
(No Transcript)
45
(No Transcript)
46
(No Transcript)
47
(No Transcript)
48
(No Transcript)
49
(No Transcript)
50
(No Transcript)
51
(No Transcript)
52
(No Transcript)
53
(No Transcript)
54
(No Transcript)
55
(No Transcript)
56
(No Transcript)
57
(No Transcript)
58
(No Transcript)
59

• El test de DF tiene algunos problemas que vale la
  pena mencionar
• No es invariante ante modificaciones del modelo
  original. Esto quiere decir que si en lugar de
  tener un modelo sin constante ni tendencia
  determinística, tenemos un modelo con constante
  la distribución del ? de DF cambia. Y lo mismo
  ocurre si el modelo original tiene tendencia
  determinística.
• El test de DF no es invariante ante el valor
  inicial de la serie (X0). Es decir que la
  distribución del ? de DF cambia cuando cambia el
  valor inicial de X.

60

• Para solucionar estos problemas lo que se hace en
  la práctica es lo siguiente
• Asumir que el verdadero modelo no tiene ni
  constante ni tendencia determinística.
• Hacer el test de DF sobre una regresión que tenga
  constante pero no tendencia determinística.

61

• Subyacente a estas correcciones se encuentra el
  hecho de que cuando uno utiliza una "constante"
  más a la del modelo original hace invariante al
  test a los valores iniciales de la variable. Es
  decir que si para nosotros el verdadero modelo no
  tiene constante ni tendencia, deberíamos hacer el
  test de DF sobre un modelo que incluya una
  constante. En cambio si el modelo original
  incluye una constante, el test de DF se debería
  hacer sobre un modelo que tuviera constante y
  tendencia lineal determinística. Por último si el
  modelo original incluyera constante y tendencia
  lineal determinística, el test de DF debería
  incluir, constante, tendencia lineal y tendencia
  cuadrática determinísticas.

62

• Observe que el test de DF solo nos permite
  contrastar por raíz unitaria. Es decir que si
  quisieramos saber si el modelo tiene tendencia
  determinística y/o estocástica deberíamos haber
  planteado el siguiente modelo

Y contrastar la hipótesis nula H0 ? 1 y b 0.
Esta hipótesis debería contrastarse con un
estadístico F que tendría los mismos problemas de
distribución no estándar que el estadístico ? de
DF.
63

• ESTACIONALIDAD
• Determinística
• Estocástica
• Estacionaria
• No Estacionaria

64

• La estacionalidad determinística se captura
  mediante una regresión de la variable que nos
  interesa analizar, transformada en estacionaria
  por la aplicación de diferencias finitas, sobre
  variables binarias que adoptan el valor unitario
  en casa estación.
• Por ejemplo, si la serie Xt es de frecuencia
  mensual, el procedimiento consiste en realizar la
  siguiente regresión

65

• Donde los deltas estiman la tasa de crecimiento
  en cada estación. Ds,t adopta el valor 1 en la
  estación s y 0 en cualquier otra estación.
• El R2 de esta regresión indica la variabilidad de
  la serie que es debida al ciclo estacional.

66

• En general, la representación de este tipo de
  estacionalidad viene dada por
• donde se hizo la simplificación de que para t1
  la primera observación es s1 sin pérdida de
  generalidad, además T? T/S.
• Por lo tanto, para la estación s del año ?,

67

• De la especificación anterior se puede apreciar
  que una de las características de este tipo de
  estacionalidad es que la media del proceso varía
  con la estación.
• Dado que el proceso tiene una media que varía en
  el tiempo, el proceso no es estacionario. Sin
  embargo, es fácilmente transformable en un
  proceso estacionario restando la media de cada
  estación.
• Si la media total del proceso no es cero,
  entonces, como hay una proporción 1/S de las
  observaciones en cada estación la media del
  proceso es

68

• Cuando se extrae la media total del proceso, el
  efecto determinístico para la estación s viene
  dado por ms ?s - ?.
• Si se separan los efectos de la media total del
  proceso del efecto estacional, tenemos
• Recordando conceptos de trigonometría básicos,
  una función determinística con período S puede
  ser escrita equivalentemente en términos de una
  suma de senos y cosenos

69

• para t 1,, T, donde

70

• Dado que siempre es posible escribir una
  constante en términos trigonométricos, ? en (ED)
  puede escribirse como ?0 cos(2?kt/S) con k0 y
  por lo tanto (ED) queda
• ya que sin(0)0.
• Para el caso de datos trimestrales, la ecuación
  (ED) implica que los coeficientes de las
  variables binarias en () se relacionan con los
  coeficientes de la representación trigonométrica
  de la siguiente forma

