Ecuacin de Onda'

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Ecuación de Onda.
Academia Politécnica Naval

• Profesor Civil Rodrigo Vergara
• 2003

Líneas de Transmisión y Antenas
01) Líneas de Transmisión
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Indice

• Espectro de Frecuencias
• Línea de Transmisión
• Ecuación de Onda
• Solución Ecuación de Onda
• Relación entre Voltaje y Corriente.
• Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.
• Fin

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Espectro de Frecuencias

• Las aplicaciones de telecomunicaciones se dan a
  partir de la banda MF
• Radio AM 0,53-1,7 MHz (MF)
• Radio FM 88-108 MHz (VHF)
• Telefonía Celular 900 y 1800 MHz (UHF)
• Telecomunicaciones satelitales ? 20 GHz (SHF)

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Alta Frecuencia

• Crece uso del espectro electromagnético ? Crecen
  requerimientos de BW para telecomunicaciones ?
  Equipos y sistemas diseñados para frecuencias
  cada vez más alta.
• Crece frecuencia
• Cambian valores y comportamiento de componentes
  (Electrónica III)
• Los componentes usados a bajas frecuencias no
  sirven.
• Hay que buscar otras formas de transportar
  señales de alta frecuencia y de generar circuitos
  resonantes.

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Transporte de señales de Alta Frecuencia

• Si el ? de las señales a transportar es
  comparable con el tamaño físico del sistema de
  transmisión, se debe usar la teoría de Líneas de
  Transmisión para analizar su comportamiento.
• Las líneas de transmisión son usadas en muchas
  aplicaciones de alta frecuencia para el
  transporte de señales.

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Líneas de Transmisión (L de T)

• Definición
• Medio de propagación de ondas electromagnéticas
  confinadas entre dos estructuras conductoras que
  forman un camino continuo desde un lugar a otro.
• Ejemplos
• Cables Coaxiales
• Cables Trenzados
• Guias de Ondas
• Strip Lines
• Fibra Óptica

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Líneas de Transmisión Paralelas
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Líneas de Transmisión Coaxiales
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Líneas de Transmisión de Cinta (Strip Line)
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Líneas de Transmisión Uniforme

• Es aquella que tiene geometría de sección
  transversal constante (sin cambios) a lo largo
  del camino de propagación.
• En caso de que haya un cambio de geometría en
  cualquier punto, será considerada una
  discontinuidad en la línea.

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Modelos de Línea de Transmisión
Matemático
Circuital

• Resolución de las Ecuaciones de Maxwell con las
  condiciones de borde impuestas por la línea.
• Enfoque más riguroso

• Modela la línea como circuitos con resistencias,
  inductancias y capacitancias distribuidas a lo
  largo de ella.
• Es fácil de visualizar.

Ambos modelos son equivalentes
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Modelo Circuital

• La figura representa el modelo circuital para un
  trozo incremental de largo ?x de una L de T.
• Componentes
• R resistencia distribuida (por unidad de largo)
  O/m
• C capacitancia distribuida (por unidad de largo)
  F/m
• L inductancia distribuida (por unidad de largo)
  Hy/m
• G conductancia distribuida (por unidad de largo)
  Siemens/m

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Variaciones en la línea

• VV(x,t) diferencia de potencial entre
  conductores.
• ii(x,t) corriente por los conductores
• ?V/?x variación de V a lo largo de la línea
• ?i/?x variación de i a lo largo de la línea

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Planteo Ecuación de Onda

• Tomando los dos circuitos podemos anotar
• Por LVK
• Por LCK

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Planteo Ecuación de Onda

• Haciendo ?/?x en 1
• Haciendo ?/?t en 2

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Planteo Ecuación de Onda

• Sustituyendo 4 y 2 en 3
• Esta expresión corresponde a la ecuación
  diferencial de la L de T para el voltaje a lo
  largo de la línea.

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Línea sin Pérdidas

• Línea sin pérdidas ? G0 y R0 y
• donde
• Es la velocidad de propagación de la L de T.

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Solución General Ecuación L de T sin pérdidas
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Relación entre Voltaje y Corriente.

• Para una línea sin pérdidas, 1 se transforma en
• Reemplazando 8 en 9

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Relación entre Voltaje y Corriente.

• Integrando parcialmente 10 con respecto a t
• La expresión f(z) no depende del tiempo. Como nos
  interesa concentrarnos en las funciones variantes
  en el tiempo, la podemos ignorar. Luego
• donde
• es la impedancia característica de la L de T.

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Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.

• La mayoría de los problemas en L de Ts se
  refieren a uniones entre una L de T con
• Otra L de T de diferente Z0.
• Una impedancia de carga.
• Algún otro elemento que introduzca una
  discontinuidad.
• Por LVK y LCK la corriente y el voltaje deben ser
  continuos en el punto de discontinuidad.

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Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.

• V Voltaje Incidente
• V- Voltaje Reflejado
• VL Voltaje en la carga

• I Corriente Incidente
• I- Corriente Reflejado
• ILCorriente en la carga

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Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.
LCK
LVK
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Coeficientes de Reflexión y Transmisión
LCK
LVK
Coeficiente de Reflexión
Coeficiente de Transmisión
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Ecuación de Onda.
Academia Politécnica Naval

• Profesor Civil Rodrigo Vergara
• 2003

Líneas de Transmisión y Antenas
01) Líneas de Transmisión