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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de
Fundamentos del Análisis Económico I

• Microeconomía Superior II
• Optimización (1)
• Rafael Salas

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Esquema...
La empresa
Producción
Optimización
Estática comparativa
Mercados
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El problema de la optimización

• Tendremos que plantear y resolver un problema
  estándar de optimización
• Hagamos una lista de sus componentes
• ... Y resolvámoslo

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La optimización

• Objetivos
• Restricciones
• Método

• Maximización de beneficios
• -Tecnológicas y económicas
• -Primal -Dual

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La función objetivo

• Usamos información sobre precios.. wi

• precio del input i

P

• Precio del output

• y sobre cantidades
• zi

• cantidad del input i

Y

• cantidad del output

Cómo se hace

• para construir la función objetivo

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La función objetivo

• Coste de los inputs

• para los m inputs

• Ingresos

P Y

• Restamos C de I

• Beneficios

P Y
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Esquema...
Optimización
Problema primal
Problema dual
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Optimización el problema primal

• Elegimos Y y z que maximizan

P P Y

• ...sujeto a la restricción tecnológica...

• Podríamos escribirlo z?Z(Y)

Y F(z)

• ...y a restricciones obvias

• No podemos tener valores de output o inputs
  negativos

z ³ 0
Y ³ 0
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Método de optimización

• Si F es diferenciable

• Planteamos el Lagrangiano

L (... )
? L (... ) 0 z

• Establecemos las condiciones de primer orden
  (CPO)

c. necesaria

• Verificamos las conditiones de segundo orden

2 ? L (... ) z2
c. suficiente

• Usamos las CPO para caracterizar la solución

z
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El equilibrio de la empresa

• Obtención de la elección óptima Y, z que resuelve
  el siguiente problema optimizador
• Max P(Y,z)PY- ?wi zi
• s.a Y F (z)
• En el caso de dos bienes m2, obtención de Y, z1
  , z2 que solucione
• Max P(Y, z1 , z2 )PY- w1 z1 - w2 z2
• s.a Y F ( z1 , z2 )
• donde P, w1 y w 2 son parámetros conocidos

Con signo
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El equilibrio de la empresa derivación análitica

• Solución
• ? P/ ? z1 0 ? P ?Y/?z1 w1
• ? P / ? z2 0 ? P ?Y/?z2 w2
• ? P Pmg z1 w1
• ? P Pmg z2 w2

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Oferta de producto y demanda de factores
Y
Pmgz1 w1/P
F(z)
Y
Y y z1 óptimos
z
z1
1
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El equilibrio de la empresa derivación
análitica (2)

• Solución
• Pmg z1 w1
• Pmg z2 w2

RMST
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Demanda de factores
z2 / z1
isocuanta por Y
z2
z1
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Demanda de factores
z2

• z1 y z2 óptimos

z2 / z1

• A'

Pmgz1/Pmgz2w1/w2

• A

z2
(Y)
z1
z1
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Las funciones de oferta de producto y demanda de
factores

• El equilibrio de la empresa nos va a servir para
  estudiar las respuestas óptimas de la empresa
  ante variaciones en los precios
• Se trata de efectuar ejercicios de estática
  comparativa y observar las distintas situaciones
  de equilibrio ante condiciones cambiantes
• Toda esta información se trasmite a través de las
  funciones de oferta de producto y demanda de
  factores

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Las funciones de oferta de producto y demanda de
factores
función de los precios
Y Ys (P,w1 ,...,wm ) z1 z1d (P,w1
,...,wm ) ... ... ... zm
zmd (P,w1 ,...,wm )
ü ý þ
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Las funciones de oferta de producto y demanda de
factores

• La f. de oferta es no decreciente en el precio P
  
• La f. de demanda de factores es no creciente en
  sus precios
• Homogéneas de grado 0 en P y w

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Las funciones de beneficios
Si introducimos Ys (P,w1 ,w2 ), z1d (P,w1 ,w2 ) y
z2d (P,w1 ,w2 ) en la definición de los
beneficios obtenemos la función de beneficios P
(P,w1 ,w2 ) P Ys (P,w1 ,w2 ) - w1z1d (P,w1 ,w2
) -w2 z2d (P,w1 ,w2 ) Indica el máximo
beneficio obtenible con los precios del sistema
(es análogo a la f. indirecta de utilidad en el
problema primal del consumidor)
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Las funciones de beneficios

• La f. de beneficios es no decreciente en el
  precio del producto P
• La f. de beneficios es no creciente en los
  precios deos factores
• Homogéneas de grado 1 en P y w
• Lema de Hotelling...

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Las funciones de beneficios

• Lema de Hotelling
• dP (P,w1 ,w2 ) /dP Ys(P,w1 ,w2 )
• dP (P,w1 ,w2 ) /dw1 - z1d(P,w1 ,w2 )
• dP (P,w1 ,w2 ) /dw2 - z2d(P,w1 ,w2 )

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Práctica

• Calcula la demanda de factores, la oferta de
  producto y la función de beneficios de
• Y z11/2 z2 1/2
• Y (z11/2 z2 1/2)2
• Comprueba el lema de Hotelling

.
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Práctica

• Calcula la demanda de factores, la oferta de
  producto y la función de producción dada la
  función de beneficios
• ?p2 (1/4z11/z2 )

.
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Una advertencia

• Hemos hecho uso de las CPO (de tangencia) en
  todo el análisis.
• No obstante
• algunas veces llegamos a resultados ambiguos
• otras veces el resultados está indefinido

• Por lo tanto es conveniente comprobar si este
  método es el apropiado
• Probablemente debamos usar otro método para
  encontrar el óptimo
• Veremos ejemplos en el problema dual

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Esquema...
Optimización
Problema primal
Problema dual
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Fundamentos del Análisis Económico I

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• Optimización (1)
• Rafael Salas