71

• Note que en el caso trimestral ?1 y ?1 cada uno
  dan origen a un componente de Xt que tiene medio
  ciclo cada dos períodos y un ciclo entero cada
  cuatro períodos. Estos coeficientes estan
  asociados con la frecuencia espectral ?/2 ya que
  multiplican a cos(t ?/2) y a sin(t ?/2),
  respectivamente, para t1, 2,
• Se puede remarcar que aun cuando ?1 está asociado
  con los trimestres 2 y 4, mientras que ?1 está
  asociado con los trimestres 1 y 3, estos dos
  ciclos no pueden distinguirse en el campo de las
  frecuencias porque los dos corresponden a un
  ciclo de 4 períodos.

72

• El coeficiente ?2 está asociado con la frecuencia
  ?, ya que este coeficiente multiplica a los
  términos de la forma cos(t ?) para t1, 2, ,.
  Como estos términos alternan entre -1 y 1, ?2
  contribuye un ciclo entero cada dos períodos.
• Por lo tanto con datos trimestrales las
  frecuencias ?/2 y ? son denominadas las
  frecuencias estacionales porque cualquier patrón
  estacional determinístico sobre los cuatro
  trimestres del año pueden ser expresados como una
  función lineal de términos en estas dos
  frecuencias, ?1 cos(t ?/2) ?1 sin(t ?/2) ?2
  cos(t ?).
• Por lo dicho anteriormente, la media total del
  proceso puede asociarse con la frecuencia
  espectral cero.

73

• ESTACIONALIDAD ESTOCASTICA ESTACIONARIA
• Este tipo de estacionalidad está representado por
  procesos estacásticos que tienen picos en la
  función de autocorrelación en las frecuencias
  estacionales.
• Un ejemplo sencillo de este tipo de procesos es
  el denominado procesos autorregresivo estacional
  de primer orden

74

• donde ?S lt 1, ?t i.i.d.(0, ??2).
• Note que la media no condicional del proceso es
  cero independientemente de la estación, en
  contraste con la característica del proceso de
  estacionalidad determinística.
• Sin embargo, la media del proceso condicional a
  información pasada exhibe un patrón estacional

75

• Si se calcula la función de autocorrelación, se
  obtiene
• Como resultado, el proceso exhibe una
  autocorrelación diferente de cero en los rezagos
  estacionales que va disminuyendo en magnitud. En
  los rezagos no estacionales, la función de
  autocorrelación es cero.
• En este proceso, el único patrón en Xt es el
  asociado con el ciclo estacional, pero esta
  estacionalidad es transitoria ya que el proceso
  tiende a revertir hacia su valor esperado de cero
  con el paso del tiempo, independiente de la
  estación.

76

• Escribamos el proceso utilizando dos subíndices
  como
• donde ?t ?s? es i.i.d.(0, ??2).
• Esta forma de escribir el proceso es útil para
  enfatizar que la relación autorregresiva para Xs?
  en la estación s se relaciona con la misma
  estación del año anterior.

77

• Si reemplazamos el valor rezagado de X en el lado
  derecho de la ecuación por su expresión en
  términos del modelo tenemos
• Como puede observarse, el patrón estacional
  contiene dos fuentes de estacionalidad. Tiene la
  influencia del primer valor no observado de la
  estación s, Xs,0, que afecta las observaciones
  subsecuentes para esa estación a través de ?s?
  Xs,0. Por otro lado, los disturbios de la
  estación s en períodos anteriores (?s,?-j para
  jgt0) influencian el comportamiento de X tal que
  los patrones aleatorios tienden a repetirse.

78

• Si tomamos la varianza del proceso, obtenemos
• Como el proceso es estacionario, Var(Xs,?)
  Var(Xs,0) entonces
• que es constante sobre las estaciones y los años.

79

• Observe que si re-escribimos el proceso en
  términos del operador rezago tenemos
• lo que implica que el polinomio autorregresivo
  contiene s raíces, una para cada estación.
• Por ejemplo, consideremos el proceso
  autorregresivo estacional de orden uno (con
  coeficiente positivo) para datos trimestrales.
  Para este proceso la ecuación anterior muestra el
  siguiente polinomio autorregresivo

80

• El polinomio anterior puede ser factorizado de la
  siguiente manera
• Por lo tanto este polinomio se descompone en
  un factor no estacional , junto
  con dos factores que contribuyen a la
  estacionalidad y
  . Estos últimos dos factores juegan un rol
  análogo a los patrones que alternan cada período
  (capturados a través de ?2) y los dos patrones
  semianuales (capturados a través de ?1 y ?1).
• De hecho los procesos autorregresivos
  y
• tienen picos en
  las frecuencias espectrales ? y ? /2,
  respectivamente.

