Transformada de Laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ecuaciones Diferenciales Año 2008
2
Operadores Diferenciales
D
Ecuaciones Algebraicas
3
Transformada de Laplace
L
Sistema de ecuaciones algebraicas
Soluciones algebraicas del sistema
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Transformada de Laplace

• Organización
• Integrales Impropias y definiciones
• Definición de la Transformada de Laplace (TL)
• TL de funciones simples.
• TL para resolver PVIs.
• Transformada Inversa de Laplace.
• Expansión en fracciones parciales.
• Aplicaciones.

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Transformada de Laplace

• Organización
• Integrales Impropias y definiciones
• Definición de la Transformada de Laplace (TL)
• TL de funciones simples.
• TL para resolver PVIs.
• Transformada Inversa de Laplace.
• Expansión en fracciones parciales.
• Aplicaciones.

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Integrales Impropias
Integrales Impropias y definiciones

• Se define una integrales impropia sobre un
  intervalo no acotado como
• Siempre que la integral exista para Agta.
• Si el límite existe, se dice que la integral
  converge.
• Caso contrario, se dice que la integral diverge o
  no existe.

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Integrales Impropias

• Considere la integral
• Resolviendo
• Resulta

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Integrales Impropias

• Considere la integral
• Resolviendo
• Resulta

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Transformada de Laplace
Integrales Impropias y definiciones

• Se dice que una función f(t) es continua por
  partes en el intervalo acotado a,b si este
  puede subdividirse en un número finito de
  subintervalos colindantes de modo que
• f(t) sea continua en el interior de cada
  subintervalo.
• f(t) tenga límites laterales finitos cuando t
  tiende a cada punto extremo
• de cada subintervalo desde el interior.

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Transformada de Laplace
Integrales Impropias y definiciones

• Dada la siguiente función.
• Se puede ver que es continua
• por partes en el intervalo 0, 3.

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Transformada de Laplace
Integrales Impropias y definiciones

• Dada la siguiente función.
• Se puede ver que NO es continua
• por partes en el intervalo 0, 3.

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Transformada de Laplace
Integrales Impropias y definiciones

• Se dice que una función f(t) es de orden
  exponencial cuando (t tiende a infinito) si
  existen constantes no negativas M, c y T de modo
  que

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Transformada de Laplace

• Organización
• Integrales Impropias y definiciones
• Definición de la Transformada de Laplace (TL)
• TL de funciones simples.
• TL para resolver PVIs.
• Transformada Inversa de Laplace.
• Expansión en fracciones parciales.
• Aplicaciones.

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Transformada de Laplace

• Dada una función f(t) definida para toda t 0,
  la transfor-mada de Laplace de f(t) es la función
  F(s) definida como
• Para todos los valores de s para los cuales la
  integral impropia converja.

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Transformada de Laplace

• Dado que f es una función que cumple con las
  siguiente condiciones
• (1) f es continua por partes en 0, ?) .
• (2) f(t) ? Mect cuando t ? T, para algún
  valor de c, M y T con T, M gt 0.
• Entonces existe la transformada de f para s gt
  c, con

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Transformada de Laplace
Si, a y b son constantes
Para todos los valores de s para los cuales la
las transformadas de f(t) y g(t) converjan.
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Transformada de Laplace

• Organización
• Integrales Impropias y definiciones
• Definición de la Transformada de Laplace (TL)
• TL de funciones simples.
• TL para resolver PVIs.
• Transformada Inversa de Laplace.
• Expansión en fracciones parciales.
• Aplicaciones.

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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
Integrando por partes
con
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace

• Dada la función

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Transformada de Laplace

• Dada la función

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Transformada de Laplace

• Dada la función

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Transformada de Laplace

• Dada la función
• Haciendo

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Transformada de Laplace
Segunda Ley del Desplazamiento
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace

• Sea f(t), la fuerza aplicada a un cuerpo en un
  movimiento como el que se muestra.
• Si se considera la ENERGÍA transferida de un
  cuerpo al otro como proporcional al área de f(t),
  es posible lograr el mismo efecto utilizando
  fuerzas equivalentes
• A condición de que el área se conserve.

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Transformada de Laplace

• Con estas suposiciones es posible definir a
• Definiendo el impulso unitario como

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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace

• Organización
• Integrales Impropias y definiciones
• Definición de la Transformada de Laplace (TL)
• TL de funciones simples.
• TL para resolver PVIs.
• Transformada Inversa de Laplace.
• Expansión en fracciones parciales.
• Aplicaciones.

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Transformada de Laplace

• Suponga el problema

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Transformada de Laplace

• Suponga el problema

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Transformada de Laplace

• Suponga el problema
• En general
• La transformada de Laplace transforma estos
  problemas en uno solo

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Transformada de Laplace

• Dado que f es una función que cumple con las
  siguiente condiciones
• (1) f es continua y f ' es continua por partes
  en 0, ?) .
• (2) f(t) ? Mect cuando t ? T, para algún
  valor de c, M y T con T, M gt 0.
• Demostración dada f continua y f continua
  por partes en 0, ?)
• Igualmente se puede demostrar para f
  continua por parte en 0, ?).

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Transformada de Laplace

• Dado que las funciones f , f,..,f (n-1)
  son continuas y f (n) es continua por partes en
  el intervalo en 0, ?). y dado que
• Para tT, luego la transformada de Laplace existe
  y se calcula como
• Este tipo de transformada se utiliza para
  resolver PVIs.
• Obsérvese que la transformada de Laplace de las
  derivadas incluyen las condiciones iniciales del
  problema.

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Transformada de Laplace

• Aplicando TL a la ED
• Incluye las CI
• Resuelve el problema
• Homogéneo y no homogéneo
• De una sola vez

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Transformada de Laplace

• Organización
• Integrales Impropias y definiciones
• Definición de la Transformada de Laplace (TL)
• TL de funciones simples.
• TL para resolver PVIs.
• Transformada Inversa de Laplace
• Expansión en fracciones parciales.
• Aplicaciones.

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• El proceso de anti-transformar una expresión es
  un proceso de identificación que consiste en
  obtener una función cuya transformada sea la
  expresión que buscamos anti-transformar

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Transformada de Laplace

• Organización
• Integrales Impropias y definiciones
• Definición de la Transformada de Laplace (TL)
• TL de funciones simples.
• TL para resolver PVIs.
• Expansión en fracciones parciales.
• Transformada Inversa de Laplace
• Aplicaciones.

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Transformada de Laplace

• Dada la RAZÓN de polinomios
• Siempre y cuando el GRADO de Q(s) sea mayor o
  igual al de P(s),
• Es posible expandir a G(s) en fracciones simples
  dependiendo de la naturaleza y cantidad de raíces
  de Q(s)

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Transformada de Laplace

• Raíces Reales Distintas
• Si ?1, ?2, . . ., ?n son raíces de Q(s), entonces
  el cociente de polinomios puede expresarse como
• Su expansión en fracciones es

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Transformada de Laplace

• Raíces Reales Repetidas
• Si ?1, ?1, . . ., ?1 son raíces de Q(s), entonces
  el cociente de polinomios puede expresarse como
• Su expansión en fracciones es

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Transformada de Laplace

• Raíces Complejas Conjugadas
• Si ?1, ?1, . . ., ?1 son raíces de Q(s), entonces
  el cociente de polinomios puede expresarse como
• Su expansión en fracciones es

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• Se define el producto convolución de dos
  funciones como
• 
  conmutativo.
• 
  distributivo.
• 
  asociativo.