LOGARITMOS TEMA 1'8 1 BCS

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LOGARITMOSTEMA 1.8 1º BCS
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• 6.- El logaritmo de una potencia es el producto
  del exponente por el logaritmo de la base.
• 
  y
• Sea y loga x ? x a
• Elevando todo a la potencia p
• p y p p y.p
• x ( a ) ? x a
• La expresión resultante, exponencial, la pasamos
  a forma logarítmica
• p
• p.y loga x
• quedando, tras sustituir lo que vale y
• p
• p.loga x loga x

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• Ejemplos
• Sea log 2 0,301030 y log 3 0,477121.
• Hallar sin calculadora
• a) log 1024
• log 1024 log 210 10. log 2 10 . 0,301030
  3,010301
• b) log 81
• Log 81 log 34 4. 0,477121 1,908484
• c) log 0,125
• Log 0,125 log 125 / 1000 log 53 log 1000
• 3. log 5 3 3. log 10/2 3 3.(log 10
  log 2) 3
• 3.(1 0,301030) 3 3 0,903090 3 -
  0,903090
• Por dicha propiedad de los logaritmos para los
  calculistas del siglo XVII, las potencias se
  convirtieron en productos.

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• Ejemplos
• Halla el valor de x en la expresión
• 32000 . 23000
• x ----------------------
• 52657
• Tomamos logaritmos decimales
• log x log ( 32000 . 23000 / 52657 )
• log 32000 log 23000 - log 52657 )
• 2000.log 3 3000. log 2 - 2657.log 5
• 2000.0,477121 3000. 0,301030 2657. 0,698970
  
• 954,242509 903,090000 1857,163301
• 1857,332509 1857,163301
• 0,179208
• Luego si log x 0,179208 ? x 10 0,179208
  1,510803

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• 7.- El logaritmo de una raíz es igual al
  logaritmo del radicando , partido por el índice
  de la raíz.
• n
• Sea y loga v x
• Operando queda
• 1/n
• y loga x
• Y aplicando la propiedad anterior
• loga
  x
• y 1/n . loga x -----------
• n

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• Ejemplos
• Sea log 2 0,301030 y log 3 0,477121.
  Hallar sin calculadora
• a) log v2
• log v2 (log 2) / 2 0,301030 / 2 0,150515
• 3
• b) log v 9
• 3
• log v 9 (log 9) / 3 (log 32) / 3 (2. log 3)
  / 3 2. 0,477121 / 3
• 0,318080
• 5
• c) log v 0,008
• 5
• log v 0,008 (log 0,008) / 5 (log 8 / 1000) /
  5 (log 8 log 1000) / 5
• (log 23 3 ) / 5 (3. 0,301030 3) / 5 -
  0,419382

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• 8.- El logaritmo de un número en una base
  cualquiera, a, es igual al logaritmo del mismo
  número en una base distinta, b, dividido por el
  logaritmo de la base, a, en base b.
• Sea y loga x ? ay x
• Si dos expresiones son iguales, los logaritmos de
  ambas, en la misma base, también son iguales
• logb ay logb x
• y. logb a logb x
• Y despejando el valor de y tenemos
• logb x logb x
• y ----------- ?
  loga x ----------
• logb a logb a
• Nota Lo más frecuente es que la nueva base b sea
  10 ó e, es decir utilizar logaritmos decimales o
  neperianos para realizar el cambio de base.

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• EJEMPLO DE CAMBIO DE BASE
• Cuál es mayor, log 7 10 o log 5 7 ?
• Al ser las bases distintas, 5 y 7, no podemos
  comparar sus logaritmos.
• Al no ser ni logaritmos decimales ni neperianos,
  tampoco podemos calcular sus valores.
• Es obligado el cambio de base.
• log 7 10 x ? 7x 10 ? log 7x log 10
  
• log 5 7 y ? 5y 7 ? log 5y log 7
• ? x. log 7 log 10 ? x log 10 / log 7
  1,183294
• ? y. log 5 log 7 ? y log 7 / log 5
  1,209061
• Como y gt x ? log 5 7 gt log 7 10