81

• También puede recordarse que
  puede factorizarse como
  . Este par de factores
  complejos asociados con la frecuencia ?/2 no
  pueden separarse.
• Por supuesto también existe una correspondiente
  factorización en el caso de tener datos
  mensuales. En este caso el polinomio se factoriza
  en un factor no estacional y once factores
  estacionales. De los factores estacionales hay
  cinco pares complejos, que están asociados con
  las frecuencias ?/6, ?/3, ?/2, 2?/3 y 5?/6, junto
  con un factor real asociado a la frecuencia ?.

82

• Mucha de la teoría desarrollada puede aplicarse
  al caso particular de que el coeficiente
  autorregresivo estacional sea igual a uno. Es
  decir, a un modelo de raíz unitaria estacional
  del tipo

83

• Note que la ecuación anterior es válida para s
  1, 2, , S. En otras palabras el paseo aleatorio
  estacional consiste de S paseos aleatorios, cada
  uno asociado con una de las estaciones del año.
• En contraste con el proceso de estacionalidad
  estocástica estacionaria, en el paseo aleatorio
  estacional la influencia del primer valor de la
  estación s y cualquier error específico para la
  estación s no disminuyen a medida que pasan los
  años ?.
• Por lo tanto, si E(Xs0) ?s ? 0, entonces E(Xs0)
  ?s para todo ?.
• Por otra parte, en el caso anterior Var(Xs?) era
  constante sobre ambos s y ?. Sin embargo, ahora

84

• Que aumenta linealmente con el año ?.
• Como resultado de esta varianza creciente, el
  modelo tiene tendencia estocástica.
• Este último punto puede verse más claramente de
  la factorización del polinomio autorregresivo,
  nuevamente para el caso trimestral

85

• (1 L4) (1 L) (1 L) (1 L2)
• Esta factorización arroja una raíz unitaria no
  estacional en la frecuencia espectral cero dada
  por (1 L) y tres raíces unitarias estacionales
  en las frecuencias ? y ?/2 correspondientes a las
  raíces unitarias de -1 y i que surgen de los
  factores (1 L) y (1 L2).
• Para el caso de frecuencia mensual, también
  existe una factorización correspondiente.

86

• De los dos modelos presentados, el de
  estacionalidad estocástica estacionaria y el
  paseo aleatorio estacional puede verse que la
  forma de desestacionalización es diferente.
• En el caso del modelo de estacionalidad
  estocástica estacionaria la forma de remover la
  estacionalidad consiste en estimar el coeficiente
  autorregresivo estacional y restarlo del modelo
  original para dejar la serie sin estacionalidad.
• En el caso del paseo aleatorio estacional es
  claro que uno debe remover las raíces
  unitaria aplicando el operador (1 L4).

87

• Ahora, la pregunta relevante es que es lo que
  sucede en los casos intermedios, esto es cuando
  algunas de las raíces del polinomio
  autorregresivo caen fuera del círculo unitario
  pero otras son raíces unitarias.
• Recuerde que el caso de estacionalidad
  estocástica estacionaria necesita que todas las
  raíces del polinomio autorregresivo caigan fuera
  del círculo unitario mientras que el paseo
  aleatorio estacional asegura que todas las raíces
  del polinomio autorregresivo son unitarias.

88

• Test para raíces unitarias estacionales de
  Hylleberg-Engle-Granger and Yoo (1990) (Test
  HEGY).
• Consideremos el caso mensual. Supongamos que el
  proceso generador de los datos es
• Con ?t ruido blanco. La frecuencia asociada con
  una determinada raíz es el valor de ? en e?i, la
  representación polar de la raíz.

89

• Una raíz es estacional si ? 2?j/S, j 1, 2, ,
  S-1, donde S es el número de observaciones por
  año.
• Para datos mensuales las raíces estacionales son
• Correspondientes a 6, 3, 9, 8, 4, 2, 10, 7, 5, 1
  y 11 ciclos por año, respectivamente.
• Las frecuencias asociadas a estas raíces son ?,
  ?/2, 2?/3, ?/3, 5?/6 y ?/6, respectivamente.
  
• El objetivo es saber si existen raíces iguales a
  uno en valor absoluto en alguna o todas las
  frecuencias.

90

• Re-escribiendo el proceso generados de los datos
  como
• Donde

91
(No Transcript)
92

• Para proceder en la aplicación del test se debe
  estimar la ecuación anterior por MCC.
• Luego se utilizan los estadísticos t para
  chequear cada uno de los coeficientes del modelo.