III' PROBABILITATEA

1
III. PROBABILITATEA

• PROBABILITATEAREN DEFINIZIOAK
• PROBABILITATEAREN PROPIETATEAK
• ZENBATZEKO TEKNIKAK
• PROBABILITATE BATUKETAREN TEOREMA
• PROBABILITATE BALDINTZATUA
• PROBABILITATE BIDERKAKETAREN TEOREMA
• PROBABILITATE OSOA ETA BAYES-EN TEOREMAK

2
3.1 Probabilitatearen definizioak

• Zorizko esperimentua
• Gertaera
• Lagin-espazioa
• Zorizko gertaeren sailkapena
• Probabilitatearen ikuspuntuak

3
1.1. Zorizko esperimentua
1. PROBABILITATEAREN DEFINIZIOAK

• ZORIZKO ESPERIMENTUETAN zoriak parte hartzen du
  eta aldiz aurretik ezin dugu emaitza ezagutu.
• Adibidea
• Laborategiko esperimentu batean, arratoi bat
  T laberintoan sartzea.

4
Zorizko esperimentuaren propietateak

• Bi emaitza posible edo gehiago.
• Adibidea Dadoaren kasuan
• S1 1 S2 2 S3 .S6 6
• Bi aldiz saiakuntza berdina egiten badugu, ez da
  derrigorrezkoa emaitza berdina lortzea.

5
1.3 Lagin-espazioa
1.2 Zorizko gertaerak
Zorizko esperimentuaren emaitza.

• Zorizko gertaera baten emaitza posible guztiak
  osatzen duten multzoa.
• Gertaera lagin-espazioaren azpimultzoa da
• Adibidea Laberintoa E ezkerra, eskuina

6
1.2. Zorizko gertaeren sailkapena

• Gertaera segurua. Adibidea Laberintoan irteera
  bat ipintzea.
• Ezinezko gertaera. Adibidea Dadoaren kasuan, 7
  aurpegia ateratzea.
• Gertaera bateraezinak. Adibidea Dado airera
  botatzerakoan, 1 zenbakia lortzea eta 2 zenbakia
  lortzea.
• Gertaera bateragarriak. Adibidea Zenbaki
  bikoitia eta 4 baino txikiagoa izatea.

7
1.2. Zorizko gertaeren sailkapena

• Kontrako gertaerak. Bien artean gertaera segurua
  osatzen dute. Adibidea Zenbaki bikoitia eta
  bakoitia izatea.
• Gertaera askeak. Bien artean ez dago inongo
  harramanik.
• Menpeko gertaerak. Lehenengo gertaerak bigarrena
  baldintzatzen du.

8
1.3. Probabilitatearen ikuspuntuak

• Klasikoa edo a priori
• P(A) Aldeko kasuak(nA)/Kasu posibleak (n)
• Adibidea Dado bat airera botatzean, 6 aurpegia
  ateratzeko probabilitatea.
• P(A) 1/6 0,17

9
Probabilitate estatistikoa edo a posterori

• Maiztasun erlatiboa (pi) nA/n
• nA definituriko gertaera zenbat bider
• agertu den
• n esperimentua zenbat bider egin den
• P(A) Lim nA/n
• n ?

10
Probabilitatearen propietateak

• Zorizko gertaeren probabilitatea 0 eta 1-en
  tartean kokatzen da.
• Gertaera seguruaren probabilitatea 1 da.
• Ezinezko gertaeraren probabilitatea 0 da.

11
III.2. ZENBATZEKO TEKNIKAK

• Lagin-espazioa handia denean zaila izaten da
  zenbatzea, horretarako zenbatzeko teknikak
  erabiltzen dira.
• ALDAKUNTZAK
• PERMUTAZIOAK
• KONBINAZIOAK

12
2. 1. ALDAKUNTZAK

• M elementuen aldakuntzak elementu guztiak n-ka
  hartuta eratzen diren talde desberdinak.
• Baldintzak
• A) Elementuren bat diferentea talde
  desberdina .
• B) Elementu berdinak eta ordena aldatzen bada
  talde desberdina.
• A(m,n) m!/(m-n)!

13
Adibidea

• Lau elementuen (1,2,3,4) aldakuntzak binaka
  hartuta kalkulatu.
• (1,2) (1,3) (1,4)
• (2,1) (2,3) (2,4)
• (3,1) (3,2) (3,4)
• (4,1) (4,2) (4,3)
• A(m,n) m!/(m-n)! 4!/ (4-2)! 4.3.2.1/2.1 12

14
2.2. PERMUTAZIOAK

• ALDAKUNTZAK m n
• Pm m!
• Elementuak 1, 2, 3 eta 4
• P4 4! 4.3.2 24

15
2.3. KONBINAZIOAK

ORDENA EZ DA KONTUTAN HARTZEN
16
Adibidea

• Lau elementuen (1,2,3,4) konbinazioak binaka
  hartuta kalkulatu.
• (1,2) (1,4)
• (2,3) (2,4)
• (3,1) (3,4)

17
Laburpena
18
IV.2.4.Errepikapenezkoak

• Errepikapenezko Aldakuntzak

19
Errepikapenezko Permutazioak
20
Errepikapenezko Konbinazioak
21
III.3. PROBABILITATE BATUKETAREN TEOREMA

• A edo B gertaerak suertatzearen probabilitatea
• A) Gertaera bateraezinak
• P(AUB) P(A) P(B)

22
B) Gertaera bateragarriak
23
C) Gertaera osagarriak
24
4. BALDINTZAZKO PROBABILITATEA

• Menpeko gertaeretan, B gertaera eman dela
  jakinik, A gertaera suertatzeko dagoen
  probabilitatea

25
5. PROBABILITATE BIDERKETAREN TEOREMA

• A eta B gertaerak suertatzearen probabilitatea
• A) Gertaera askeak
• Propietateak
• P(A/B) P(A)
• P(B/A) P(B)

26

• B) Menpeko gertaerak

27
6.1 PROBABILITATE OSOAREN TEOREMA (I)
28
6.1 PROBABILITATE OSOAREN TEOREMA (II)
Baldintzak Bgertaera bateraezinak Kgeratera-k
opurua Nahiz eta
P(A) P(B1). P(A/B1) P(B2). P(A/B2)
29
6.2. BAYES-EN TEOREMA
B gertaerak bateraezinak