El Algoritmo de Pantelides para Eliminar Singularidades Estructurales

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El Algoritmo de Pantelides para Eliminar
Singularidades Estructurales

• Esta presentación trata con un algoritmo que
  puede usarse para la eliminación de
  singularidades estructurales de un modelo en
  forma sistemática y algorítmica. Se llama el
  algoritmo de Pantelides.
• El algoritmo de Pantelides es un algoritmo
  simbólico de la reducción del índice de
  perturbación.

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Contenido

• Singularidades estructurales y el dígrafo de la
  estructura
• El algoritmo de Pantelides

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Singularidades Estructurales Un Ejemplo I
Ensamblamos un modelo usando corrientes, voltajes
y potenciales. Por consecuencia las ecuaciones
de las mallas no se usan. El circuito tiene 7
elementos más la tierra produciendo 2?7 1 15
ecuaciones. Adicionalmente hay 4 nodos en
el circuito produciendo 3 ecuaciones más.
Entonces se pueden esperar 18 ecuaciones en 18
incógnitas.
De costumbre, voltajes y corrientes se normalizan
en la misma dirección para elementos pasivos y en
dirección contraria para elementos activos
(fuentes).
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Singularidades Estructurales Un Ejemplo II
?
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Singularidades Estructurales Un Ejemplo III
?
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Singularidades Estructurales Un Ejemplo IV
?
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Coloración del Dígrafo de la Estructura

• El algoritmo de la coloración del dígrafo de la
  estructura es análogo al método de la coloración
  de las ecuaciones usado antes.
• Una implementación del algoritmo usando un
  compilador probablemente usará el dígrafo ya que
  ese algoritmo puede transformarse fácilmente a
  estructuras de datos comunes en idiomas de la
  programación.
• Para el ojo humano la coloración de las
  ecuaciones puede resultar más bien legible. Por
  eso continuaremos coloreando las ecuaciones en
  lugar del dígrafo.
• La ordenación vertical puede efectuarse
  simultáneamente usando la renumeración de las
  ecuaciones.

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El Algoritmo de Pantelides I

• Una vez que una ecuación de restricción se
  encontró, esa ecuación tiene que derivarse.
• Usando el algoritmo de Pantelides, la ecuación de
  restricción derivada se añade al sistema de
  ecuaciones.
• Por consecuencia, el sistema de ecuaciones ahora
  tiene más ecuaciones que incógnitas.
• El número de ecuaciones e incógnitas puede
  equilibrarse de nuevo eliminando uno de los
  integradores asociados con la ecuación de
  restricción.

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El Algoritmo de Pantelides II
Una incógnita adicional se produjo por la
eliminación del integrador. x y dx ahora son
variables algebraicas, para la evaluación de las
cuales deben encontrarse ecuaciones.
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El Algoritmo de Pantelides III

• En la diferenciación de las ecuaciones de
  restricción puede ocurrir que variables
  adicionales se generan, por ejemplo v ? dv, donde
  v as una variable algebraica.
• Se sabe que v ya está coloreado en azul (como se
  trata de una ecuación de restricción que
  solamente contiene variables azules). Entonces
  existe otra ecuación en la cual se encuentra v
  coloreado en rojo.
• Aquella ecuación también tiene que derivarse.
• La diferenciación de ecuaciones adicionales
  continúa hasta que no se genera ninguna variable
  nueva más.

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El Algoritmo de Pantelides Un Ejemplo I
1 I1 f1(t) 2 I2 f2(t) 3 I3 f3(t) 4
uR R iR 5 uL1 L1 diL1 /dt 6 uL2 L2
diL2 /dt 7 iC C duC /dt 8 v0 0
9 u1 v0 v1 10 u2 v3 v2 11 u3 v0
v1 12 uR v3 v0 13 uL1 v2 v0 14 uL2
v1 v3 15 uC v1 v2
16 iC iL1 I2 17 iR iL2 I2 18 I1 iC
iL2 I3 0
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El Algoritmo de Pantelides Un Ejemplo II
1 I1 f1(t) 2 I2 f2(t) 3 I3 f3(t) 4
uR R iR 5 uL1 L1 diL1 /dt 6 uL2 L2
diL2 7 iC C duC /dt 8 v0 0
9 u1 v0 v1 10 u2 v3 v2 11 u3 v0
v1 12 uR v3 v0 13 uL1 v2 v0 14 uL2
v1 v3 15 uC v1 v2
?
16 iC iL1 I2 17 iR iL2 I2 18 I1 iC
iL2 I3 0 19 dI1 diC diL2 dI3 0
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El Algoritmo de Pantelides Un Ejemplo III
1 I1 f1(t) 2 I2 f2(t) 3 I3 f3(t) 4
uR R iR 5 uL1 L1 diL1 /dt 6 uL2 L2
diL2 7 iC C duC /dt 8 v0 0
9 u1 v0 v1 10 u2 v3 v2 11 u3 v0
v1 12 uR v3 v0 13 uL1 v2 v0 14 uL2
v1 v3 15 uC v1 v2
16 iC iL1 I2 17 iR iL2 I2 18 I1 iC
iL2 I3 0 19 dI1 diC diL2 dI3 0
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El Algoritmo de Pantelides Un Ejemplo IV
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El Algoritmo de Pantelides Un Ejemplo V
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El Algoritmo de Pantelides Un Ejemplo VI
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El Algoritmo de Pantelides Un Ejemplo VII
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El Algoritmo de Pantelides Un Ejemplo VIII
Resulta un sistema algebraico con 7 ecuaciones en
7 incógnitas.
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El Algoritmo de Pantelides Un Ejemplo IX
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Conclusiones I

• Empezamos deduciendo un sistema completo de EDAs.
• El algoritmo de Tarjan de la coloración del
  dígrafo se aplica al sistema de EDAs.
• Si se encuentra una ecuación coloreada
  completamente en azul, el sistema contiene una
  singularidad estructural.
• El sistema estructuralmente singular se hace
  regular usando el algoritmo de Pantelides.
• Puede suceder que el algoritmo de Pantelides
  tiene que aplicarse múltiples veces.
• Cada vez el índice de perturbación se reduce por
  uno.

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Conclusiones II

• Ahora el algoritmo de Tarjan de la coloración del
  dígrafo se aplica al sistema de EDAs modificado
  (regular).
• Si el algoritmo se atasca, el sistema modificado
  contiene al menos un bucle algebraico. La
  introducción de nuevos bucles algebraicos en la
  aplicación del algoritmo de Pantelides es muy
  común.
• Se puede continuar con el procesamiento del
  sistema. El algoritmo de rasgadura es uno de los
  algoritmos que puede usarse para tratar con
  bucles algebraicos.

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Referencias

• Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), Automated
  formula manipulation supports object-oriented
  continuous-system modeling, IEEE Control
  Systems, 13(2), pp. 28-38.
• Pantelides, C.C. (1988), The consistent
  initialization of differential-algebraic
  systems, SIAM Journal Scientific Statistical
  Computation, 9(2), pp. 213-231.