Teorema%20de%20la%20Divergencia

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Teorema de la Divergencia

• Cálculo IV (Ing)
• Prof. Antonio Syers

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Introducción
Este teorema , uno de los teoremas más importante
del cálculo vectorial, también es conocido como
Teorema de Gauss. El teorema se refiere al flujo
de un campo vectorial a través de una superficie
cerrada S que es la frontera de una región E en
el espacio. Las regiones trabajadas en esta
sección serán regiones simples sólidas y n
denotará el vector normal unitario exterior a la
superficie.
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Teorema de la Divergencia Sea E una región simple
sólida acotada por una superficie S y sea n un
vector unitario normal exterior a S en (x,y,z).
Si F es un campo vectorial cuyas funciones
componentes tienen derivadas parciales continuas
sobre una región abierta que contiene a E
entonces
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Ejemplo 1
Sea F 2xi 3yj 5zk, y sea S el hemisferio
junto con el disco
en el plano XY. Compruebe que se verifica el
teorema de la divergencia.
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F
z
n
y
x
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Ejemplo 1
Solución 1.Cálculo de la integral de
superficie S consta de dos partes el disco
inferior S1 y el hemisferio S2. Lo estudiaremos
de forma separada , ya que
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Ejemplo 1
Consideremos S1. Nótese que el disco
tiene un vector normal hacia fuera n -k, de
esta manera tenemos que
ya que z0 sobre S1.
Consideremos S2. Aquí
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Ejemplo 1
Por lo tanto, el vector normal unitario está dado
por
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Ejemplo 1
Por lo tanto, el vector normal unitario está dado
por
Luego,
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Ejemplo 1
Calculemos dS. Como
Así
lo que implica que
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Ejemplo 1
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Ejemplo 1
Así,
2.Cálculo de la integral triple Tenemos que div F
2 3 5 4. Por lo tanto,
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Ejemplo 1
de esta manera se cumple que
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Ejemplo 2
Sea E la región acotada por las gráficas de
S la frontera de E
y
Use el teorema de la divergencia para calcular el
flujo de F a través de S.
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n1
z
S1
S2
n2
y
S3
n3
x
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Ejercicio 2
La región E está dada en la figura con los
vectores unitarios exteriores. Calcular la
integral de superficie sería calcular tres
integrales, ya que la región la acota tres
superficies distintas. Vamos a usar el teorema de
la Divergencia.
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Ejemplo 2
Ejemplo 3.Calcular
donde
y S es la parte
del cono
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Ejemplo 3
Solución Nótese que La superficie S no es una
superficie cerrada, entonces para poder aplicar
el teorema de la divergencia debemos considerar
una superficie cerrada. Para cerrar la superficie
añadimos la tapa z2. Gráficamente
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S2
S1?S2
S
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Ejemplo 3
Entonces,
Calculemos la integral de superficie de S1US2.
Para ello usaremos el teorema de la divergencia.
Así,
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Ejemplo 3
Calculemos ahora, la integral de superficie de S2
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Ejemplo 3
23
Ejemplo 3
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Ejemplo 4
Calcular el flujo de
a través de S, donde S es la frontera del volumen
acotado por
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Gráfica
z
y
x
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Como las funciones componentes tienen derivadas
parciales continuas en la región acotada ,
podemos usar el teorema de la divergencia, esto
es